Transparencias variable aleatoria_discreta2016

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TEMA 1
VARIABLES ALEATORIAS
DISCRETAS

2VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
INDICE
 VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL
 VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
• Función de probabilidad
• Función de distribución
• Características de una variable aleatoria discreta
 DISTRIBUCIONES DISCRETAS NOTABLES
• Uniforme Discreta
• Distribuciones asociadas a un experimento de Bernouilli
• Bernoulli
• Binomial
• Hipergeométrica
• Distribuciones asociadas a un experimento de Poisson
• Poisson

VARIABLE ALEATORIA
- Ω es el espacio muestral correspondiente al experimento aleatorio
- ℘(Ω) es el conjunto de todos los posibles subconjuntos del
espacio muestral
- P es la función de probabilidad asociada al experimento
Una variable aleatoria es una cuantificación (asignación
numérica) de los resultados del experimento aleatorio.
Matemáticamente, es una función:
X: Ω → R
ω → X(ω)
CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA
Considerar un experimento aleatorio Ε y definimos espacio
probabilístico como la terna (Ω,℘(Ω),P) donde:

VARIABLE ALEATORIA
Ejemplos
- Valor de la cotización de una acción del Banco Santander al final de un
día
- Número de hijos de una familia
- Religión que profesa una persona
- Preferencia por una marca de coche
- Intención de voto en las próximas elecciones
- Tiempo de estudio de un estudiante para una asignatura
- Número de convocatorias para aprobar una asignatura
- Número de parados el próximo mes
- Tasa de crecimiento del PIB, de la inflación, de las exportaciones ,…
- Ventas futuras de una empresa
- Beneficios anormales de una empresa
- Tiempo de atención a un cliente
…

VARIABLE ALEATORIA
Variables aleatorias discretas y continuas
Existen, esencialmente, dos tipos de variables aleatorias:
discretas y continuas
Una variable aleatoria se dice discreta si toma, con
probabilidad 1, un número finito o infinito numerable de
valores de R (se pueden enumerar con los números naturales)
Una variable aleatoria se dice continua, si puede tomar
cualquier valor de los comprendidos dentro de un intervalo o
en toda la recta real.

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
Sea X una variable aleatoria discreta.
Llamaremos soporte de X, DX, al conjunto de valores que
puede tomar la variable y cumple que P{X∈DX}=1.
Llamaremos función de probabilidad o de cuantía de
X, pX, a la función dada por:
pX: DX → R
xi → pX(xi) = P(X=xi) = pi
que asigna la probabilidad de observar cada valor de X
{ },...x,...,x,xD n21X =
( ) n,...,1i;xXPp ii ===

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
Propiedades
1) La probabilidad es mayor o igual que cero:
2) La probabilidad total es 1:
3) La función p determina la distribución de probabilidad
de X
{ } x0xXP ∀≥=
{ } ( ) 1pxXPDXP
n
1i
i
n
1i
iX ====∈ ∑∑ ==
( )∑∈
=∈Ω∈∀
Ax:i
i
i
xp)AX(P)(PA

FUNCIÓN DISTRIBUCIÓN
La función de distribución de X, a la que llamaremos F, es
la probabilidad acumulada hasta el punto x y se define:
F: R→R
x→F(x) = P(X≤x)=
Propiedades
1) 0 ≤ F(x) ≤ 1
2) F(x) es monótona no decreciente:
3) F(x) es continua a la derecha:
4) F(x) permite calcular la probabilidad de un intervalo:
1F(x)limy0F(x)lim
xx
==
+∞→−∞→
ℜ∈∀≤⇒< 212121 xx)x(F)x(Fxx
ℜ∈∀=
→
aF(a)F(x)Lim
ax
)a(F)b(F)bXa(P −=≤<
( ) ∑∑ ≤≤
==
xx
i
xx
i
ii
pxXP

CARACTERÍSTICAS
ESPERANZA MATEMATICA
Sea X una variable aleatoria discreta de soporte D y
función de probabilidad p
Sea g:R→R una función de la variable aleatoria X.
Se denomina valor esperado de g(X) o esperanza
matemática de g(X), y se denota por E[g(X)], a:
Es el promedio de los valores que tomaría la función g(x) si
repitiésemos infinitas veces el experimento aleatorio, por lo
tanto, se interpreta como el valor de g que esperamos obtener
en cada repetición.
∑=
=
n
1i
ii p)x(g)]X(g[E

CARACTERÍSTICAS
CARACTERISTÍCAS NOTABLES
MEDIA, valor esperado o esperanza de X:
Indica la posición o situación media de la variable.
VARIANZA de X;
Indica la dispersión o variabilidad de la variable.
Su raíz cuadrada se llama DESVIACIÓN TÍPICA:
[ ] ∑=
==µ
n
1i
iipxXE
( )[ ] ( )∑=
µ−=µ−==σ
n
1i
i
2
i
22
pxXE)X(Var
)X(Var=σ

