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Senx.Cscx =
1
Cosx.Secx =
1
Tgx. Ctgx = 1
Ctgx =
Senx
Cosx
Tgx =
Cosx
Senx
Sen
2
x+Cos
2
x = 1
1 + Tg
2
x = Sec
2
x
1 + Ctg
2
x = Csc
2
x
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS Y AUXILIARES
CONCEPTO:
Son aquellas igualdades donde intervienen razones
trigonométricas de una cierta variable, las mismas que se
verifican para todo valor admisible de dicha variable.
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES (n  Z)
1. IDENTIDADES RECÍPROCAS (n  Z)
1 nRx 
1   2/12  nRx
2/nRx 
2. IDENTIDADES POR COCIENTE
2/)12(  nRx
nRx 
3. IDENTIDADES PITAGÓRICAS
.
Rx
2/)12(  nRx
nRx 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES
 xCosxSenxCosx 224
.214
Sen
 xCosxSenxxSen 22
.31 66
Cos
 CscxSecxCtgxTgx .
 xCscxSecxCscxSec 2222
.
     CosxSenxCosxSenx  1121
2

Cosx
Senx
Senx
Cosx
Senx
Cosx
Cosx
Senx 





1
1
;
1
1
PROBLEMAS
01. Demostrar:


 2
1Csc
Tg
Ctg

02. Demostrar:


 44
22
88
CosSen
CosSen
CosSen



03. Demostrar:
 CscSecCtgTg 
04. Demostrar:


 2
2
4
1
1
Ctg
Csc
Ctg


05. Demostrar:
  1  CosSenCtgTg
06. Demostrar:




Cos
Sen
Sen
Cos



1
1
07. Demostrar:
122
22




CscSec
CscSec
08. Demostrar:
 2266
31 CosSenCosSen 
09. Demostrar:



TgCosSen
Cos
Sen

3
10. Demostrar:
 2222
CscSecCscSec 
11. Demostrar:



Ctg
CscSecSec
Csc

1
3
12. Demostrar:
 2244
21 CosSenCosSen 
13. Demostrar:
   3322
1 CtgTgCtgTgCscSec 
14. Demostrar:
     22 2222
  CscSecCtgTgCtgTg
15. Demostrar utilizando las identidades trigonométricas
básicas:


 2
1 Sec
Ctg
Tg

16. Demostrar:
1221 22
  CosSen
17. Demostrar:
    52222
  CscSecSecCosCscSen
18. Demostrar:
   222
CscSecCtgTg 
19. Demostrar:
    123 6644
  CosSenCosSen
20. Demostrar:
12 222
  CosSenCos
21. Simplificar:
  SenxCosxCosxSenxE 2
2

A) 1 B) 2 C) 0 D) –1 E) –2
22. Reducir la expresión:
  SenCscTg 
A) Sen B) Cos C) Tg
D) Sen
2
 E) Cos
2

23. Simplificar:
Secx
xTgSecx
E
31
233 2



A) 1 – Cosx B) 1 + Cosx C) 1 – Secx
D) 1 + SecxE) 1 + Sen
24. Simplificar la expresión:
   2
1 CtgCscSec 
A) Sen B) Sec C) Csc
D) Cos E) Tg
25. Reduciendo la expresión:
   22
CosASenACosASenA 
Se obtiene:
A) 1/2 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
26. Simplificar:
 TgxSecxxSenA  2
1
A) 1 + Senx B) 1 + Cosx C) 1 – Cosx
D) 1 – Senx E) 1 + Secx
27. Reducir la expresión:
Ctgx
Senx
Cosx
E 


1
A) Senx B) Cscx C) Cosx
D) Secx E) Tgx
28. Simplificar:
xCscxSecxCtg
E 222
111

A) Sen
2
x B) Cos
2
x C) Tg
2
x
D) Ctg
2
x E) Sec
2
x
29. Reducir:
     xTgxSenxCtgxCos 2222
1111 
A) 1 B) 2 C) –1 D) –2 E) 0
30. Simplificar:
Senx
Cosx
Cosx
Senx
E 
A) SenxCosx B) Tgx – Ctgx
C) Secx + Cscx D) SecxCscx
E) Senx + Cosx
31. Simplificar la expresión:
1




