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Resolución Práctica 3 – Polinomios
Ciclo Anual 2014
Resolución 1
Como    .P x a x P a a  
Si 1x   :    1P a P a a    
   1P a P a a     ... (*)
Si 0x  :    0 0.P a P a a  
 P a a 
En (*), se tiene:
   
1 0
a
P a P a a     (Clave A)
Resolución 2
Analizando la expresión f:
 
2 2 2
2002
... 2 1x
radicales
f x x x x x x       

 
   2 2
1x
f x x x x x      
     
22
1 1 1x
f x x x x x        
 2003
2004f  (Clave B)
Resolución 3
Sea  P x m    y  Q x n    , entonces:
    
3 2
3 2 22x x
P Q m n    
 
... (i)
    
3
. 3 12x x
P Q m n    
 
...(ii)
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
De (i): 3 2 22m n 
De (ii) 3 3 9 36m n 
7 14 2n n  
Así, 6m 
Luego:          
2 3 3 2
. .x x x x x
H P Q P Q      
   
   max 2 3 ; 3 2x
H m n m n    
 
   max 18; 22x
H  
 
  22x
H   
 
(Clave E)
Resolución 4
Por inducción, se tiene:
1 paréntesis:   3 2x
V x 
2 paréntesis:       3 2 3 3 2 2xV V V x x    
2
3 3.2 2x  
3 paréntesis:      2
3 3.2 2xV V V V x  
 2
3 3 3.2 2 2x   
3 2
3 3 .2 3.2 2x   
 
10 paréntesis:
     10 9 8
10
... ... 3 3 .2 3 .2 ... 3.2 2x
paréntesis
V V V V x     

 10 9 8
Cociente Notable
3 2 3 3 ... 3 1x     

10
10 3 1
3 2
3 1
x
 
   
 
10 10
3 3 1x   (Clave E)
Recordar: Cociente Notable

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Resolución 5
   
 
2
3. 23
1 2 1x x
xx
f f
x x
  
 
Invirtiendo la expresión:
   
 
 2
11 2 1
3. 2 3. 2x
x xx
f x x
 
  
 
 
 2
11 1 1 1 1
6 3. 2 6 2 3x
x x
f x x
  
      
 
Como  
 
3 1 1
1 3x
x
x x
f
x f x

  

, entonces:
   2
1 1 1 1
6 2x x
f f
 
   
  
 
 
 2
2 61
12
x
x x
f
f f

 
 
 
 
2
6
3
x
x
x
f
f
f
 

(Clave A)
Resolución 6
El área de la superficie tejida se define por:
   ; ;
.
.
2x y x y
xy sen
A xy B

 
De donde se tiene que  ;
2x y
sen
B k

  es un
polinomio constante.
     
 
veces
1;1 2;2 ;
;
... ...
n
n n
x y
B B B k k k nk
n
B k k
     
   

(Clave E)
Resolución 7
Piden        3 5 7 99
...E P P P P
Sea
ax b
y
ax b



 ax b ax b y   
ax b axy by   
by b axy ax   
 by b x ay a   
1
1
b y
x
a y
 
   
 
Reemplazando en “P”
 
1
.
1y
a b y
P
b a y
 
  
 
 
1
1y
y
P
y

 

Luego        3 5 7 99
...E P P P P
4 6 8 100
...
2 4 6 98
E
     
       
     
100
50
2
E   (Clave B)
Resolución 8
Como
     3 54
2 2 2
0P P P   , es decir el polinomio
P se anula para más de dos valores de su variable
x, se cumple que   0P x 
Luego:
 
 
 
 
 
1 1
0
0
1 1
1 0 1 0 1 1
n n
i
i i
Pn n
i
i i
P
 
 
 
   
        
   
 
(Clave B)
Resolución 9
Se sabe que:    1 . 1 2f x x f x   
Si 1 1x y x y    
     1 . 2 2f y y f y    ... (i)
Si 1 1x y x y    
     2 1 . 2f y y f y   
     2 1 . 2f y y f y     

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Multiplicando por  1y 
         
2
1 . 2 1 . 2 1y f y y f y y        ... (ii)
Luego, de (i) y (ii):
     1 . 2 2f y y f y   
         
2
1 . 2 1 . 2 1y f y y f y y      
       
2
1 . 2 1 2f y y f y y      
       
2
1 . 2 1 2f y y f y y     
     2
2 1 2f y y y f y y    
   2
2 2 2y y f y y   
  2
2
2 2
y
f y
y y
 
 
  2
2
2 2
x
f x
x x
 
 
(Clave D)
Resolución 10
Sea el polinomio cúbico    S x P x x  ... (*)
 Si 1:x     1 1 1 0S P  
 Si 2:x     2 2 2 0S P  
 Si 3:x     3 3 3 0S P  
Esto indica que 1; 2 y 3 son raíces de  S x , es
decir:
     
polinomio cúbico
1 2 3 .S x x x x k   

(k es constante)
De (*) se tiene
       1 2 3 .S x x x x k P x x     
     1 2 3 .P x x x x k x      ... (**)
Luego, como  4
5P 
 
   
5
4 4 1 4 2 4 3 . 4P k     
5 3.2.1. 4k  
1
6
k 
Reemplazando en (**)
     
1
1 2 3 .
6
P x x x x x    
Finalmente:
     6
1
6 1 6 2 6 3 . 6
6
P     
 6
16P  (Clave A)
+