El documento presenta varias resoluciones de ejercicios relacionados con polinomios. La primera resolución encuentra que un polinomio P(x) es igual a 5x+4. La segunda resolución determina que una expresión f(x) es igual a x+1. La tercera resolución resuelve un sistema de ecuaciones para hallar que un polinomio P(x) es igual a 3x.

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Práctica 3 – Polinomios
Ciclo Semestral San Marcos
Resolución 1
     2
0 1
2 3 5x
P a x b x a b      
 
 P es lineal: 2 0 2a a   
 P es mónico: 3 1 4b b   
Así se tiene que:
  5 2 4x
P x   
  3x
P x  
Luego, piden    2 4
P P
 2
2 3 5P   
 4
4 3 7P   
   2 4
12P P   (Clave A)
Resolución 2
Analizando la expresión f:
 
2 2 2
2002
... 2 1x
radicales
f x x x x x x       

 
   2 2
1x
f x x x x x      
     
22
1 1 1x
f x x x x x        
 2003
2004f  (Clave B)
Resolución 3
Sea  P x m    y  Q x n    , entonces:
    
2 3
2 3 21x x
P Q m n            
... (i)
    
4 2
4 2 22x x
P Q m n            
...(ii)
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
De (i): 2 3 21m n 
De (ii) 2 11m n 
2 10 5n n  
Así, 3m 
  3P x   
Resolución 4
Sea  P x m    y  Q x n    , entonces:
    
3 2
3 2 22x x
P Q m n     
... (i)
    
3
. 3 12x x
P Q m n     
...(ii)
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
De (i): 3 2 22m n 
De (ii) 3 3 9 36m n 
7 14 2n n  
Así, 6m 
Luego:          
2 3 3 2
. .x x x x x
H P Q P Q         
   max 2 3 ; 3 2x
H m n m n     
   max 18; 22x
H  
 
  22x
H    
(Clave E)
Resolución 5
Por inducción, se tiene:
1 paréntesis:   3 2x
V x 

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2 paréntesis:
      3 2 3 3 2 2x
V V V x x    
2
3 3.2 2x  
3 paréntesis:      2
3 3.2 2xV V V V x  
 2
3 3 3.2 2 2x   
3 2
3 3 .2 3.2 2x   
 
10 paréntesis:
     10 9 8
10
... ... 3 3 .2 3 .2 ... 3.2 2x
paréntesis
V V V V x     

 10 9 8
Cociente Notable
3 2 3 3 ... 3 1x     

10
10 3 1
3 2
3 1
x
 
   
 
10 10
3 3 1x   (Clave E)
Resolución 6
   
 
2
3. 23
1 2 1x x
xx
f f
x x
  
 
Invirtiendo la expresión:
   
 
 2
11 2 1
3. 2 3. 2x
x xx
f x x
 
  
 
 
 2
11 1 1 1 1
6 3. 2 6 2 3x
x x
f x x
  
       
Como  
 
3 1 1
1 3x
x
x x
f
x f x

  

, entonces:
   2
1 1 1 1
6 2x x
f f
 
   
  
 
 
 2
2 61
12
x
x x
f
f f

 
 
 
 
2
6
3
x
x
x
f
f
f
 

(Clave A)
Resolución 7
El área de la superficie tejida se define por:
   ; ;
.
.
2x y x y
xy sen
A xy B

 
De donde se tiene que  ;
2x y
sen
B k

  es un
polinomio constante.
     
 
veces
1;1 2;2 ;
;
... ...
n
n n
x y
B B B k k k nk
n
B k k
     
   

(Clave E)
Resolución 8
Debemos formar la variable “
1
x
x
 ” en el
segundo miembro:
4 6
2 3
1 1 1x x
P x
x x x
  
   
 
2 3
2 3
1 1 1
P x x x
x x x
 
      
 
... (*)
Sabemos que:
  
2
2
2
1 1 1
2x x x
x x x
   
      
   
2
2
2
1 1
2x x
x x
 
     
 
2
2
2
1 1
2x x
x x
 
     
 
  
3
3
3
1 1 1 1
3x x x x
x x x x
    
        
    
Recordar: Cociente Notable

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3
3
3
1 1 1
3x x x
x x x
   
        
   
3
3
3
1 1 1
3x x x
x x x
   
        
   
Reemplazando en (*)
2 3
1 1 1 1
2 3P x x x x
x x x x
       
              
       
       
2 3
2 3P x x x x    
  3 2
3 2P x x x x     (Clave C)
Resolución 9
Piden        3 5 7 99
...E P P P P
Sea
ax b
y
ax b



 ax b ax b y   
ax b axy by   
by b axy ax   
 by b x ay a   
1
1
b y
x
a y
 
   
 
Reemplazando en “P”
 
1
.
1y
a b y
P
b a y
 
   
 
1
1y
y
P
y

 

Luego        3 5 7 99
...E P P P P
4 6 8 100
...
2 4 6 98
E
     
       
     
100
50
2
E   (Clave B)
Resolución 10
Se tiene:
   
   
x m n p x m
g
x m n p n p
    
      
Dividiendo entre n p como se indica:
   
   
x m n p
x mn p
g
x m n p n p
n p
   
    
    
  
Aplicando propiedad distributiva:
1
1
x m
x mn p
g
x m n p
n p
 
  
  
    
Sea
x m
a
n p



1
1
a
g a
a
 
  
 
... (*)
Sea  
1
1 1
1
a
y a y a
a

    

1a ya y   
1y ya a   
 1 1y a y   
1
1
y
a
y

 

Reemplazando en (*)
 
1
1
y
g y
y



Piden:          3 5 7 9 11
. . . .g g g g g
4 6 8 10 12
. . . .
2 4 6 8 10

         3 5 7 9 11
. . . . 6g g g g g  (Clave A)
Resolución 11
Como:   2014
2 3x
x
f f x 
 
 
 
Si 2x  :  2 2014
2
2 3.2f f 
 
 
 
   2 1007
2 6f f   ... (i)
Si 1007x  :  1007 2014
1007
2 3.1007f f 
 
 
 

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   1007 2
2 3021f f  
   
2
1007 2
2 4 6042f f

   ... (ii)
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
De (i):    2 1007
2 6f f 
De (ii)    1007 2
2 4 6042f f 
   2 2
3 6036 2012f f   (Clave D)
Resolución 12
Como
     3 54
2 2 2
0P P P   , es decir el
polinomio P se anula para más de dos valores
de su variable x, se cumple que   0P x 
Luego:
 
 
 
 
 
1 1
0
0
1 1
1 0 1 0 1 1
n n
i
i i
Pn n
i
i i
P
 
 
 
   
        
   
 
(Clave B)