ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES
MODELOS DE DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
Notas y resúmenes de clase
Distribuciones de probabilidad de tipo discreto
.1. Modelo Bernoulli
.2. Modelo Binomial
.3. Modelo Hipergeométrico
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO DISCRETO
Proceso de Bernoulli
Es un experimento con las siguientes características:...
Modelo Bernoulli Notación : X~ Be(p)
La v.a. de Bernoulli X viene definida por:
X=0, si el resultado es Fracaso, 1-p = q
X...
Modelo Binomial Notación: X ~ B( n,p )
Función de probabilidad:
p(x) = px (1-p)n-x, x = 0,1, ..., n.
n
x
Observación: Be(p...
Distribución Binomial. Ejercicio
La probabilidad de que una persona que sufre de
migraña tenga alivio con una fármaco espe...
Modelo Hipergeométrico Notación: X ~ H(N, k, n)
Un conjunto de N objetos contiene: k objetos
clasificados como éxitos y N-...
Ejemplo de Hipergeométrica
Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha
colocado 6 tabletas de narcótico en un...
Modelo de Poisson Notación: X ~ P()
e – x
x!
Función de probabilidad: p(x)= x= 0,1,2, ...
El experimento observado es l...
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Modelo de Poisson Notación: X ~ P()
e – x
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Función de probabilidad: p...
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Aproximación Poisson de la distribución binomial
Sea X el nº de éxitos res...
Ejemplo de Distribución de Poisson
 Si la media del número de casos semanales de Dengue en
un hospital es 1.3, ¿Cuál es l...
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUO
Modelo Uniforme Notación: X ~ U(a,b)
Una v.a. sigue una distribución unifo...
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Modelo Uniforme Notación: X ~ U(a,b)
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Función de densidad: f(x)= a ...
Suponga que un departamento de investigación de
enfermedades cardiovasculares está realizando un estudio
sobre la hiperten...
Suponga que el departamento de investigación de un fabricante
de acero cree que una de las máquinas de la compañía está
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construido y probado un circuito de condensador conmutado
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUO
Modelo Exponencial Notación: X ~ Exp()
La variable aleatoria X representa...
Ilustración
f(x)= 1/ e– x/ , x>0
Modelo exponencial
f(x)= 1/5 e– x/5, x>0
f(x)= 1/2 e– x/2, x>0
f(x)= 1/10 e– x/10, x>0
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Ejemplo de Distribución Exponencial
• Si la Esperanza de vida de un ÁRBOL es de 40 años ¿Cuál es la
probabilidad de que vi...
Los clientes de un supermercado llegan en
promedio de 1 por minuto. Halle la
probabilidad de que transcurran:
 A lo sumo ...
La duración de un cierto tipo de bombillo es una variable
aleatoria exponencial de media 5000 horas.
¿Cuál es la probabil...
Para una variable aleatoria exponencial X,
P(X < t1 + t2 | X > t1) = P(X < t2)
Propiedad de carencia de memoria
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El tiempo entre arribos de los taxis en un cruce muy
concurrido tiene una distribución exponencial con media de
10 minutos...
El tiempo de duración de un ensamble mecánico en
una prueba de vibración tiene una distribución
exponencial con media de 4...
En una red de computadoras grande, el acceso de los
usuarios al sistema puede modelarse como un proceso
de Poisson con una...
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUO
Modelo Normal Notación: X ~ N(,2)
f(x)= e , - < x < 
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2 
1 x-  2
2...
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Modelo Normal Notación: X ~ N(, 2)
f(x)= e , -  < x < 1
2 
1 x-  2
...
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUO
Modelo Normal Estándar Notación: z ~ N(0,1)
f(z)= e , -  < z < 1
2
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUO
Modelo Normal
Si a una v.a. normal le
restamos su media y la
dividimos por...
Modelo Normal Notación: X ~ N(, 2)
Si Y = a X ± b, siendo X ~ N (, 2), entonces:
Y ~ N (a  ± b, a2 2 )
En toda dis...
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 Con el propósito de calcular probabilidades, se
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Si el nivel de colesterol de los habitantes de Maracaibo
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El tiempo de incapacidad por enfermedad de los
empleados de una compañía en un mes tiene una
distribución normal con media...
