1. 1
Planes de Pensión Definidos: Un ejemplo Numérico Detallado o El Uso de las técnicas de
Ingeniería Económica en la Matemática Actuarial
ABSTRACTO
Se trabaja un ejemplo numérico sencillo de texto pero con mucho detalle a modo de
introducir el tema. Se formula una ecuación general para el caso.
ABSTRACT
We work a simple numerical text example in great detail as a way of introducing the
subject. We formulate a general equation for the case.
Introducción
Sostengo que la mejor manera de entender un asunto muy complicado
teóricamente es haciendo ejemplos numéricos sencillos y prácticos que demuestren lo
que la teoría quiso implicar. Hoy propongo un tema que me parece fascinante
personalmente y está muy al día en nuestro país: los planes de pensión definidos.
Un plan de beneficios definidos específica la cantidad de beneficios de pensión
que el patrono promete pagarle al empleado retirado1
; en este caso, es el patrono quien
sostiene el riesgo que el fondo de pensión no tenga los dineros necesarios para pagar su
obligación llegado el momento del retiro, por ejemplo2
. Voy a tomar un ejemplo numérico
1
En contraposición, tenemos el plan de contribuciones definidas, que específica la cantidad de dinero que
el patrón promete aportar al plan; esto es, en beneficios definidos el patrono dice, “cuando te retires te voy
a dar tanto chavos anualmente, y para asegurar ese numerito prometido, tu pones tanto y yo pongo mas
cuanto y se invierte y si esa inversión no llega a ser suficiente, no te preocupes yo pongo la diferencia!!!”. El
otro tipo de plan, contribuciones definidas, es, claro está, muchísimo más inteligente (dado que quien sabe
que puede pasar con el dinero invertido en tanto años???) ; en este último plan, el patrón dice así: “hoy tu
pones tanto y yo pongo mas cuanto y lo invertimos y cuando te retires, todo lo que hay en esa cuenta, si hay
algo, es tuyo y yo nada que ver con esos chavos, ok?”. Por tanto, en el plan de contribuciones definidas es el
empleado quien sostiene el riesgo de no tener suficientes chavos al momento de retirarse.
2
También sostiene el riesgo de que el empleado viva más años del estimado de vida promedio. Esto, como
se puede observar, es siempre un problema puesto que la distribución del tiempo de vida de los seres
humanos no es simétrica sino que esta inclinada con mayor área vivir hacia más años.

2. 2
del excelente texto3
“Financial Statement Analysis” de Subramanyam & Wild (10ma
Ed.,
2009) pero lo voy a detallar en toda su extensión utilizando Excel para poder demostrar
cada paso y así, tratar de dar un poco de luz en un tema, que pues, parece algo esotérico
cuando se trata por vez primera.
Comenzando por los datos del problema, los autores nos dicen que Mr. JOHN
SMITH, casado en segundas nupcias con Mrs. POCAHONTAS4
, comenzó a trabajar como
“agente” en THE MATRIX CORP. exactamente el 1ro de enero de 2001 y trabajará por,
exactamente, 25 años (esto es, se retirará, exactamente, el día 31 de diciembre de 20255
)
y tiene una expectativa de vida desde esa fecha de, exactamente, 10 años mas (esto es,
morirá exactamente6
el día 31 de diciembre de 2035). Su salario base al día de hoy (31 de
diciembre de 2005, en el ejemplo del texto) es de $10,000.00 anuales y tenemos un
estimado actuarial de aumento salariales anuales de 4% en los próximos 20 años.
La fórmula del plan de pensión especifica que la pensión anual es igual a una
semana de salario base del último año trabajado multiplicada por el número de años
3
Es el ejemplo que aparece en la pág. 193 de ese texto, Apéndice 3B: “Accounting Specifics for
Postretirement Benefits: Economics of Pension Accounting”; sin embargo, el lector podrá comparar que mi
detalle matemático es, con mucho, mas especifico y el acercamiento utilizando Excel es muy diferente al
tratamiento que el texto le da.
4
Información privilegiada de este autor.
5
Haremos la convención que nada pasa desde las 5PM a las 8AM (esto es, supondremos para efectos de
simplicidad de los cálculos, que las 5PM del lunes es matemáticamente igual a las 8AM del martes, por
ejemplo; asimismo, desde el viernes 5PM al lunes 8AM y días feriados, etc.); entonces a las 5PM del 31 de
diciembre de 2005 = TODO el 1 de enero 2006 = 8AM del primer día laboral que le siga a este feriado.
6
Note aquí el primero de los más grandes problemas con este tipo de situación de planes de retiro; las
fechas y otros valores tomados como datos “exactos” son realmente estimados sobre eventos futuros; esto
nos lleva por el camino de los probabilidades sin remedio. Pero, si el problema es estocástico en naturaleza,
para este caso inicial supondremos una situación determinística y luego, claro, se puede ir complicado el
problema según sea necesario. Nota del autor: En caso de Mr. Smith no querer morir en ese momento, The
Matrix, Corp. tiene un contrato con un tal Mr. Anderson, aka NEO en el bajo mundo, quien se encarga de
este tipo de asuntos.

