1. CICLO II/2011
INGENIERIA ECONOMICA
UNIDAD II: INTERES COMPUESTO
ING RICARDO ANTONIO MARTINEZ FLORES
raflores@ufg.edu.sv 1

2. Dime y lo olvido,
enséñame y lo recuerdo,
involúcrame y lo aprendo.
Benjamin Franklin, 17.01.1706 -
17.04.1790
Filósofo, político y científico
estadounidense
2

3. UNIDAD Nº II: INTERES COMPUESTO
Objetivo de la unidad:
Que el estudiante conozca:
•Reconocer los conceptos básicos del Interés
Compuesto
•Resolver problemas relacionados con las variables
de cálculo.
3

4. FORMULAS DE INTERES
COMPUESTO QUE RELACIONAN
LOS VALORES FUTUROS Y
PRESENTES
4

5. FORMULAS DE INTERES
COMPUESTO EN SERIES
NORMALES
5

6. CALCULO DEL VALOR DE P
CUANDO SE CONOCE F
F = Valor conocido
i = Valor conocido
1 2 N-3 N-2 N-1 N
P = ¿?
P: Valor presente
F: Valor futuro
i: Tasa de interés efectiva
N: Períodos de tiempo
VALOR PRESENTE PAGO UNICO
6

7. GRAFICO CON TASA DEL 10%
7

8. EJEMPLO:
Un inversionista propietario, tiene la opción de comprar
un a extensión de tierra cuyo valor será de $10,000.00
en seis años. Si el valor de la tierra se incremente un
8% anual ¿cuánto debería estar dispuesto a pagar el
inversionista por la propiedad?
8

9. SOLUCION:
REPRESENTACION GRAFICA
F = $10,000.00
i = 8% compuesto anual
0 1 2 3 4 5 6
P = ¿?
9

10. SOLUCION TABULAR:
P 6,301.70
i= 0.08 compuesto anual
CANTIDAD QUE SE CANTIDAD QUE SE PAGO TOTAL
INTERES QUE SE ADEUDA
AÑO ADEUDA AL INICIO DEL ADEUDA AL FINAL DEL AL FINAL DEL
POR CADA AÑO
AÑO AÑO AÑO
1 P= 6,301.70 iP 504.14 P(1+i) = 6,805.83 0.00
2 P(1+i) = 6,805.83 iP(1+i) = 544.47 P(1+i)¨2 = 7,350.30 0.00
3 P(1+i)¨2 = 7,350.30 iP(1+i)¨2 = 588.02 P(1+i)¨3 = 7,938.32 0.00
4 P(1+i)¨3 = 7,938.32 iP(1+i)¨3 = 635.07 P(1+i)¨4 = 8,573.39 0.00
5 P(1+i)¨4 = 8,573.39 iP(1+i)¨4 = 685.87 P(1+i)¨5 = 9,259.26 0.00
6 P(1+i)¨5 = 9,259.26 iP(1+i)¨5 = 740.74 P(1+i)¨6 = 10,000.00 10,000.00
10

11. SOLUCION MEDIANTE TABLA:
P = F(P/F,8%,6)
F = 10,000.00*0.6302
F = $6,302.00 En este momento.
11

12. CALCULO DEL VALOR DE F
CUANDO SE CONOCE P
F = ¿?
i = Valor conocido
1 2 N-3 N-2 N-1 N
P = Valor conocido
P: Valor presente
F: Valor futuro
i: Tasa de interés efectiva
N: Períodos de tiempo
CANTIDAD COMPUESTA PAGO UNICO
12

13. GRAFICO TASA 10%
13

14. EJEMPLO:
Suponga que solicita prestados $8,000.00 en este momento y
promete cancelar el principal y los intereses al final de cuatro
años para un interés compuesto nominal del 10% anual.
¿Cuánto pagará al final del año 4?
14

15. SOLUCION:
REPRESENTACION GRAFICA
P = $ 8,000.00
i = 10% compuesto anual
0 1 2 3 4
F = ¿?
15

16. SOLUCION TABULAR:
P= 8,000.00
i= 0.10 compuesto anual
CANTIDAD QUE SE CANTIDAD QUE SE PAGO TOTAL
INTERES QUE SE ADEUDA
AÑO ADEUDA AL INICIO DEL ADEUDA AL FINAL DEL AL FINAL DEL
POR CADA AÑO
AÑO AÑO AÑO
1 P= 8,000.00 iP 800.00 P(1+i) = 8,800.00 0.00
2 P(1+i) = 8,800.00 iP(1+i) = 880.00 P(1+i)¨2 = 9,680.00 0.00
3 P(1+i)¨2 = 9,680.00 iP(1+i)¨2 = 968.00 P(1+i)¨3 = 10,648.00 0.00
4 P(1+i)¨3 = 10,648.00 iP(1+i)¨3 = 1,064.80 P(1+i)¨4 = 11,712.80 11,712.80
16

