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Existen diversos métodos para generar variables
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1. Transformada Inversa
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Ejemplos: El número de li...
Es aquella que se encuentra dentro de un intervalo comprendido
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Existen varios métodos para
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Consiste en generar un valor de la variable
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llamados U1 y U2.
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El método consiste en:
 Definir la función de Densidad f(x) que
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 Una variable Erlang-k es la suma de k exponenciales.
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1. Dividir la distribución de
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3.- Expresar la distribución de
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Unidad III: GENERACION DE NUMEROS ALEATORIOS (SIMULACIÓN)

  1. 1. Las variables aleatorias son aquellas que tiene un comportamiento probabilístico en la realidad. Por ejemplo, el número de clientes que llegan cada hora a un banco depende del momento del día, del día de la semana y de otros factores.
  2. 2. La generación de variables aleatorias o estocásticas significa la obtención de variables que siguen una distribución de probabilidad determinada. Requiere de dos etapas: Generar números aleatorios distribuidos uniformemente (R) Generar con R y con las distribuciones de probabilidad las variables aleatorias o estocásticas.
  3. 3. La generación de estadísticas simuladas, o sea de los valores de las variables aleatorias, tienen una naturaleza enteramente numérica y debe soportarse por números aleatorios, generados por algún método
  4. 4. Una secuencia de números aleatorios R1, R2,... debe tener dos importantes propiedades estadísticas: uniformidad e independencia. Cada número aleatorio Ri es una muestra independiente tomada de una distribución continua uniforme entre cero y uno. Esto es, la función de densidad de probabilidad es:
  5. 5.  Si el intervalo (0, 1) es dividido en n clases, o sub-intervalos de longitudes iguales, el número esperado de observaciones en cada intervalo es N/n, donde N es el número total de observaciones.  La probabilidad de observar un valor en un intervalo en particular es independiente de los valores previamente observados.
  6. 6. Entidad que puede tomar un valor cualesquiera durante la duración de un proceso dado. Discreta Continua independiente
  7. 7. Una variable aleatoria discreta puede tomar valores numéricos específicos, como el resultado de lanzar un dado, o la cantidad de dólares en una cuenta bancaria elegida al azar. Las variables aleatorias discretas sólo pueden tomar un número finito de muchos valores y se les llama variables aleatorias finitas.
  8. 8. Existen diversos métodos para generar variables aleatorias discretas: 1. Transformada Inversa 2. De aceptación-rechazo, o método de rechazo. 3. De composición. 4. Métodos mejorados según la distribución.
  9. 9. Una variable aleatoria X es discreta, si solamente puede tomar un conjunto numerable de valores. Ejemplos: El número de libros en una biblioteca, el número de habitantes en una población, la cantidad de dinero que una persona trae en su bolsillo, el número de aves en un gallinero, el número de admisiones diarias a un hospital, el número de accidentes automovilísticos en una carretera durante un año, etc.
  10. 10. Es aquella que se encuentra dentro de un intervalo comprendido entre dos valores cualesquiera; ésta puede asumir infinito número de valores y éstos se pueden medir.
  11. 11. Existen varios métodos para generar variables aleatorias siendo los más importantes: transformada inversa, convolución y aceptación-rechazo. Mediante estos métodos es posible generar variables aleatorias discretas (binomial, poisson, etc.) y continuas (uniforme, exponencial, normal, etc.).
  12. 12. El método de aceptación y rechazo no es un método directo y puede ser útil cuando alguno de los métodos directos no es eficiente debido a que no sea posible conocer la función de distribución como es el caso de la distribución normal.
  13. 13. Consiste en generar un valor de la variable aleatoria e inmediatamente probar que dicho valor simulado proviene de la distribución de probabilidad que se está analizando.
  14. 14.  Generar dos números uniformes U(0,1) llamados U1 y U2.  Determinar el valor de la variable aleatoria X de acuerdo a la siguiente relación lineal de U1:  Evaluar la función de probabilidad en X = a+(b-a)U1.  Determinar si la siguiente desigualdad se cumple:  Se utiliza a X = a+(b-a)U1 si la respuesta es afirmativa como un valor simulado de la variable aleatoria. De lo contrario, es necesario regresar nuevamente al paso 1 tantas veces como sea necesario.
  15. 15. El método consiste en:  Definir la función de Densidad f(x) que representa la variable a modelar.  Calcular la función acumulada f(x).  Despejar la variable aleatoria x y obtener la función acumulada inversa f(x)-1.  Generar las variables aleatorias x, sustituyendo valores con números pdeudoaleatorios ri ~U (0,1) en la función acumulada inversa. EJEMPLO:
  16. 16. El método de convolución asume que existen Y1, Y2,…, Ym variables aleatorias, tal que la suma de todas ellas tiene la misma distribución que X, entonces se calcula: 1. Genere Y1, Y2, …, Ym variables aleatorias IID cada una con función de distribución G. 2. Aplique X = Y1 + Y2 +… Ym.