3. 3
trabajados bajo el plan. El fondo de inversión del plan tiene una tasa de descuento para
sus inversiones del 7% anual.
La Tabla I nos da una completa exposición de donde estamos en el ejemplo.
Debemos hacer énfasis que estamos en el 5to año de trabajo y que, a base de la
suposición actuarial de aumento de salario de 4% (esto es, un trabajador típico), llegado el
día de su retiro obligatorio estará ganando unos $21,911.23 anuales (equivalentes a
aproximadamente a unos $421.17 semanal). Si utilizamos los cálculos de interés7
,
tenemos que esto es simplemente:
La notación de estos cálculos utilizada en ingeniería económica es muy útil como
veremos próximamente. Esta es,
Donde,
P: Valor presente de la cuenta
F: Valor futuro de la cuenta
i: tasa de descuento, “aka” tasa de interés, WACC, etc.8
N: número de términos9
7
El 4% es, para todos efectos prácticos, una tasa de interés.
8
Básicamente se refiere al “WACC”: “Weighted Average Cost of Capital”’= es el costo promedio de levantar
capital. En este caso, es simplemente la tasa de incremento de salario anual.

4. 4
La notación implica buscar el factor F/P10
en la tabla de interés al 4%
en el “año” (i.e., “pago no.”) 20.
TABLA I: PANORAMA DEL RETIRO DE MR. JOHN SMIT
Ahora bien, a la fecha de “hoy” (31 de diciembre de 2005= 1 de enero de 2006) Mr.
Smith lleva 5 años trabajando y el cálculo estimado de su pensión seria entonces, según la
9
Más correctamente, es el número de pagos. Por lo importante que pensamos que es estar siempre seguro
de donde estamos parados, marcaré en amarillo cuando me parece que enfatizar algún valor.
10
En inglés, se llama a este factor: “Single payment compound amount factor”; factor de pago único
acumulado; pero mi posición es que es muchísimo más fácil recordar que F/P es el factor que me da el valor
futuro (F) dado el valor presente, (P).

5. 5
regla anteriormente dada para el plan, una semana del salario base del último año
trabajado multiplicada por el número de años trabajados; esto es,
Queda pues, multiplicar esa cantidad por 5 semanas para encontrar el pago anual
de pensión como,
11
La formulación para el caso en que trabaja los 20 años y se retira y que tiene ahora
mismo con 5 años de trabajo, es como sigue:
}
=5*{$10K*(F/P,4%,20)/52}
La Tabla II nos da entonces los valores detallados para cada año, estimados a la
fecha de “hoy”.
11
Estos cálculos se llevan en computadoras, por ser muy extensos y es siempre preferible, utilizar buenas
prácticas de ciencias de computadoras tales como utilizar formulas siempre y solo redondear al dar reportes
evitando truncar innecesariamente; de este modo, el cálculo hecho por Excel es realmente exacto:
5*[$10K)/52 ≈.5*[$10K(1.04^0)/52 = 5*[$10K*(F/P,4%,0)/52. Mantendré la notación con N=0 para luego
enfatizar un punto; el lector se habrá dado cuenta que N=0 implica que el factor = 1 y se puede omitir.