PROPIEDADES DE LA ESPERANZA MATEMÁTICA
1) ∀c∈R E[c] = c
2) (Transformación lineal de la media)
E[aX+b]=aE[X]+b ∀a,b∈R
3) (Fórmula abreviada de la varianza)
Var(X) = E[X2
]-µ2
4) (Transformación lineal de la varianza)
Var[aX+b]=a2
Var[X] ∀a,b∈R
5) (Minimización del error cuadrático medio)
Si ECM(a) = E[(X-a)2
] entonces mina ECM(a) = Var(X)
y el mínimo se alcanza en a = E[X] = µ
CARACTERÍSTICAS

DISTRIBUCIONES NOTABLES
DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA
Es la distribución soporte de la regla de Laplace.
X se distribuye según una uniforme discreta en {x1,...,xN},
y lo pondremos X∼UD({x1,...,xN}), si su soporte es D =
{x1,...,xN}y su función de probabilidad
Se tiene que:
Si xi = i; i=1,…,N lo pondremos X~UD(N)
{ } N1,2,...,icon
N
1
xXP i ===
N
N
1i
i
x
N
x
]X[E ==
∑=
( )
2
X
N
1i
2
Ni
s
N
xx
]X[V =
−
=
∑=

Ejemplos
- Número de caras obtenida al lanzar una moneda una vez
- Puntuación obtenida al lanzar un dado de 6 caras numeradas
de 1 a 6
- Número premiado en una lotería o en un sorteo
- Alternativa seleccionada de una pregunta de un test de cinco
respuestas cuando ésta se elige al azar
- Persona seleccionada al azar en una población de 1000
individuos
- Número de coches vendidos en un día supuestos los
resultados equíprobables
- En general, todo experimento aleatorio con un número finito
de resultados equiprobables

EXPERIMENTO DE BERNOUILLI
Llamaremos experimento de Bernouilli a un
experimento con dos resultados posibles mutuamente
excluyentes, que denominaremos éxito y fracaso, susceptible
de ser repetido indefinidamente bajo las siguientes
condiciones:
a) Todas las realizaciones del experimento son independientes
entre sí
b) La probabilidad de obtener éxito en cada realización se
mantiene constante.

Ejemplos
- Jugar a cara o cruz con una moneda
- Jugar a par o impar con un dado de 6 caras
- Religión que profesa una persona distinguiendo entre católico y no
católico
- Sexo de una persona elegida al azar
- Encuestas de opinión: analizar si una persona seleccionada al azar está
de acuerdo con una afirmación dada
- Clasificar un artículo elegido al azar como defectuoso o no defectuoso
- Clasificar una empresa elegida al azar de acuerdo a un criterio
dicotómico: grande/no grande, endeudada/no endeudada, familiar/no
familiar, manufacturera/no manufacturera, pública/privada,
socialmente responsable/no socialmente responsable, etc
- Clasificar una sesión de la Bolsa en función de si la rentabilidad del
IBEX35 ha sido o no ha sido positiva
- Clasificar un cliente elegido al azar en base a un criterio dicotómico
elegido al azar: moroso/no moroso, rentable/no rentable,
arriesgado/conservador, activo/inactivo, etc

DISTRIBUCIÓN DE BERNOUILLI
Sea p = P(éxito) y q = 1-p = P(fracaso)
Sea X = número de éxitos obtenidos al realizar dicho
experimento 1 vez.
X es una variable aleatoria discreta con soporte{0,1} cuya
distribución recibe el nombre de distribución de Bernouilli
de parámetro p y lo pondremos X∼ Be(p).
Su función de probabilidad viene dada por:
p(x) = px
q1-x
x∈{0,1}
Se tiene, además, que:
E(X) = p y Var(X) = pq

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Sea X = número de éxitos obtenidos al realizar un
experimento de Bernouilli n veces
X es una variable aleatoria discreta con soporte {0,1,...,n}
cuya distribución recibe el nombre de distribución binomial
de parámetros n y p y lo pondremos X∼ Bi(n,p)
Se tiene, además, que:
E(X) = np y Var(X) = npq
Observar, finalmente, que Bi(1,p) = Be(p)
{ } n}{0,1,...,xqp
x
n
xXP xnx
∈





== −

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
1) Si X ~ Bi(nx,p) e Y ~ Bi(ny,p) son independientes entonces
S = X+Y ~ Bi(nx+ny,p)
Se dice que la distribución binomial es reproductiva
respecto a su parámetro n
2) Si X ~ Bi(n,p) e Y = n-X entonces Y ~ Bi(n,1-p)

Ejemplos
- Número de caras obtenidas al lanzar una moneda 100 veces
- Número de 6 obtenidos al lanzar un dado de 6 caras 150 veces
- Número de católicos obtenidos en una encuesta a 1000 personas elegidas
al azar
- Número de mujeres obtenidos en una encuesta a 1000 personas elegidas
al azar
- Número de personas que van a votar al PP en Andalucía en una encuesta
realizada a 5000 personas
- Número de artículos defectuosos obtenidos al extraer una muestra de 10
artículos
- Número de empresas familiares obtenidas al extraer una muestra de 100
empresas
- Número de días que el IBEX35 ha subido en el último mes
- Número de clientes morosos en una muestra de 100 clientes elegidos al
azar
- Número de días que un alumno tarda en llegar a casa más de quince
minutos la semana que viene