Se supone que el ancho de una herramienta utilizada en la
fabricación de semiconductores tiene una distribución normal
con...
Aproximación Normal a la distribución Binomial
Sea X el nº de éxitos resultantes de n ensayos independientes, cada uno
con...
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUO
Aproximación Normal a la distribución Poisson
Sea X una v.a. de Poisson co...
RESUMEN DE CONVERGENCIAS DE DISTRIBUCIONES
Poisson
P()
Normal
N(, 2)
Binomial
B(n,p)
Hipergeométrica
H(N, k, n)
N>50
n/...
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  1. 1. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES MODELOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Notas y resúmenes de clase
  2. 2. Distribuciones de probabilidad de tipo discreto .1. Modelo Bernoulli .2. Modelo Binomial .3. Modelo Hipergeométrico .4. Modelo de Poisson Distribuciones de probabilidad de tipo continuo .5. Modelo Uniforme .6. Modelo Exponencial .7. Modelo Normal .
  3. 3. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO DISCRETO Proceso de Bernoulli Es un experimento con las siguientes características: 1. Se realiza un experimento con dos resultados posibles: E (Éxito) y F (Fracaso) tal que: p(E) = p p(F) = q = 1- p p+q =1 2. La repetición del experimento no altera las probabilidades de E y F Este modelo se puede aplicar a: • Poblaciones finitas : se toman elementos al azar con reemplazamiento [urna con bolas, encuestas] • Poblaciones infinitas : se observan elementos al azar en un proceso generador estable ( constante) y sin memoria (observaciones independientes). [sexo recién nacido, producción de una máquina]
  4. 4. Modelo Bernoulli Notación : X~ Be(p) La v.a. de Bernoulli X viene definida por: X=0, si el resultado es Fracaso, 1-p = q X=1, si el resultado es Éxito, p Función de probabilidad: p(x) = px (1-p)1-x, x = 0,1. Media: E(X) = p Varianza: Var(X) = p(1-p) Función generatriz de momentos: M(t) = p et + (1-p)
  5. 5. Modelo Binomial Notación: X ~ B( n,p ) Función de probabilidad: p(x) = px (1-p)n-x, x = 0,1, ..., n. n x Observación: Be(p) = B ( 1, p ) Media: E(X) = n p Varianza: Var(X) = n p (1-p) Función generatriz de momentos: M(t) = [ p et + (1-p) ]n Una v.a. Binomial representa el número de éxitos que ocurren en n repeticiones independientes de un ensayo de Bernoulli cuya probabilidad de éxito es p.
  6. 6. Distribución Binomial. Ejercicio La probabilidad de que una persona que sufre de migraña tenga alivio con una fármaco específico es de 0.9. Se seleccionan aleatoriamente a tres personas con migraña a las que se les administra el fármaco. Encuentre la probabilidad de que el número de personas que logran alivio sea: a) Exactamente 0 b) Exactamente uno c) Dos o menos d) Dos o tres
  7. 7. Modelo Hipergeométrico Notación: X ~ H(N, k, n) Un conjunto de N objetos contiene: k objetos clasificados como éxitos y N-K como fracasos. Se toma una muestra de tamaño n, al azar y (sin reemplazo) de entre los N objetos. k éxitos N-k fracasos Población: N Muestra n La v.a. Hipergeométrica X representa el nº de éxitos en la muestra Función de probabilidad                      n N xn kN x k xp )( 1 )1()( )(     N nN pnpXV N k psiendonpXE  Si el tamaño muestral n es muy pequeño en relación al número total de elementos, N, las probabilidades hipergeométricas son muy parecidas a las binomiales, y puede usarse la distribución binomial en lugar de la hipergeométrica.
  8. 8. Ejemplo de Hipergeométrica Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?.