6. 6
TABLA II: CÁLCULOS PENSIÓN ESTIMADA MR. SMITH CON 5 AÑOS DE TRABAJO
Para estar claro sobre dónde estamos ahora mismo, si Mr. Smith trabajara los 20
años, su pensión anual estimada futura será de $2,106.85 por 10 años; sin embargo, al día
de hoy, solo tiene una pensión estimada de $961.54 anuales que recibiría por
exactamente12
10 años luego de retirarse. Esto es, para saber hoy, cuánto The Matrix
Corp. le estará debiendo al momento de retiro de Mr. Smith, hay traer esa anualidad al
presente con la formulación de ingeniería económica esto es:
12
Tenemos a Neo para asegúranos de ello.

7. 7
Donde,
P: Valor presente de la cuenta
A: Anualidad a pagar
k: tasa de descuento, aka, tasa de interés13
M: números de términos14
La notación implica buscar el factor P/A15
en la tabla de interés al 7%
en el “año” (i.e., “pago no.”) 10.
TABLA III: PAGOS ANUAL PENSIÓN MR. SMITH CON 5 AÑOS DE TRABAJO
Más concretamente, The Matrix va a deber al momento del retiro (esto es, 20 años
en el futuro!!!):
13
Ahora si utilizamos el WACC propiamente; esta es la tasa mínima de retorno a la que el fondo debe
invertir el capital.
14
Más correctamente, es el número de pagos de la anualidad; en este caso distinto; por eso utilizo la letra
M. A este factor P/A le llaman valor presente de una anualidad (“annuity present worth”).
15
En inglés, se llama a este factor: “Single payment compound amount factor”; factor de pago único
acumulado; pero mi posición es que es muchísimo más fácil recordar que F/P es el factor que me da el valor
futuro (F) dado el valor presente, P.

8. 8
.
TABLA IV: TABLAS DE FACTORES DE INTERÉS AL 7%, 10 AÑOS
La Tabla IV nos muestra los resultados de los factores P/F16
& P/A para cada valor
de M desde m=0 a m=10 con la tasa de inversión de 7%. Esto es, al momento de retirar a
Mr. Smith, The Matrix puede darle a escoger entre un pago único ese mismo día de ≈
$6,753.44 o una serie de pagos uniformes (anualidad) por diez años cada uno por
$961.5417
.
16
El inverso de F/P; esto es, P/F = 1/(1+interés)^ (no. de pagos) & F/P= (1+interés)^( no. de pagos). El factor
P/A es la acumulación de los factores P/F comenzando en el primer año; esto es, (P/A,i%,1) = (P/F,i%,1),
(P/A,i%,2) = (P/A,i%,1) + (P/F,i%,2),…, (P/A,i%,n) = (P/A,i%,n-1) + (P/F,i%,n). Numéricamente, 0.9346=
0.9346, 1.8080 ≈ 0.9346+0.8734,….4.1002 ≈ 3.3872+0.7130, etc. Una formula más matemáticamente
correcta para este factor seria: .
17
Al igual que los pagos de la loto, al tener esta cantidad en la cuenta, el ganador puede optar por el pago
único o por anualidades; si lo primero, se le emite un cheque por el total y se cierra esa cuenta; si lo
segundo, equivale a que el ganador le da un préstamo por lo que hay ahora mismo en la cuenta a la entidad
deudora y esta debe emitir pagos correspondientes invirtiéndole a la tasa de descuento establecida donde
cada pago contiene un pago al interés y otro al principal.

9. 9
Sin embargo, nos interesa saber cómo vamos a conseguir esos $6,753.44 hoy. Para
saber cuánto es esta deuda hoy, se procede a traerla al presente con la tasa de inversión
del fondo nuevamente. Implica entonces expandir la Tabla IV hasta 20 términos (ver Tabla
V);
TABLA V: TABLAS DE FACTORES DE INTERÉS AL 7%, 20 AÑOS
Por tanto,

