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TEMA 5

Variables aleatorias unidimensionales




                             Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial

1. Variable aleatoria. Concepto

2. Tipos de variables aleatorias

3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias.

4. Medidas características de una variable aleatoria.

5. Desigualdad de Tchebychev.




                                                Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial

1. Variable aleatoria. Concepto

2. Tipos de variables aleatorias

3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias.

4. Medidas características de una variable aleatoria.

5. Desigualdad de Tchebychev.




                                                Probabilidades y Estadística I
1. Variable aleatoria. Concepto                              (1/6)



  OBJETIVOS

• Describir los resultados de un experimento aleatorio en forma
  de una variable real

                          X ∈R

• Describir la incertidumbre asociada mediante una función real
  que describa las probabilidades subyacentes (modelos de
  probabilidad)




                                               Probabilidades y Estadística I
1. Variable aleatoria. Concepto                                        (2/6)



EJEMPLO


Experimento aleatorio: lanzar dos dados


Espacio muestral
S={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (1,3), (2,2), (4,1), (1,4), (2,3),
(3,2), (1,5), (5,1), (4,2), (2,4), (3,3), (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (4,3),
(3,4), (2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4), (3,6), (6,3),
(4,5), (5,4), (4,6), (6,4), (5,5), (5,6), (6,5), (6,6)}


Variable aleatoria: suma de las puntuaciones (X)
                                                         Probabilidades y Estadística I
1. Variable aleatoria. Concepto                                 (3/6)



DEFINICIÓN


                   X : Ω  R
                           →
                       si  xi
                            →

                    (Ω, ℘(Ω), P)


 RELACIÓN ENTRE NOTACIÓN CONJUNTISTA Y DE VARIABLE ALEATORIA

          P[X-1(xi)] vendrá representado por P[X=xi]


                                               Probabilidades y Estadística I
1. Variable aleatoria. Concepto                           (4/6)



DEFINICIÓN

                 X : Ω  R
                         →
                  (1,1)  2
                           →
                  (1, 2)  3
                           →
                  (2,1)  3
                           →



         P[X=3]= P[X-1(3)]=P[{(1,2),(2,1)}]




                                        Probabilidades y Estadística I
1. Variable aleatoria. Concepto                       (5/6)




 (Ω, ℘(Ω), P)   Notación conjuntista




     (X, p)
     (X, f)       Notación de Análisis
                  Matemático
     (X, F)


                            Probabilidades y Estadística I
1. Variable aleatoria. Concepto                                                       (6/6)



EJEMPLO

     Resultados del experimento aleatorio      Valor de la variable   Valor de la función de
            (elementos de ℘(S))                    aleatoria X         probabilidad, p(x)

    (1,1)                                               2                   p(2)=1/36
    (1,2), (2,1)                                        3                   p(3)=2/36
    (3,1), (1,3), (2,2)                                 4                   p(4)=3/36
    (4,1), (1,4), (2,3), (3,2)                          5                   p(5)=4/36
    (1,5), (5,1), (4,2), (2,4), (3,3)                   6                   p(6)=5/36
    (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (4,3), (3,4)            7                   p(7)=6/36
    (2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4)                   8                   p(8)=5/36
    (3,6), (6,3), (4,5), (5,4)                          9                   p(9)=4/36
    (4,6), (6,4), (5,5)                                10                  p(10)=3/36
    (5,6), (6,5)                                       11                  p(11)=2/36
    (6,6)                                              12                  p(12)=1/36


                                                                        Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial

1. Variable aleatoria. Concepto

2. Tipos de variables aleatorias

3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias.

4. Medidas características de una variable aleatoria.

5. Desigualdad de Tchebychev.




                                                Probabilidades y Estadística I
2. Tipos de variables aleatorias                       (1/2)


Variable aleatoria discreta

Se denomina variable aleatoria discreta a aquella cuyo
rango se puede poner en biyección con un subconjunto de
los enteros, Z; es decir, se puede hablar de un valor de la
variable y su siguiente.