  9. 9. Modelo de Poisson Notación: X ~ P() e – x x! Función de probabilidad: p(x)= x= 0,1,2, ... El experimento observado es la aparición de sucesos en un soporte continuo: *Tiempo (llegada de autobuses a una parada,...) *Espacio (errores por página, ...) Características del proceso: • Es estable: produce a largo plazo un número medio de sucesos constante λ por unidad de observación (tiempo, espacio, área) • Los sucesos aparecen aleatoriamente de forma independiente , es decir, el proceso no tiene memoria, ya que conocer sucesos en un intervalo no ayuda a predecir sucesos en el siguiente. Si el número promedio de ocurrencias en un intervalo de tiempo o en una región específica es λ>0. La v.a. X que es igual al número de ocurrencias indptes. en el intervalo o región tiene una distribución de Poisson con tasa λ
  10. 10. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO DISCRETO Modelo de Poisson Notación: X ~ P() e – x x! Función de probabilidad: p(x)= x= 0,1,2, ... Media: E(X) =  Varianza: Var(X) =  Función generatriz de momentos: M(t) = e(e -1)t
  11. 11. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO DISCRETO Aproximación Poisson de la distribución binomial Sea X el nº de éxitos resultantes de n ensayos independientes, cada uno con probabilidad de éxito p. La distribución del nº de éxitos es binomial de media np. Sin embargo, si el nº de ensayos n es grande y np tiene un tamaño moderado (preferiblemente np≤7), esta distribución puede aproximarse bien por la distribución de Poisson de media λ=np. La función de probabilidad de la distribución aproximada es entonces: ! )( )( x npe xp xnp 
  12. 12. Ejemplo de Distribución de Poisson  Si la media del número de casos semanales de Dengue en un hospital es 1.3, ¿Cuál es la probabilidad de que en una semana se presenten 5 o más casos de Dengue? λ = 1.3
  13. 13. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUO Modelo Uniforme Notación: X ~ U(a,b) Una v.a. sigue una distribución uniforme si su masa de probabilidad está repartida uniformemente a lo largo de su soporte 1 b - a Función de densidad: f(x)= a x b a b X f(x) 1/(b-a)
  14. 14. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUO Modelo Uniforme Notación: X ~ U(a,b) 1 b - a Función de densidad: f(x)= a x b Media: E(X) =(a+b)/2 Varianza: Var(X) = (b-a)2/12 x - a b - a Función de distribución: F(x)= a x b
  15. 15. Suponga que un departamento de investigación de enfermedades cardiovasculares está realizando un estudio sobre la hipertensión arterial, trabajando para ello con una muestra aleatoria de personas y donde la presión arterial diastólica se distribuye uniformemente entre 60 y 160. Este grupo de investigación desea excluir aquellos pacientes cuya presión arterial esté por debajo de 90. Distribución Uniforme Continua Calcule la media y la desviación estándar de x, la presión arterial diastólica de las personas de la muestra. Grafique la distribución de probabilidad Calcule la fracción de personas que se omitirán para el estudio.
  16. 16. Suponga que el departamento de investigación de un fabricante de acero cree que una de las máquinas de la compañía está produciendo láminas de metal con espesores variables. El espesor es un variable aleatoria uniforme con valores entre 150 y 200 milímetros. Cualquier lámina que tenga menos de 160 milímetros de espesor debe desecharse, pues resulta inaceptable para los compradores. Distribución Uniforme Continua Grafique la distribución de probabilidad de las láminas de acero producidas por esta máquina Calcule la fracción de las láminas de acero producidas por esta máquina que se desechan
  17. 17. Investigadores de la Universidad de los Andes han diseñado, construido y probado un circuito de condensador conmutado para generar señales aleatorias. Se demostró que la trayectoria del circuito estaba distribuida uniformemente en el intervalo (0,1). Distribución Uniforme Continua Indique la media y la varianza de la trayectoria del circuito Calcule la probabilidad de que la trayectoria esté entre 0.2 y 0.4 ¿Esperaría usted observar una trayectoria que excediera 0.995?
