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Resolución Práctica 2 - Productos Notables
Ciclo Anual 2014
Resolución 1
Observe que el radicando de la expresión que nos
piden calcular se obtiene elevando la condición
(dato) al cuadrado.
7 3
4
3 2
x y
y x
 
2
27 3
4
3 2
x y
y x
 
   
 
Desarrollando el primer miembro (Binomio al
Cuadrado):
2 2
7 7 3 3
2 16
3 3 2 2
7
x x y y
y y x x
      
         
      
2 2
2 2
49 9
16
9 4
x y
y x
  
2 2
2 2
49 9
16 4
9 4
x y
y x
    (Clave D)
Resolución 2
Sea: a b x 
c b y 
2a c b x y    
Reemplazando en la ecuación:
1 1 4 4x y
x y x y xy x y

   
 
 
2
4x y xy  
2 2
2 4x xy y xy   
2 2
T.C.P
2 0x xy y   
 
2
0x y  
x y 
Así se tiene que
a b c b a c    
0
1 0 1
a b a c
c b b
 
    

(Clave A)
Resolución 3
2 2 1
1 0 1 1x x x x x
x
         ... (*)
En la expresión a reducir, de (*):
2 4 8
4
2 4
1 1 1
E x x x x
x x x
   
       
   
2 4 8
4
2 4
1 1 1
1.E x x x x
x x x
   
       
   
2
2
1 1
1
x x
x x
x
x
  
   
  
 
 
 

Luego:
48 8 24
8 8
1 1
E x x x
x x
      (Clave B)
Resolución 4
Se sabe que:
      
2 2
2x
a x a x a x a x a x a x         

  2 2x a x a x x    
1a x a x     (Clave B)
1
Conclusión:

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Resolución 5
Elevando M al cuadrado:
 
2
2
1 1M x x   
  
2 2
2
1 2 1 1 1M x x x x       
2
2 2 1M x   
2
2 2 1 0,75M    , pues 0,75x 
 2
2 2 0,5 1M   
1M  (Clave A)
Resolución 6
De la condición se tiene:
8
16
x y z
xy yz zx
  
  


Sabemos que:
 
2 2
8x y z  
 2 2 2
16
2 64x y z xy yz zx      

2 2 2
32x y z   
2 2 2
32 4 2x y z     (Clave D)
Resolución 7
Sea 3
10 3a  
3
10 3b  
  3 10 3 10 3 1ab    
a b x 
Como: a b x 
 
 3 3 3
1
3
x
x a b ab a b    

   3
10 3 10 3 3x x     
3
6 3x x  
3
3 6x x  
 2
3 6x x   (Clave C)
Resolución 8
Se sabe que
3 3
100 10 1ab   
3 3
1 10 10 1a b a b      
Luego
    3 3 3
10 1 100 10 1a b ab    
 
3
3
10 1 11a b ab    
 3 33ab a b   (Clave B)
Resolución 9
Sea: a x y 
b y z 
c z x 
0a b c   entonces: 3 3 3
3a b c abc  
Además:
      2
x y z x yz x y x z a c       
Reemplazando, se tiene:
     
      
2
3 3 3 3 3 3
2
3
3
x y y z z x a b c abc
a c b abcx y z x yz z y
       
    
        
(Clave B)
Resolución 10
Se sabe que:
ab ca bc
a b c
c b a
    
     
2 2 2
ab ca bc
a b c
abc abc abc
     
       
2 2 2
ab ca bc a b c abc     
              
2 2 2
ab ca bc ab ca ab bc ca bc     
Luego: ab bc ca  y como 0abc 
a b c  
     
77 77 77 77
21 217 7 7 7 7 7 14 3
3
1
3
a b c c
a b c a b c abc c c
 
  
 
(Clave C)
Recordar: Identidad Condicional

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Resolución 11
Como 3 3 3
3a b c abc   y 0a b c   a b c  
Luego:
   