Variable aleatoria continua

Se denomina variable aleatoria continua a aquella cuyo
rango se puede poner en biyección con un subconjunto de
Z; es decir, no se puede hablar de un valor de la variable
y su siguiente.
                                          Probabilidades y Estadística I
2. Tipos de variables aleatorias                                (2/2)


Variable aleatoria discreta



                        x1 , x2 ,...., xk


Variable aleatoria continua



                   [ xi , x j ],....,[ xk , xt ]

                                                   Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial

1. Variable aleatoria. Concepto

2. Tipos de variables aleatorias

3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias.

4. Medidas características de una variable aleatoria.

5. Desigualdad de Tchebychev.




                                                Probabilidades y Estadística I
3. Distribuciones de variables aleatorias                                  (1/)


Variable aleatoria discreta

a) Representación diferencial: función de probabilidad, p(x)




                                                        Probabilidades y Estadística I
3. Distribuciones de variables aleatorias                                                              (2/13)


Variable aleatoria discreta

a) Representación diferencial: función de probabilidad, p(x)                                    EJEMPLO

                Resultados del experimento             Valor de la variable   Valor de la función de
               aleatorio (elementos de ℘(S))               aleatoria X         probabilidad, p(x)

            (1,1)                                               2                   p(2)=1/36
            (1,2), (2,1)                                        3                   p(3)=2/36
            (3,1), (1,3), (2,2)                                 4                   p(4)=3/36
            (4,1), (1,4), (2,3), (3,2)                          5                   p(5)=4/36
            (1,5), (5,1), (4,2), (2,4), (3,3)                   6                   p(6)=5/36
            (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (4,3), (3,4)            7                   p(7)=6/36
            (2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4)                   8                   p(8)=5/36
            (3,6), (6,3), (4,5), (5,4)                          9                   p(9)=4/36
            (4,6), (6,4), (5,5)                                10                  p(10)=3/36
            (5,6), (6,5)                                       11                  p(11)=2/36
            (6,6)                                              12                  p(12)=1/36

                                                                                    Probabilidades y Estadística I
3. Distribuciones de variables aleatorias                                  (3/13)


 Variable aleatoria discreta

 a) Representación diferencial: función de probabilidad, p(x)      EJEMPLO


p(x)

6/36
5/36                                                     6 -7- x
                                                                            x = 2,...,12
4/36                                                         36
3/36
                                                p(x) =

2/36                                                          0           en el resto
1/36


       2   3   4   5   6   7   8   9 10 11 12   X

                                                         Probabilidades y Estadística I
3. Distribuciones de variables aleatorias                                  (4/13)


Variable aleatoria discreta

b) Representación integral: función de distribución, F(x)         (escalonada)




                                                        Probabilidades y Estadística I
3. Distribuciones de variables aleatorias                                  (5/13)


Variable aleatoria discreta

b) Representación integral: función de distribución, F(x)         PROPIEDADES




      CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN




                                                        Probabilidades y Estadística I
Probabilidades y Estadística I
3. Distribuciones de variables aleatorias                                    (6/13)


Variable aleatoria discreta

b) Representación integral: función de distribución, F(x)           GRÁFICA




                                                  0                             si x < 0
                                                  0.25                          si 0 ≤ x < 1
                                                  
                                         F ( x) = 
                                                  0.75                          si 1 ≤ x < 2
                                                  1
                                                                                si x ≥ 2




                                                          Probabilidades y Estadística I
p(x)

6/36
5/36                                                     6 -7- x
                                                                            x = 2,...,12
4/36                                                         36
3/36
                                                p(x) =

2/36                                                          0           en el resto
1/36


       2   3   4   5   6   7   8   9 10 11 12   X




                                                         Probabilidades y Estadística I
3. Distribuciones de variables aleatorias                                      (7/13)


Variable aleatoria discreta

b) Representación integral: función de distribución, F(x)             EJEMPLO

     F(x)    1
         35/36
         33/36
         30/36
        26/36
        21/36
         15/36
        10/36
            6/36
            3/36
            1/36

                                                            X
                   2   3   4   5   6   7   8   9 10 11 12
                                                            Probabilidades y Estadística I
3. Distribuciones de variables aleatorias                                     (8/13)


Variable aleatoria continua

a) Representación diferencial: función de densidad, f(x)




        CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA FUNCIÓN DE DENSIDAD




                                                           Probabilidades y Estadística I
3. Distribuciones de variables aleatorias                                           (9/13)


Variable aleatoria continua

a) Representación diferencial: origen de f(x)