CosSen
CtgSenTgCos
A) 1 B) Sen C) Tg
D) Cos E) 2
32. Hallar:
 22
1 CosSenE 
A) 2Sen
2
 B) 2Cos
2
 C) 2Tg
2

D) Sen
2
 E) Cos
2

33. Simplificar:
SenxCscx
CosxSecx


A) Tgx B) Tg
2
x C) Tg
3
x
D) Ctg
2
x E) Ctg
3
x
34. Reducir:
Senx
Cosx
Cosx
Senx



1
1
A) 2Senx B) 2Cscx C) 2Secx
D) 2Cosx E) 2Tgx
35. Reducir la expresión:
SenxTgxCosxE 
A) Senx B) Cosx C) Tgx
D) Secx E) Cscx
36. Simplificar:
SenxCosxxCosxSenE 244

A) 1 B) –1 C) 0 D) –2 E) 2
37. Hallar “x” si:
xSenA
CosA
SenA
CosA 2
11




A) TgA B) CtgA C) CosA
D) SenA E) Sen
2
A
38. Reducir la expresión:
Ctgx
Cosx
Senx

1
A) Senx B) Cosx C) Tgx
D) Secx E) Cscx
39. Simplificar:
Senx
Cscx
Cscx
Senx

A) 1 B) 2 C) 0 D) –1 E) –2
40. Reducir:    SenCtgTg 
A) Sen B) Cos C) Tg
D) Sec E) Csc
41. Si: m nCtg 
Hallar:


mCosnSen
nSenmCos
E



A) 0 B) 1 C) –1 D) 2 E) –1/2
42. Si:  900 
Reducir:  SenCtgCosSen  21
A) Sen B) Cos C) Tg
D) Ctg E) 0
43. Si: 4/5  CosSen
Hallar:  CosSenE 
A) 8/31 B) 9/32 C) 10/33
D) 7/32 E) 9/31
44. Si: 6  CtgTg
Hallar:  22
CtgTgE 
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
45. Si: 68  CtgTg
Hallar:  CtgTgE 
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
46. Si: 6 CosSen
Calcular:  66
CosSenE 
A) –105 B) –115 C) –107
D) –112 E) –110
47. Si: 7 CscSec
Calcular:  22
CscSecE 
A) 7 B) 14 C) 21 D) 35 E) 49
48. Si: 4  CosSen
Hallar:  22
CscSenE 
A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18
49. Si: 34  CosSen
Hallar:  44
CosSenE 
A) 5/4 B) 5/8 C) 3/2
D) 6/7 E) 5/2
50. Hallar “K”, si:
)1)(1()1(2 2
 CosSenKCosSen 
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
51. Si: 3  CscCtg
Hallar: E = Ctg  + Csc
A) 1/3 B) –1/3 C) –3 D) 0 E) 3
52. Si: mCtgTg  
Calcular:  1010
CscSecE 
A) m
–10
B) m
10
C) m
5
D) m
–5
E) m
2
53. Si: 5 TgSec
Hallar:  44
TgSec 
A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) 15
54. Si:
3
2
1
1





Ctg
Tg
Calcular:


Ctg
Tg


1
1
A) 2/3 B) –2/3 C) 3/2
D) –3/2 E) 1
55. Si Cos = Sen 
Calcular: 4
Sec
A) 23 B) 24 C) 25 D) 26 E) 27
56. Si: 5TgxSecx
Calcular: TgxSecx 
A) 1 B) 0,5 C) 0,2 D) 0,1 E) 0,4
57. Si: 2
1
2





Cos
Sen
Calcular:  CtgTgE 2
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
58. Si:
2
1
  CosSen
Hallar:  CosSenE 4
A) 1 B) –1 C) 2 D) –2 E) 0
59. Si:
2
3
66
44





CosSen
CosSen
Hallar:  22
.CosSen
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/