10. 10
.
Este valor de $1,745.22 es la obligación de beneficios acumulada18
(en adelante,
ABO por sus siglas en inglés) se basa en el salario base al día de hoy. Es un pasivo. Para
tener un mejor estimado del pasivo que The Matrix tendría hoy si Mr. Smith en efecto
trabajara los 20 años, utilizamos el estimado del último salario y así obtenemos ahora la
obligación de beneficios proyectada19
(en adelante, PBO por sus siglas en inglés):
Note que la fórmula es la misma con la única excepción que en lugar del factor con
N=0 se utiliza el factor con N=20. El PBO es el estimado actuarial de nuestra deuda hoy
basado en la premisa que el empleado recibe aumentos anuales al 4%; es mejor estimado
que el ABO de lo que necesitaríamos tener separado para cumplir nuestra promesa
futura.
Digamos que el fondo de inversión tiene activos por valor en el mercado de
$2,000.00; tenemos entonces que el estatus del fondo es “underfunded” (necesitamos o
18
“Accumulated Benefit Obligation”, ABO.
19
“Projected Benefit Obligation”:, PBO

11. 11
mas correctamente “debemos” aproximadamente $3,824 pero solo tenemos $2K). Si hay
más activos que el PBO, estamos “overfunded”.
El año entrante, 2006, Mr Smith tendrá derecho a una semana más de salario en su
pensión por un año de servicio adicional20
. Las fórmulas quedan, en completo detalle
como sigue:
En el 2006, esta deuda debería aumentar en 7% (k%) pues es lo que el fondo de
inversión quedó en conseguir anualmente, entonces,
20
Este costo recurrente se llama”service cost”; el costo que incurre la firma por un año adicional de servicio
del empleado.

12. 12
Note que (1/1.0719
)= (P/F,7%,19) ya lo tenemos calculado y está en la Tabla V con
valor de ≈ 0.2765. Note además que,
(1+k)= No bien hecho esto,
hemos de fijarnos en que ha pasado un año adicional, por tanto Mr. Smith tiene derecho a
una semana adicional de pensión por su servicio. De la fórmula básica tenemos que,

13. 13
Note que se aumenta en una semana el multiplicador (ahora tiene 6 años de
servicio) pero se disminuye en un año el factor que multiplica la anualidad (ya le quedan
solo 19 años para completar su retiro). Lo interesante es que, a nosotros nos interesa
calcular ese costo directamente ($4,910.00-$4,091.67 ≈ $818.33) y este es, claro la
diferencia entre las 2 formulaciones, quedando y donde ilustro los términos que son
distintos en azul:

14. 14
podrá notarse que si factorizamos los términos en común quedaría:
O, como 6-5=1, (y esto es muy importante, pues el “service cost” se calcula de año
en año, por tanto esto se puede obviar) quedando que el “service cost” es igual a:
=

15. 15
El primer término en paréntesis es el último salario semanal (que será la base de
una anualidad por 10 años), el segundo término produce el valor presente de dicha
anualidad base al momento del retiro y el tercer término trae esa base al 2006. De aquí
que para calcular el “service cost” en cualquier año j+1 desde el año anterior, j, una vez
tenga el producto de los 2 primeros términos, solo hay que multiplicar por el factor P/F
correspondiente. Esto se puede calcular sumamente rápido, fijándose que el primer
termino es muy simple de calcular y el segundo término está en las tablas y estos dos, son
“fijos”; esto es, lo único que hace falta pues varia de año en año, es el último término
(pero que también están todos sus valores en las tablas).
El “service cost” es un costo recurrente, pues cada año de servicio del empleado
corresponde a un aumento en su pensión y en nuestra obligación al día de hoy. Otro costo
recurrente es el “costo de interés” que se asocia con el aumento de la deuda PBO de año
en año; este costo es simplemente:
Para este ejemplo,
*
Existen costos no-recurrentes tales como: a) la ganancia o pérdida actuarial que
puede sobrevenir debido a un cambio en uno o más de los parámetros actuariales por
ejemplo, la tasa de inversión, k (muy posiblemente baja), tasa de mortalidad (muy
posiblemente baja; esto es, la gente muy posiblemente vive más años de los esperados),