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Sea una población finita de tamaño N en la que hay D
elementos defectuosos y N-D no defectuosos.
Se extrae una muestra de tamaño n sin reemplazamiento.
Sea X = número de elementos defectuosos obtenidos en la
muestra
X es una variable aleatoria discreta cuya distribución
recibe el nombre de distribución hipergeométrica de
parámetros N, D y n y lo pondremos X∼ H(N,D,n).
{ } { }{ }D,nmin,...,N-Dn0,maxcon x
n
N
xn
DN
x
D
)x(p +∈












−
−






=

Ejemplos
- En la lotería primitiva el número de aciertos obtenidos
- Número de familias numerosas obtenidas en un muestreo sin
reemplazamiento de una población de 1000 familias
- Número de familias que posee un coche de lujo en el
experimento anterior
- Número de personas que tiene la Estadística I suspendida
en la clase si se escoge una muestra de 10 alumnos
elegidos al azar sin reemplazamiento
- Todos los ejemplos de extracciones de muestras dados
para la distribución binomial si la población de la que se
extrae la muestra es finita y el muestreo se hace sin
reemplazamiento

Observaciones:
2) Si el muestreo es con reemplazamiento entonces
con
3) Por lo tanto, si N→ ∞ y n<<N se verifica que el muestreo
con y sin reemplazamiento son equivalentes
[ ] 





−
−






−==
1N
nN
N
D
1
N
D
nVar(X)y
N
D
nXE)1






N
D
,nBi~X
[ ] 





−==
N
D
N
D
nVar(X)y
N
D
nXE 1

EXPERIMENTO DE POISSON
Sea un experimento aleatorio consistente en observar la
ocurrencia de un suceso éxito en un soporte continuo
infinitamente divisible como puede ser el tiempo, la superficie o
el espacio. Supondremos, en lo que sigue, que dicho soporte es el
tiempo y que:
a) Para intervalos de tiempo suficientemente pequeños la
probabilidad de que ocurran dos o más éxitos es despreciable y la
probabilidad de que ocurra un éxito es de un orden de magnitud
menor que la de que no ocurra ninguno
b) Para intervalos de tiempo que no se solapan los resultados
obtenidos en cada uno de ellos son independientes
c) El número medio de éxitos es proporcional al intervalo de
tiempo considerado y crece a un ritmo constante λ>0

Ejemplos
- Accidentes ocurridos en un fin de semana
- Tamaño de una cola en una caja de supermercado
- Llegadas a una terminal de aeropuerto, autobús, etc
- Intensidad de tráfico
- Llamadas que se realizan a una centralita telefónica
- Defectos encontrados en una superficie, volumen, etc
- Acontecimientos sucedidos en un partido de fútbol
- Epidemiología
- Ventas de un artículo por área geográfica
- Transacciones que se realizan en un mercado financiero

DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Sea X el número de éxitos obtenidos por unidad de tiempo.
X es una variable discreta con soporte {0, 1,...} cuya
distribución recibe el nombre de distribución de Poisson de
parámetro λ>0 y lo pondremos X∼℘(λ).
Se tiene además que: E[X] = Var[X] = λ
{ }∞∈
λ
=
λ−
0,1,...,con x
!x
e
)x(p
x

Ejemplos
- Número de accidentes ocurridos durante el fin de semana
- Número de clientes que acuden a pagar en un cajero de un supermercado
en una hora
- Número de aviones que llegan a un aeropuerto en un día
- Número de coches que pasan por un punto kilométrico dado de una
autopista en un día
- Número de llamadas que se reciben en una centralita en dos horas
- Número de defectos encontrados en una alfombra, ropa, etc de un
tamaño dado
- Número de tarjetas amarillas sacadas en un partido de fútbol
- Número de trocitos de chocolate encontrados en una galleta
- Número de infectados por una epidemia en un área geográfica dada
- Número de transacciones de vivienda realizadas en un barrio de una
ciudad
- Número de bombas caídas en un área geográfica de una ciudad

PROPIEDADES DISTRIBUCIÓN DE POISSON
1) Si Xt = número de éxitos en t unidades de tiempo se verifica que Xt
∼℘(λt)
2) La suma de dos variables independientes con distribución de
Poisson también se distribuye según una distribución de Poisson.
Concretamente, si X ∼℘(λx) e Y ∼℘(λy) y X, Y son
independientes, entonces S = X+Y ∼℘(λx+λy)
Se dice que la distribución de Poisson es reproductiva respecto a
su parámetro λ

APROXIMACION BINOMIAL-POISSON
Sea X∼Bi(n,p) y sea Y∼ ℘(λ); con np=λ
Se tiene que para cualquier valor a∈{0,1,...,n}:
P[X=a] ≈ P[Y=a]
cuando n→∞.
La aproximación funciona bien para valores de λ > 5 y
valores de p<0,1

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