2 22 3 2 3 12
12 12 12 12 12
. . 1
3 3 3
ab c c c c c
a b c c c
  
 
(Clave D)
Resolución 12
Piden:
a b a c b c
E
b a c a c b
     
Es decir:
  
a c b c a b
E
b b a a c c
     
a c b c a b
E
b a c
  
   
Pero
3
3 3
3
a c b
a b c b c a
a b c
  

      
   
, entonces:
3 3 3b a c
E
b a c
  
   
3 3 3
1 1 1E
b a c
      
1 1 1
3 3E
b a c
 
     
 
3
3 3 3 3
3
ca bc ab
E
abc
    
       
   
0E  (Clave C)
Resolución 13
1
1 1a ab b
b
    
c
abc c bc

  
1
1 1b bc c
c
    
1abc bc c bc c     
1 0abc  
1abc   (Clave E)
Resolución 14
Como
2
2
1
1
x x
z
xx

 

 
2
2 2
2
1
1
x x
z
x x
 
 

2
2
1
. 1
z
x x
 

, pues 0x 
  2 42 2
1 1
1
z
x xx x
  

... (*)
Pero:
2
2 1 4
2 2
m
x
m

 
2
2
2
1 4
2 4
m
x
m

   , pues 0m 
2
2
2
1 4
2 4
m
x
m

  
2
2
1 1 1
2 4
x
m
    
22
2
2
1 1 1
2 4
x
m
  
           
4 2
2
1 1 1
4 4
x x
m
    
2 4
2
1
x x
m
  
En (*):
2 4
2
1 1
1
z m
x x
m
  

(Clave A)
Resolución 15
Piden 2 3 4 5 6 7
1A              
De la condición:
3 3
1 1       
4 2

  

  
5 2 3

  

  
6 3 4

  

  
7 4 5

  

  
2 3 4 5 6 7 2 5
1                    
 2 3
1A

     

Recordar: Identidad condicional
+

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3
A    
1A     
2 1A    (Clave D)
Resolución 16
Sabemos que: 2x y z  
 
2
4x y z   
 2 2 2
3
2 4x y z xy yz zx      
1
2
xy yz zx   
Como
2
2 2
2
z x y
x y z x y z
y z x
   

       
    
, entonces:
1 1 1
1 1 1
E
xy z yz x zx y
  
     
1 1 1
1 1 1
E
xy x y yz y z zx z x
  
        
Factorizando:
           
1 1 1
1 1 1 1 1 1
E
x y y y z z z x x
  
        
        
1 1 1
1 1 1 1 1 1
E
y x z y x z
  
     
Homogenizando y operando:
     
   
1 1 1
1 1 1
z x y
E
x y z
    

  
 
3
1
x y z
E
xyz x y z xy yz zx
  

      
2 3 2
1 94 2 1
2
E

   
  
(Clave B)
Resolución 17
1 1 1
a b c
b c a
    
1 1 1 1 b c
a b a b a b
b c c b cb

         
1 1 1 1 c a
b c b c b c
c a a c ac

         
1 1 1 1 a b
c a c a c a
a b b a ba

         
   
   
 
2
b c c a a b
a b b c c a
abc
  
    
 2
1
1
abc
 
 
2
1abc 
1abc  (Clave C)
Resolución 18
De la igualdad, se tiene:
2 2 2 2
xy xz yz x y z a     
2 2 2 4
xy xz yz x y z a      
4 2 2 2
xy xz yz a x y z      
Multiplicando por 2 m.a.m.
   4 2 2 2
2 2xy xz yz a x y z     
 4 2 2 2
2 2 2 2 2xy xz yz a x y z      
4 2 2 2 2 2 2
T.C.P.T.C.P. T.C.P.
0 2 2 2 2a x xy y y yz z z xz x           
     
2 2 24
0 2a x y y z z x       
0 0 0 0a x y y z z x          
0a x y y z z x       
3 5 10
18
x y z
x
 
  (Clave E)