  17. 17. La distribución de probabilidad de la suma de dos o más variables aleatorias independientes es llamada la convolución de las distribuciones de las variables originales. El método de convolución es entonces la suma de dos o más variables aleatorias para obtener una variable aleatoria con la distribución de probabilidad deseada. Puede ser usada para obtener variables con distribuciones Erlang y binomiales.
  18. 18.  La suma de un gran número de variables de determinada distribución tiene una distribución normal. Este hecho es usado para generar variables normales a partir de la suma de números U (0,1) adecuados.  Una variable Pascal es la suma de m geométricas.  La suma de dos uniformes tiene una densidad triangular.
  19. 19.  Una variable Erlang-k es la suma de k exponenciales.  Una variable Binomial de parámetros n y p es la suma de n variable Bernoulli con probabilidad de éxito p.  La chi-cuadrado con v grados de libertad es la suma de cuadrados de v normales N (0,1).
  20. 20. Mediante este método la distribución de probabilidad F(x) se expresa como una mezcla de varias distribuciones de probabilidad F(x) seleccionadas adecuadamente. El procedimiento para la selección de las F(x) se basa en el objetivo se minimizar el tiempo de computación requerido para la generación de valores de la variable aleatoria analizada.
  21. 21. 1. Dividir la distribución de probabilidad original en sub-áreas, tal como se muestra en la figura 2. Definir la distribución de probabilidad para cada sub- área.
  22. 22. 3.- Expresar la distribución de probabilidad original en la forma siguiente: F(x)=A1F1(x) + A2F2(x) +… AnFn(x) y ∑Ai = 1 4.- Obtener la distribución acumulada de las áreas:
  23. 23. 5. Generar dos números uniformes R1, R2 6. Seleccionar la distribución de probabilidad F(x) con la cual se va simular el valor de x. La selección de esta distribución se obtiene al aplicar el método de la transformada inversa, en la cuel el eje Y está representado por la distribución acumulada de las areas, y el eje X por las distribuciones F(x). Para esta selección se utiliza el numero uniforme R1. 7. Utilizar el numero uniforme R2 para simular por el método de la transformada inversa o algún otro procedimiento especial, números al azar que sigan la distribución de probabilidad F(x) seleccionada en el paso anterior.
  24. 24. Existen algunas distribuciones como la distribucion erlang, la distribucion normal, etc., cuya simulacion a través del metodo de la transformada inversa sería demasiado compliacado. Para estas y algunas otras distribuciones, es posible utilizar algunas de sus propiedades para facilicitar y agilizar el proceso de generación de numeros al azar.
  25. 25. Muchas variables aleatorias discretas corresponden a conteos de objetos con una característica, relativamente rara, dentro de un conjunto grande de objetos: átomos de un isótopo, moléculas de un elemento químico, bacterias, virus, individuos que poseen un gen especial... Con frecuencia se emplea una ley de Poisson como modelo para estos conteos. Una variable aleatorio sigue una ley de Poisson de parámetro si ella toma sus valores en y si para todo :
  26. 26. Es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p.
  27. 27. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.
  28. 28. En la construcción del modelo de simulación es importante decidir si un conjunto de datos se ajusta apropiadamente a una distribución específica de probabilidad. Al probar la bondad del ajuste de un conjunto de datos, se comparan las frecuencias observadas FO realmente en cada categoría o intervalo de clase con las frecuencias esperadas teóricamente FE.
  29. 29. Es una rama de la estadística las pruebas y modelos estadísticos cuya distribución subyacente no se ajuste a los llamados criterios paramétricos. Las pruebas paramétricas no asumen ningún parámetro de distribución de las variables muéstrales. Las pruebas paramétricas asumen los parámetros de las variable (media y varianza) y un tipo de distribución normal.
  30. 30. Es la prueba estadística de elección cuando la prueba de Chi-cuadrada no puede ser empleada por tamaño muestral insufiente.
  31. 31. Se basa en la hipótesis nula (Ho) de que no hay diferencias significativas entre la distribución muestral y la teoría. Mientras que la hipótesis alternativa (H1), siempre se enuncia como que los datos no siguen la distribución supuesta.
  32. 32. Esta definido como la sumatoria de los residuos expresados en términos de las frecuencias esperadas para cada una de las clases. Interpretación. Cuanto mayor sea el valor de , menos verosímil es que la hipótesis Ho sea correcto. Si = 0. La frecuencia teórica y observada concuerda exactamente. Si > 0. Mientras mayor es la diferencia mayor es la discrepancia. En la practica: si Ho = 0 no existe diferencia significativa es la distribución de la frecuencia observada y la distribución teórica específicamente los mismos parámetros.
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