5 E) 1/10
60. Si: nCosxSenx 
Hallar: CtgxTgx 
A) n B) n
–1
C) 2n
–1
D) 0.5n
–1
E) 0,5n

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Guía n 11 identidades trigonométricas básicas y auxiliares

  • 1. Senx.Cscx = 1 Cosx.Secx = 1 Tgx. Ctgx = 1 Ctgx = Senx Cosx Tgx = Cosx Senx Sen 2 x+Cos 2 x = 1 1 + Tg 2 x = Sec 2 x 1 + Ctg 2 x = Csc 2 x IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS Y AUXILIARES CONCEPTO: Son aquellas igualdades donde intervienen razones trigonométricas de una cierta variable, las mismas que se verifican para todo valor admisible de dicha variable. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES (n  Z) 1. IDENTIDADES RECÍPROCAS (n  Z) 1 nRx  1   2/12  nRx 2/nRx  2. IDENTIDADES POR COCIENTE 2/)12(  nRx nRx  3. IDENTIDADES PITAGÓRICAS . Rx 2/)12(  nRx nRx  IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES  xCosxSenxCosx 224 .214 Sen  xCosxSenxxSen 22 .31 66 Cos  CscxSecxCtgxTgx .  xCscxSecxCscxSec 2222 .      CosxSenxCosxSenx  1121 2  Cosx Senx Senx Cosx Senx Cosx Cosx Senx       1 1 ; 1 1 PROBLEMAS 01. Demostrar:    2 1Csc Tg Ctg  02. Demostrar:    44 22 88 CosSen CosSen CosSen    03. Demostrar:  CscSecCtgTg  04. Demostrar:    2 2 4 1 1 Ctg Csc Ctg   05. Demostrar:   1  CosSenCtgTg 06. Demostrar:     Cos Sen Sen Cos    1 1 07. Demostrar: 122 22     CscSec CscSec 08. Demostrar:  2266 31 CosSenCosSen  09. Demostrar:    TgCosSen Cos Sen  3 10. Demostrar:  2222 CscSecCscSec  11. Demostrar:    Ctg CscSecSec Csc  1 3 12. Demostrar:  2244 21 CosSenCosSen  13. Demostrar:    3322 1 CtgTgCtgTgCscSec  14. Demostrar:      22 2222   CscSecCtgTgCtgTg 15. Demostrar utilizando las identidades trigonométricas básicas:    2 1 Sec Ctg Tg  16. Demostrar: 1221 22   CosSen 17. Demostrar:     52222   CscSecSecCosCscSen 18. Demostrar:    222 CscSecCtgTg  19. Demostrar:     123 6644   CosSenCosSen 20. Demostrar: 12 222   CosSenCos
  • 2. 21. Simplificar:   SenxCosxCosxSenxE 2 2  A) 1 B) 2 C) 0 D) –1 E) –2 22. Reducir la expresión:   SenCscTg  A) Sen B) Cos C) Tg D) Sen 2  E) Cos 2  23. Simplificar: Secx xTgSecx E 31 233 2    A) 1 – Cosx B) 1 + Cosx C) 1 – Secx D) 1 + SecxE) 1 + Sen 24. Simplificar la expresión:    2 1 CtgCscSec  A) Sen B) Sec C) Csc D) Cos E) Tg 25. Reduciendo la expresión:    22 CosASenACosASenA  Se obtiene: A) 1/2 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 26. Simplificar:  TgxSecxxSenA  2 1 A) 1 + Senx B) 1 + Cosx C) 1 – Cosx D) 1 – Senx E) 1 + Secx 27. Reducir la expresión: Ctgx Senx Cosx E    1 A) Senx B) Cscx C) Cosx D) Secx E) Tgx 28. Simplificar: xCscxSecxCtg E 222 111  A) Sen 2 x B) Cos 2 x C) Tg 2 x D) Ctg 2 x E) Sec 2 x 