17. SOLUCION MEDIANTE TABLA:
F = P(F/P,10%,4)
F = 8,000.00*1.4641
F = $11,712.80 Al final de los 4 años.
17

18. CALCULO DEL VALOR DE P
CUANDO SE CONOCE A
P = ¿?
i = Valor conocido
0 1 2 N-3 N-2 N-1 N
A = Valor conocido
P: Valor presente
A: Serie uniforme
i: Tasa de interés efectiva
N: Períodos de tiempo
VALOR PRESENTE SERIE UNIFORME
18

19. GRAFICO CON TASA 10%
19

20. EJEMPLO:
Si el día de hoy a cierta máquina se le ordena una
reparación mayor, su producción se incrementaría un
20% que se traduciría en un flujo de efectivo de
$20,000.00 al final de cada año durante 5 años. Si
i=15% compuesto anual
¿Cuánto es razonable invertir para arreglar la máquina
en cuestión?
20

21. SOLUCION:
REPRESENTACION GRAFICA
A = $20,000.00
0 1 2 3 4 5
i = 15% compuesto anual
P = ¿?
21

22. SOLUCION MEDIANTE TABLA:
P = A(P/A,15%,5)
P = 20,000.00*3.3522
P = $67,044
22

23. CALCULO DEL VALOR DE A
CUANDO SE CONOCE P
P = Conocido
i = Valor conocido
0 1 2 N-3 N-2 N-1 N
A = ¿?
P: Valor presente
A: Serie uniforme
i: Tasa de interés efectiva
N: Períodos de tiempo
RECUPERACION DE CAPITAL 23

24. GRAFICO CON TASA 10%
24

25. EJEMPLO:
Usted hace un préstamo por $8,000.00 con una tasa de
interés del 10% compuesto anual.
¿De que valor serán los pagos si desea cancelar el
préstamo con 4 pagos anuales iguales?
25

26. SOLUCION:
REPRESENTACION GRAFICA
A = ¿?
0 1 2 3 4
i = 10% compuesto anual
P = $ 8,000.00
26

27. SOLUCION MEDIANTE TABLA:
A = P(A/P,10%,4)
A = 8,000.00*0.31547
A = $ 2,523.76 al final de cada año.
27

28. CALCULO DEL VALOR DE A
CUANDO SE CONOCE F
F = Conocido
i = Valor conocido
0 1 2 N-3 N-2 N-1 N
A = ¿?
F: Valor futuro
A: Serie uniforme
i: Tasa de interés efectiva
N: Períodos de tiempo
FONDO DE AMORTIZACION 28

29. GRAFICO CON TASA DEL 10%
29

30. SOLUCION:
REPRESENTACION GRAFICA
F = $ 1,000,000.00
A = ¿?
0 1 2 44 45
i = 7% compuesto anual
30

31. SOLUCION MEDIANTE TABLA:
A = F(A/F,7%,45)
A = 1,000,000.00*0.00350
A = $ 3,500.00 por depósito cada año.
31

32. CALCULO DEL VALOR DE F
CUANDO SE CONOCE A
F = ¿?
i = Valor conocido
0 1 2 N-3 N-2 N-1 N
A = Valor conocido
F: Valor futuro
A: Serie uniforme
i: Tasa de interés efectiva
N: Períodos de tiempo
CANTIDAD COMPUESTA SERIE UNIFORME 32

33. GRAFICO TASA 10%
33

34. EJEMPLO:
Suponga que usted hace 15 depósitos anuales de
$1,000.00 en una cuenta bancaria que paga el 5% de
interés compuesto al año. El primer depósito se hará en
un año a partir de hoy.
¿Cuánto dinero podría retirar de su cuenta
inmediatamente después del depósito número 15?
34

35. SOLUCION:
REPRESENTACION GRAFICA
F = ¿?
A = $ 1,000.00
0 1 2 14 15
i = 5% compuesto anual
35

36. SOLUCION MEDIANTE TABLA:
F = A(F/A,5%,15)
F = 1,000.00*21.5786
F = $21,578.60
36

37. RESUMEN DE FORMULAS
37

38. FORMULAS DE INTERES
COMPUESTO EN SERIES
GRADIENTES
38

39. Un gradiente uniforme es una serie de flujos de
efectivo que aumenta o disminuye en forma
uniforme. Es decir, el flujo de efectivo, bien sea
ingreso o desembolso, cambia por la misma
cantidad aritmética cada periodo de interés. La
cantidad del aumento o de la disminución es el
gradiente
39