  18. 18. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUO Modelo Exponencial Notación: X ~ Exp() La variable aleatoria X representa el tiempo que transcurre hasta la primera ocurrencia del proceso de Poisson P() Función de densidad: f(x)= e – x/ , x>0 1  Siendo  = 1/ Media: E(X) =  Varianza: Var(X) = 2 Función de distribución: F(x) = 1- e – x/ , x>0 F. generatriz de momentos: M(t) = (1-  t)–1 t< 1/  La distribución exponencial tiene la propiedad de carencia o pérdida de memoria, esto es: P( X< s + t / x> s ) = P( X< t )
  19. 19. Ilustración f(x)= 1/ e– x/ , x>0 Modelo exponencial f(x)= 1/5 e– x/5, x>0 f(x)= 1/2 e– x/2, x>0 f(x)= 1/10 e– x/10, x>0 Parámetro:  F(x)= 1 – e– x/ , x>0 =  2= 2 M(t)= (1 –  t )–1 x f(x)
  20. 20. Ejemplo de Distribución Exponencial • Si la Esperanza de vida de un ÁRBOL es de 40 años ¿Cuál es la probabilidad de que viva más de 60 años?
  21. 21. Los clientes de un supermercado llegan en promedio de 1 por minuto. Halle la probabilidad de que transcurran:  A lo sumo 2 minutos antes de la llegada del próximo cliente  Por lo menos 3 minutos Distribución Exponencial
  22. 22. La duración de un cierto tipo de bombillo es una variable aleatoria exponencial de media 5000 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que dure más de 6000 horas?  Si lleva funcionando 1000 horas ¿cuál es la probabilidad de que dure: 6000 horas adicionales a las 1000 que lleva funcionando? 6000 horas en total? Distribución Exponencial
  23. 23. Para una variable aleatoria exponencial X, P(X < t1 + t2 | X > t1) = P(X < t2) Propiedad de carencia de memoria En la duración que se espera que tenga el objeto, no influye para nada el tiempo que en la actualidad lleva funcionando El dispositivo no se desgasta. Distribución Exponencial
  24. 24. El tiempo entre arribos de los taxis en un cruce muy concurrido tiene una distribución exponencial con media de 10 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que esté en el cruce tenga que esperar más de una hora para tomar un taxi? Suponga que la persona ya esperó una hora, ¿cuál es la probabilidad de que llegue uno en los siguientes 10 minutos? Distribución Exponencial
  25. 25. El tiempo de duración de un ensamble mecánico en una prueba de vibración tiene una distribución exponencial con media de 400 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que el ensamble falle durante la prueba en menos de 100 horas? ¿Cuál es la probabilidad de que el ensamble trabaje durante más de 500 horas antes de que falle? Si el ensamble se ha probado durante 400 horas sin falla alguna, ¿cuál es la probabilidad de que falle en las siguientes 100 horas?
  26. 26. En una red de computadoras grande, el acceso de los usuarios al sistema puede modelarse como un proceso de Poisson con una media de 25 accesos por hora.  ¿Cuál es la probabilidad de que no haya accesos en un intervalo de 6 minutos?  ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo que transcurre hasta el siguiente acceso esté entre 2 y 3 minutos? Distribución Exponencial. Ejercicio
  27. 27. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUO Modelo Normal Notación: X ~ N(,2) f(x)= e , - < x <  1 2  1 x-  2 2  La distribución es campaniforme, simétrica, centrada en  y con puntos de inflexión en 
  28. 28. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUO Modelo Normal Notación: X ~ N(, 2) f(x)= e , -  < x < 1 2  1 x-  2 2  Media: E(X) =  Varianza: Var(X) = 2 F. generatriz de momentos: M(t)= e 1 2 t+ 2t2
  29. 29. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUO Modelo Normal Estándar Notación: z ~ N(0,1) f(z)= e , -  < z < 1 2 1 z 2 2 =0 2=1 M(t)= e t2 2 Función de distribución: está tabulada F(z)= Pr (Zz)=(z) 0 z f(z)