29. Reducir:      xTgxSenxCtgxCos 2222 1111  A) 1 B) 2 C) –1 D) –2 E) 0 30. Simplificar: Senx Cosx Cosx Senx E  A) SenxCosx B) Tgx – Ctgx C) Secx + Cscx D) SecxCscx E) Senx + Cosx 31. Simplificar la expresión: 1     CosSen CtgSenTgCos A) 1 B) Sen C) Tg D) Cos E) 2 32. Hallar:  22 1 CosSenE  A) 2Sen 2  B) 2Cos 2  C) 2Tg 2  D) Sen 2  E) Cos 2  33. Simplificar: SenxCscx CosxSecx   A) Tgx B) Tg 2 x C) Tg 3 x D) Ctg 2 x E) Ctg 3 x 34. Reducir: Senx Cosx Cosx Senx    1 1 A) 2Senx B) 2Cscx C) 2Secx D) 2Cosx E) 2Tgx 35. Reducir la expresión: SenxTgxCosxE  A) Senx B) Cosx C) Tgx D) Secx E) Cscx 36. Simplificar: SenxCosxxCosxSenE 244  A) 1 B) –1 C) 0 D) –2 E) 2 37. Hallar “x” si: xSenA CosA SenA CosA 2 11     A) TgA B) CtgA C) CosA D) SenA E) Sen 2 A 38. Reducir la expresión: Ctgx Cosx Senx  1 A) Senx B) Cosx C) Tgx D) Secx E) Cscx 39. Simplificar: Senx Cscx Cscx Senx  A) 1 B) 2 C) 0 D) –1 E) –2 40. Reducir:    SenCtgTg  A) Sen B) Cos C) Tg D) Sec E) Csc
  • 3. 41. Si: m nCtg  Hallar:   mCosnSen nSenmCos E    A) 0 B) 1 C) –1 D) 2 E) –1/2 42. Si:  900  Reducir:  SenCtgCosSen  21 A) Sen B) Cos C) Tg D) Ctg E) 0 43. Si: 4/5  CosSen Hallar:  CosSenE  A) 8/31 B) 9/32 C) 10/33 D) 7/32 E) 9/31 44. Si: 6  CtgTg Hallar:  22 CtgTgE  A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 45. Si: 68  CtgTg Hallar:  CtgTgE  A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 46. Si: 6 CosSen Calcular:  66 CosSenE  A) –105 B) –115 C) –107 D) –112 E) –110 47. Si: 7 CscSec Calcular:  22 CscSecE  A) 7 B) 14 C) 21 D) 35 E) 49 48. Si: 4  CosSen Hallar:  22 CscSenE  A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18 49. Si: 34  CosSen Hallar:  44 CosSenE  A) 5/4 B) 5/8 C) 3/2 D) 6/7 E) 5/2 50. Hallar “K”, si: )1)(1()1(2 2  CosSenKCosSen  A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 51. Si: 3  CscCtg Hallar: E = Ctg  + Csc A) 1/3 B) –1/3 C) –3 D) 0 E) 3 52. Si: mCtgTg   Calcular:  1010 CscSecE  A) m –10 B) m 10 C) m 5 D) m –5 E) m 2 53. Si: 5 TgSec Hallar:  44 TgSec  A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) 15 54. Si: 3 2 1 1      Ctg Tg Calcular:   Ctg Tg   1 1 A) 2/3 B) –2/3 C) 3/2 D) –3/2 E) 1 55. Si Cos = Sen  Calcular: 4 Sec A) 23 B) 24 C) 25 D) 26 E) 27 56. Si: 5TgxSecx Calcular: TgxSecx  A) 1 B) 0,5 C) 0,2 D) 0,1 E) 0,4 57. Si: 2 1 2      Cos Sen Calcular:  CtgTgE 2 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 58. Si: 2 1   CosSen Hallar:  CosSenE 4 A) 1 B) –1 C) 2 D) –2 E) 0 59. Si: 2 3 66 44      CosSen CosSen Hallar:  22 .CosSen A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/  5 E) 1/10 60. Si: nCosxSenx  Hallar: CtgxTgx  A) n B) n –1 C) 2n –1 D) 0.5n –1 E) 0,5n