40. EJEMPLO DE CALCULO DE GRADIENTE:
40

41. CALCULO DEL VALOR DE P CUANDO SE
CONOCE G.
G: Cambio aritmético uniforme
P: Valor presente
i: Tasa de interés efectiva
N: Períodos de tiempo
GRADIENTE UNIFORME
A VALOR PRESENTE
41

42. GRAFICO TASA 10%
42

43. EJEMPLO:
Suponga que se espera que cierto flujo de
efectivo al final del año sea de $1,000.00 para el
segundo año, $2,000.00, para el tercer año y
$3,000.00 para el cuarto año, y que el interés es
del 15% compuesto anual y se desea encontrar
el valor presente equivalente al comienzo del
primer año.
43

44. SOLUCION:
La figura anterior se asemeja a un gradiente con
G = 1,000.00 y n = 4
P = ¿?
G = $ 1,000.00 $3,000.00
$2,000.00
$1,000.00
0 1 2 3 4
i = 15% compuesto anual
44

45. SOLUCION MEDIANTE TABLA:
P = G(P/G,15%,4)
P = 1,000.00*3.7854
P = $ 3,785.40 ahora.
45

46. CALCULO DEL VALOR DE A CUANDO SE
CONOCE G.
G: Cambio aritmético uniforme
P: Valor presente
i: Tasa de interés efectiva
N: Períodos de tiempo
GRADIENTE UNIFORME
A SERIE UNIFORME
46

47. GRAFICO TASA 10%
47

48. EJEMPLO:
Suponga que se espera que cierto flujo de
efectivo al final del año sea de $1,000.00 para el
segundo año, $2,000.00, para el tercer año y
$3,000.00 para el cuarto año y que el interés es
del 15% compuesto anual y se desea encontrar
el valor anual equivalente al final de cada uno de
los cuatro años.
48

49. SOLUCION:
La figura anterior se asemeja a un gradiente con
G = 1,000.00 y n = 4
G = $ 1,000.00 $3,000.00
$2,000.00
$1,000.00
0 1 2 3 4
A = ¿?
i = 15% compuesto anual
49

50. SOLUCION MEDIANTE TABLA:
A = G(A/G,15%,4)
A = 1,000.00*1.3263
A = $ 1,362.30 Al final de cada año.
50

51. CALCULO DEL VALOR DE F CUANDO SE
CONOCE G.
F =¿?
G: Cambio aritmético uniforme
P: Valor presente
i: Tasa de interés efectiva
N: Períodos de tiempo
GRADIENTE UNIFORME
A VALOR FUTURO
51

52. GRAFICO TASA 10%
52

53. EJEMPLO:
Suponga que se espera que cierto flujo de
efectivo al final del año sea de $1,000.00 para el
segundo año, $2,000.00, para el tercer año y
$3,000.00 para el cuarto año y que el interés es
del 15% compuesto anual y se desea encontrar
el valor futuro equivalente único al fina de los
cuatro años.
53

54. SOLUCION:
La figura anterior se asemeja a un gradiente con
G = 1,000.00 y n = 4
F = ¿?
G = $ 1,000.00 $3,000.00
$2,000.00
$1,000.00
0 1 2 3 4
i = 15% compuesto anual
54

55. SOLUCION MEDIANTE TABLA:
F = G(A/G,15%,4)*(F/P,15%,4)
F = 1,000.00*3.7864*1.7490
F = $ 6,622.41 Al final de los cuatro años.
55

56. FORMULAS DE INTERES
COMPUESTO EN SERIES
GEOMETRICAS
56

57. Con frecuencia, los flujos de efectivo cambian
por un porcentaje constante en periodos de
pago consecutivos, por ejemplo, 5% anual. Este
tipo de flujo de efectivo, llamado una serie
geométrica o escalonada,
D : Valor en dólares del
flujo inicial
E: Tasa de crecimiento
geométrico.
i: Tasa de interés efectiva
N: Períodos de tiempo
GRADIENTE UNIFORME
A VALOR FUTUO
57

58. Para simplificar el cálculo, se procederá a
encontrar la equivalencia de la serie con el valor
P
P = D * (P/A, i%-E%, N)
1+E 1+E
D : Valor en dólares del
flujo inicial
E: Tasa de crecimiento
geométrico.
i: Tasa de interés efectiva
N: Períodos de tiempo
PAGO UNICO SERIE
GEOMETRICA
58

59. Los valores de la Icr (tasa de conveniencia) no
aparecen en las tablas y como es frecuente que
no sea una tasa de interés entera. Se recurre a
la ecuación planteada y se sustituye por la
siguiente ecuación:
59

60. EJEMPLO:
Considere la secuencia geométrica de flujos de
efectivo de final de período del diagrama de tiempo
siguiente. Determine los valores equivalente de
P, A, D y F. La tasa de incremento es del 20% por
año, después del primer año y la tasa de interés es
del 25% anual.
$1,000.00*1.2¨3
$1,000.00*1.2¨2
$1,000.00*1.2¨1
$1,000.00
0 1 2 3 4
i = 25% compuesto anual
60