  30. 30. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUO Modelo Normal Si a una v.a. normal le restamos su media y la dividimos por su desviación típica, la variable resultante tiene media cero y desviación típica 1, y distribución normal estándar. Si X ~ N ( µ, 2 )  Z =  N(0,1) X- µ σ En la práctica: Fx(x)= Pr (Xx) = Pr (  )= Pr(Z  )= ( )X- µ σ x- µ σ x- µ σ x- µ σ TABLAS
  31. 31. Modelo Normal Notación: X ~ N(, 2) Si Y = a X ± b, siendo X ~ N (, 2), entonces: Y ~ N (a  ± b, a2 2 ) En toda distribución Normal se comprueba que: Pr( µ- 2 σ  X  µ+ 2 σ ) = 0,955 Pr( µ- 3 σ  X  µ+ 3 σ ) = 0,997 que son intervalos más precisos que la acotación de Tchebychev (0,75 y 0, 88, respectivamente). Otras propiedades:
  32. 32. Distribución de Probabilidad  Con el propósito de calcular probabilidades, se tabula esta Función de Distribución Acumulada. Función de distribución acumulada Densidad de Probabilidad f F
  33. 33. Estándar 0 1.25 1056.0 0.8944-1 )25.1(1)25.1(    zpzp 3944.05000.08944.0 )0()25.1()25.10(   zpzpzp 0 1.25 Normal Estándar
  34. 34. Consideremos que el peso de los niños varones en el momento del nacimiento se distribuye normalmente. Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer es 3,25 kgs y la desviación típica es de 0,82 kgs, ¿cuál es la probabilidad de que el peso de un niño varón al nacer sea superior a 4 kgs? Estandarizamos la variable aleatoria X, peso de los niños al nacer. En el proceso de estandarización, al valor de X=4, le corresponde el valor, t=0,9146 :
  35. 35. Si el nivel de colesterol de los habitantes de Maracaibo tiene una distribución aproximadamente normal, con una media de 200 mg/100 ml y una desviación estándar de 20 mg/100 ml, calcule la probabilidad de que una persona de Maracaibo, elegida al azar, tenga un nivel de colesterol: a.- Entre 180 y 200 mg/100 ml b.- Mayor que 225 mg/100 ml c.- Menor que 150 mg/100 ml d.- Entre 190 y 210 mg/100 ml
  36. 36. El tiempo de incapacidad por enfermedad de los empleados de una compañía en un mes tiene una distribución normal con media de 100 horas y desviación estándar de 20 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo por incapacidad del siguiente mes se encuentre entre 50 y 80 horas? ¿Cuánto tiempo de incapacidad deberá planearse para que la probabilidad de excederlo sea solo del 10%?
  37. 37. Se supone que el ancho de una herramienta utilizada en la fabricación de semiconductores tiene una distribución normal con media de 0.5 micrómetros y desviación estándar de 0.05 micrómetros. a.- ¿Cuál es la probabilidad de que el ancho de la herramienta sea mayor que 0.62 micrómetros? b.- ¿Cuál es la probabilidad de que el ancho de la herramienta se encuentre entre 0.47 y 0.63 micrómetros? c.- ¿Debajo de qué valor está el ancho de la herramienta en el 90% de las muestras?
  38. 38. Aproximación Normal a la distribución Binomial Sea X el nº de éxitos resultantes de n ensayos independientes, cada uno con probabilidad de éxito p. Si n es grande y p no es ni demasiado grande ni pequeño, entonces, la distribución binomial puede aproximarse bien por la distribución Normal de media  =np y varianza σ2= np(1-p).               )1()1( )( pnp npb Z pnp npa PbXaP O usando la corrección de continuidad de medio punto (cuando 20≤n≤50).               )1( 5,0 )1( 5,0 )( pnp npb Z pnp npa PbXaP Siendo Z la distribución normal estándar.
  39. 39. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUO Aproximación Normal a la distribución Poisson Sea X una v.a. de Poisson con media λ. Si λ es grande, entonces, dicha distribución puede aproximarse bien por la distribución Normal de media =λ y varianza σ2= λ.               b Z a PbXaP )( O usando la corrección de continuidad Siendo Z la distribución normal estándar.               5,05,0 )( b Z a PbXaP
  40. 40. RESUMEN DE CONVERGENCIAS DE DISTRIBUCIONES Poisson P() Normal N(, 2) Binomial B(n,p) Hipergeométrica H(N, k, n) N>50 n/N0,1 n20 =np 2 =np(1-p)  10 =  2 =  =np np 7
  41. 41. MUESTREO Y TECNICAS DE MUESTREO

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