16. 16
“turnover” de empleados (Si aumenta hay nuevos empleados y/o los empleados
anteriores se van), tasa de aumentos salariales, etc. b) “Prior service cost” (costo de
servicios retroactivo); este es uno de los más problemáticos; es cuando se prometen
cambios (típicamente aumentos) en los beneficios del plan21
. El texto nos propone
examinar 2 situaciones hipotéticas para estos 2 casos: a) El aumento de la tasa salarial
aumenta a 5% de 4% & b) Se promete una semana y media por cada año de servicio en
lugar de una semana como estaba antes. Veamos su impacto desde las fórmulas:
Pero ahora, la tasa salarial es 5% en lugar de 4%, entonces la fórmula cambia a:
21
El lector notará que es la caso típico de los políticos que prometen aumentos en los planes de retiro sin
entender a cabalidad como esos aumentos impactan el gasto final; este aumento los políticos no lo “ven”
pues para ellos, es una promesa de pago futura que no les impacta (piensan ellos) ahora. Veremos cuan
equivocados están. Contrasta esto con el aumento salarial, cuyo impacto inmediato es claro.

17. 17
Estamos interesados en el costo incremental; esto es, la diferencia entre $5,945.67
– $4,910.00 ≈ $1,035.67.
Factorizando términos en común obtenemos:
El primer termino entre paréntesis es el nuevo ABO ( ) y el otro, la
diferencia entre “valores futuros” debida al aumento salarial. Veamos el efecto de la
promesa de aumento en el plan ahora notando que, para el 2006 el empleado tenía
derecho a una (1) semana por cada año trabajado (6 años en el 2006 => 6 semanas) y

18. 18
ahora tiene derecho a semana y media (1.5) por cada año trabajado (6 años en el 2006 =>
1.5*6= 9 semanas!!!)
El nuevo cambio con efecto retroactivo,
Estamos interesados en el costo incremental; esto es, la diferencia entre $8,918.50
-$5,945.67 ≈ $2,972.83;

19. 19
Factorizando términos en común obtenemos:
=
=
El primer termino entre paréntesis es el nuevo PBO ( ) y el otro, el
diferencial de aumento.
Como se puede observar, un aumento salarial incrementa la obligación actual
proporcionalmente a la diferencia entre valores futuros multiplicada por la obligación
acumulada (ABO); sin embargo, una promesa de aumento en el plan incrementa la
obligación actual directamente proporcional al PBO. Es claro ahora que la “promesa
futura” tiene un impacto mucho mayor que el pago de salarios en el negocio aunque este
último es el que se nota por su efecto inmediato en el “cash”.

20. 20
Referencias:
1. Subramanyam, K.R. & Wild, J.J., (2009). “Financial Statement Analysis”. 10th Ed.
McGraw-Hill, NY
Sobre el autor:
ISMAEL TORRES-PIZARRO, PhD PE, Esq.
642 Domingo Cruz, Villa Prades San Juan, PR USA 00924
Cel (787) 315-5636. E-Mail: ismaeltorres2002@yahoo.com
Dr. Torres-Pizarro is a professional engineering (PE) and lawyer; he is a member in
good standing of the “Colegio de Ingenieros & Agrimensores de PR” and admitted to the
PR Sate Court and PR Federal District Court. He has more than 15 years of experience in
the PR pharmaceutical industry as engineer and engineering manager.
The author is currently a lawyer practicing law as a solo practitioner and teaching
MBA finance & project management courses at The University of Phoenix as well as
doctorate level courses with the DBA program for the Pontifical Catholic University of PR
(Bayamón Off Campus Program).

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Solicitud de Publicación
Fecha: miércoles, 15 de mayo de 2013
Yo Ismael Torres-Pizarro, por la presente certifico:
1. Soy el autor del artículo técnico titulado: Planes de Pensión Definidos: Un ejemplo
Numérico Detallado o El Uso de las técnicas de Ingeniería Económica en la Matemática
Actuarial
2. Tengo todos los derechos de autor de dicho artículo.
3. Por este medio solicito que el referido artículo sea publicado en su revista.
Firmado:
ISMAEL TORRES-PIZARRO ___________________________________
Nombre del autor en letra de molde Firma de autor
Dirección del autor principal: 642 Domingo Cruz, Villa Prades, San Juan, PR USA 00924
Correo electrónico: ismaeltorres2002@yahoo.com
Teléfono Celular: (787) 315-5636