61. SOLUCION:
P = 1,000.00*(P/A, 25%-20%,4)
1.2 1.2
P = 833.33*(P/A,4.167%,4)
P = 833.33* 0.04167¨4-1 .
0.04167*(1+0.04167)¨4
P = $ 3,013.08 Al inicio de los 4 años.
A = 3,013.08(P/A,25%,4)
A = $1,275.86 Al final de cada año durante 4 años
F = 3,013.08(F/P,25%,4)
F = $ 7,356.15 A final de los 4 años
61

62. SOLUCION:
Ao = $3,013.08(A/P,4.167%,4)
Ao = 3,013.08*(A/P, 25%-20%,4)
1.2
Ao = 3,0136.08*0.04167*0.04167*4
0.04167¨4-1
Ao = $ 833.34 Valor de inicio para la serie
geométrica, este valor no aparece en el gráfico
D = Ao*(1+E)
D = 833.34*(1+0.20)
D = $1,000.00 Valor del ingreso año 1
62

63. EJERCICIOS DE VALOR
EQUIVALENTE
63

64. EJERCICIOS DE VALOR EQUIVALENTE
EJERCICIO 1:
Un contratista de baldosas independiente realizó una
auditoría de algunos registros viejos y encontró que el
costo de los suministros de oficina variaban, como se
muestra en la gráfica siguiente. Si el contratista
deseaba conocer eI valor equivalente en el año 10 de
las tres sumas más grandes solamente,
¿Cuál era ese total a una tasa de interés 5%
64

65. SOLUCION:
65

66. EJERCICIOS DE VALOR EQUIVALENTE
EJERCICIO 2:
¿Cuánto dinero tendría un hombre en su cuenta de
inversión después de 8 años si deposito $1,000.00
anualmente durante 8 años al 14% anual empezando
un año a partir de hoy.
66

67. SOLUCION:
67

68. EJERCICIOS DE VALOR EQUIVALENTE
EJERCICIO 3:
¿Cuánto dinero estaría una persona dispuesta a gastar
ahora con eI fin de evitar el gasto de $ 500.00 dentro
de siete años a partir de hoy si la tasa de interés es del
18% compuesto anual?
68

69. SOLUCION:
69

70. EJERCICIOS DE VALOR EQUIVALENTE
EJERCICIO 4:
¿Cuánto dinero estaría una persona dispuesta a pagar
ahora por una inversión cuyo retorno garantizado será
de $600.00 anual durante 9 años empezando el año
próximo, a una tasa de interés del 16%. Compuesto
anual?
70

71. SOLUCION:
71

72. EJERCICIOS DE VALOR EQUIVALENTE
EJERCICIO 5:
Una pareja piensa empezar a ahorrar dinero
depositando $500 en su cuenta de ahorros, dentro de
un año. Ellos estiman que los depósitos aumentarán
en $100 cada año durante 9 años a partir de entonces.
¿Cuál será el valor presente de las inversiones si la
tasa de interés es de 5% anual?
72

73. SOLUCION:
73

74. EJERCICIOS DE VALOR EQUIVALENTE
EJERCICIO 6:
Una pareja piensa empezar a ahorrar dinero
depositando $500 en su cuenta de ahorros, dentro de
un año. Ellos estiman que los depósitos aumentarán
en $100 cada año durante 9 años a partir de entonces.
¿Cuál será el valor anual uniforme si la tasa de interés
es de 5% anual?
74

75. SOLUCION:
75

76. INTERPOLACION:
Algunas veces es necesario localizar el valor de
un factor para una tasa de interés i o número de
periodos n que no está contemplado en las tablas
de interés. Cuando esto ocurre, el valor del factor
deseado puede obtenerse en una de dos formas:
(1) utilizando fórmulas, ó
(2) interpolando entre los valores tabulados.
76

77. El primer paso en la interpolación lineal es
establecer los factores conocidos (valores 1 y 2)
y desconocidos, como se muestra en la tabla:
Se escribe entonces una ecuación de razones y
se resuelve para c, de la siguiente manera:
77

78. EJEMPLO:
Determine el valor de A/P para una tasa de
interés compuesto del 7.3% y n igual a 10 años.
Es decir (A/P,7.3%,10).
78

79. SOLUCION:
Los valores correspondientes a tasas de interés
compuesto del 7% y del 8% aparecen en las tablas con
sus respectivos valores del factor y son los que se
utilizan para la interpolación, de la siguiente manera:
79

80. EJERCICIO:
Encuentre el valor de (P/F,4%,48)
SOLUCION:
80