TEMA 1

1. Factorización: anteriormente estudiamos la multiplicación de polinomios como
una operación en la que dados dos o más polinomios (factores) se encontraba otro
(producto). Ahora en la factorización, se estudiara la operación contraria en la cual
se nos da el resultado de la multiplicación (producto) y se nos pide encontrar los
factores que dieron lugar a este producto.
Factorizar una expresión algebraica es encontrar el producto indicado de sus
factores primos.
Ejemplo: Factorizar 6a2
es encontrar los factores primos de 6a2
, así: 6a2
= (2a)(3a)
Es evidente que los factores primos de 6a2
es 3a y 2a ya que (2a) (3a)= 6a2
Factorización de polinomios:
Para factorizar polinomios existen diferentes casos de los cuales consideramos los
siguientes:
1. Factor común:
Para factorizar por factor común, se toma el factor común con menor
exponente: y se escribe delante de un paréntesis, enseguida se divide el
polinomio dentro del factor común y el resultado se escribe dentro del
paréntesis. Los signos se copian.
Según el principio de distributividad ab+ ac =a (b+c). En este caso la a es
el factor común. Una variable es factor común solo si aparece en todos los
términos. Otro ejemplo seria a2
b3
+a3
b2
-a4
b+a5
, la “a” es una factor común
porque si aparece en todos los términos. La “b” no es un factor común
porque no aparece en el cuarto término, esto quiere decir que no en todos
los términos aparece.
Factorizar los polinomios:
a) a2
b3
+a3
b2
-a4
b+a5
= a2
(b3
+ab2
-a2
b+a3
)
b) 20x3
+15x2
-5x= 5x(4x2
+3x-1)
c) 12m3
- 18m2
+24m=6m(2m2
-3m+4)
d) 24c2
xy2
-36x2
y4
= 12xy2
(2c2
-3xy2
)

2. 2. Diferencia de cuadrados:
Para que un polinomio sea la diferencia de cuadrados debe llenar los siguientes
requisitos:
a) Tener dos términos separados por el signo menos.
b) Ambos deben ser cuadrados perfectos (tener raíz cuadrada exacta).
Si se cumple con lo anterior, para factorizar el polinomio, se multiplica la suma de
las raíces cuadradas por la diferencia de las mismas.
Recordemos que: (a+b)(a-b)=a2
- b2
Por la propiedad simétrica de la igualdad podemos escribir: a2
- b2
=(a + b) (a-b)
Ejemplo:
a)
4a6
-9b2
Solución:
Primero evaluamos que tiene dos términos separados por un signo menos.
Ambos términos tienen raíz cuadrada exacta: la raíz de 4a6
= 2a3
y de 9b2
=3b.
(Para extraer raíz cuadrada de las letras se divide su exponente dentro de 2)
4a6
-9b2
= (2a3
-3b) (2a3
+3b)
b) 24c2
xy2
-36x2
y4
Solución:
Primero tenemos que evaluar si tiene dos términos separados por un signo
menos.
Luego evaluamos si cada uno
49c2
x2
y2
-36c2
x2
y2
= (7cxy-6cyz) (7cxy+6cyz)

3. 3. Trinomio cuadrado perfecto:
“Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, se separan las dos raíces
cuadradas encontradas (del primer término y tercer término), por el signo del
segundo término del trinomio, se encierran entre paréntesis y se eleva al
exponente dos”.
Sabemos que el binomio (a+b)2
se puede escribir como el producto de (a+b) (a+b)
que es igual a:
(a+b)2
= a2
+2ab+b2
.
De acuerdo a lo anterior para que una expresión sea trinomio cuadrado perfecto
debe llenar las siguientes condiciones:
 Tener tres términos.
 Los tres términos deben tener signo “+” o alternativamente “+,-,+”.
 Después de ordenado el trinomio, el primero y el tercer término del trinomio
deben tener raíz cuadrada exacta.
 El segundo término del trinomio, debe ser igual al duplo del producto de las
raíces del primer término por la raíz del tercer término del trinomio.
Ejemplo No. 1:
Factorizar: 4m2
+20m+25
Solución:
 Tiene tres términos.
 Todos los signos son positivos.
 El primero y tercer término tienen raíz cuadrada exacta, las cuales son:
Del primero 2m y del segundo 5.
 El producto del duplo de las dos raíces es el segundo término:
2(2m)(5)=20m.
Por lo tanto determinamos que el trinomio 4m2
+20m+25 es un trinomio cuadrado
perfecto y es igual a decir que:
4m2
+20m+25= (2m+5)2
Ejemplo No. 2:
Factorizar 49x2
-28xy+4y2
Solución:
49x2
-28xy+4y2
= (7x-2y)2