               Histograma para 20 clases                   Histograma para 50 clases
    400                                         200

                                                160
    300
                                                120
    200
                                                 80
    100                                          40

      0                                           0
          -5     -3   -1    1    3    5    7          -5     -3   -1    1     3     5     7




                                                                   Probabilidades y Estadística I
3. Distribuciones de variables aleatorias                                      (10/13)


Variable aleatoria continua

a) Representación diferencial: función de densidad, f(x)                  EJEMPLO


  X ≡ “proporción de accidentes automovilísticos mortales” Rg X ≡ [0,1]

                                              3
                                             2,5

         42 x (1-x) 5   0< x ≤ 1              2
f(x) =                                       1,5

         0              en otro caso          1
                                             0,5
                                              0
                                                   0   0,2      0,4         0,6   0,8    1
                                                                      x

                                                                      0.3
                                           P(0.2 < X < 0.3) = ∫ 42 x (1 - x) 5 dx
                                                                      0.2


                                                             Probabilidades y Estadística I
3. Distribuciones de variables aleatorias                                  (11/13)


Variable aleatoria continua

b) Representación integral: función de distribución, F(x)         (continua)




 PROPIEDADES




                                                        Probabilidades y Estadística I
3. Distribuciones de variables aleatorias                                  (12/13)


Variable aleatoria continua

b) Representación integral: función de distribución, F(x)         PROPIEDADES


      CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN




                     RELACIÓN ESPECIAL ENTRE F(x) Y f(x)



                                                        Probabilidades y Estadística I
3. Distribuciones de variables aleatorias                                            (13/13)


Variable aleatoria continua

b) Representación integral: función de distribución, F(x)                    EJEMPLO


                                                 1
                      0.2
    P(X < 0.2) = ∫ 42 x (1 - x) 5 dx            0,8
                      −∞
                                                0,6
         =




                                                0,4
     P(X ≤ 0.2) = F(2)                          0,2

                                                 0
                                                      0   0,2   0,4       0,6   0,8     1
                                                                      x

                            0                                         x <0
             F(x) =         x2(21-70x+105x2-84x3+35x4-6x5) 0< x ≤ 1
                            1                                     x ≥1
                                                                Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial

1. Variable aleatoria. Concepto

2. Tipos de variables aleatorias

3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias

4. Medidas características de una variable aleatoria

5. Desigualdad de Tchebychev




                                                Probabilidades y Estadística I
4. Medidas características de una v.a.                                    (1/4)




Esperanza matemática             (definición)


  (caso discreto)   E[X ]
                    =       ∑ xp( x)
                            =              µ
                             x

  (caso discreto)   E[X ]
                    =       ∫=
                             xf ( x)dx      µ


     RELACIÓN CON LA ESTRUCTURA DE LA MEDIA ARITMÉTICA

                                     k
                            X = ∑ fi x 'i
                                    i =1



             PROPIEDAD       E [ aX + b ] aE [ X ] + b
                                     =


                                                         Probabilidades y Estadística I
4. Medidas características de una v.a.                                           (2/4)




Varianza       (definición)


   (caso discreto)   Var [ X ] = ( x − µ ) 2 p ( x) =
                               ∑                    σ2
                                 x

   (caso discreto)   Var [ X ] = ) 2 f ( x)dx =
                               ∫ (x − µ       σ2




                 PROPIEDAD           Var [ aX + b ] =Var [ X ]
                                                    a2




                                                                 Probabilidades y Estadística I
4. Medidas características de una v.a.                            (3/4)




Mediana                 F(x) = ½


Moda                    Max f (x)


Percentiles             F(x) = i/100


Cuartiles               F(x) = i/4



        GENERALIZACIONES DESDE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA



                                               Probabilidades y Estadística I
4. Medidas características de una v.a.                                   (4/4)



Momento centrado en el origen
                                                   Caso especial
         αr = E  X r 
                                             = E[X ] µ
                                               α1 =

Momento centrado en la media
                                                    Caso especial

      = E ( X − µ ) 
      µr
                    r
                                       µ2 = E ( X − µ ) 2  = Var [ X ] = σ 2
                                                            



                          µ2 α 2 − α12
                           =
                                                      Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial

1. Variable aleatoria. Concepto

2. Tipos de variables aleatorias

3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias

4. Medidas características de una variable aleatoria

5. Desigualdad de Tchebychev




                                                Probabilidades y Estadística I
5. Relaciones entre media y varianza
Desigualdad de Tchebychev


       P ( X − µ > kσ ) ≤ 2 ⇔ P ( X − µ ≤ kσ ) > 1 − 2
                          1                          1
                         k                          k

                                            1
            P ( µ − kσ ≤ X ≤ µ + kσ ) > 1 − 2
                                           k

Normalización de una v.a

                             X −µ
                               σ
                                              Probabilidades y Estadística I

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  • 1. TEMA 5 Variables aleatorias unidimensionales Probabilidades y Estadística I
  • 2. Esquema inicial 1. Variable aleatoria. Concepto 2. Tipos de variables aleatorias 3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias. 4. Medidas características de una variable aleatoria. 5. Desigualdad de Tchebychev. Probabilidades y Estadística I
  • 3. Esquema inicial 1. Variable aleatoria. Concepto 2. Tipos de variables aleatorias 3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias. 4. Medidas características de una variable aleatoria. 5. Desigualdad de Tchebychev. Probabilidades y Estadística I
  • 4. 1. Variable aleatoria. Concepto (1/6) OBJETIVOS • Describir los resultados de un experimento aleatorio en forma de una variable real X ∈R • Describir la incertidumbre asociada mediante una función real que describa las probabilidades subyacentes (modelos de probabilidad) Probabilidades y Estadística I
  • 5. 1. Variable aleatoria. Concepto (2/6) EJEMPLO Experimento aleatorio: lanzar dos dados Espacio muestral S={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (1,3), (2,2), (4,1), (1,4), (2,3), (3,2), (1,5), (5,1), (4,2), (2,4), (3,3), (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (4,3), (3,4), (2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4), (3,6), (6,3), (4,5), (5,4), (4,6), (6,4), (5,5), (5,6), (6,5), (6,6)} Variable aleatoria: suma de las puntuaciones (X) Probabilidades y Estadística I
  • 6. 1. Variable aleatoria. Concepto (3/6) DEFINICIÓN X : Ω  R → si  xi → (Ω, ℘(Ω), P) RELACIÓN ENTRE NOTACIÓN CONJUNTISTA Y DE VARIABLE ALEATORIA P[X-1(xi)] vendrá representado por P[X=xi] Probabilidades y Estadística I
  • 7. 1. Variable aleatoria. Concepto (4/6) DEFINICIÓN X : Ω  R → (1,1)  2 → (1, 2)  3 → (2,1)  3 → P[X=3]= P[X-1(3)]=P[{(1,2),(2,1)}] Probabilidades y Estadística I
  • 8. 1. Variable aleatoria. Concepto (5/6) (Ω, ℘(Ω), P) Notación conjuntista (X, p) (X, f) Notación de Análisis Matemático (X, F) Probabilidades y Estadística I
  • 9. 1. Variable aleatoria. Concepto (6/6) EJEMPLO Resultados del experimento aleatorio Valor de la variable Valor de la función de (elementos de ℘(S)) aleatoria X probabilidad, p(x) (1,1) 2 p(2)=1/36 (1,2), (2,1) 3 p(3)=2/36 (3,1), (1,3), (2,2) 4 p(4)=3/36 (4,1), (1,4), (2,3), (3,2) 5 p(5)=4/36 (1,5), (5,1), (4,2), (2,4), (3,3) 6 p(6)=5/36 (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (4,3), (3,4) 7 p(7)=6/36 (2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4) 8 p(8)=5/36 (3,6), (6,3), (4,5), (5,4) 9 p(9)=4/36 (4,6), (6,4), (5,5) 10 p(10)=3/36 (5,6), (6,5) 11 p(11)=2/36 (6,6) 12 p(12)=1/36 Probabilidades y Estadística I
  • 10. Esquema inicial 1. Variable aleatoria. Concepto 2. Tipos de variables aleatorias 3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias. 4. Medidas características de una variable aleatoria. 5. Desigualdad de Tchebychev. Probabilidades y Estadística I
  • 11. 2. Tipos de variables aleatorias (1/2) Variable aleatoria discreta Se denomina variable aleatoria discreta a aquella cuyo rango se puede poner en biyección con un subconjunto de los enteros, Z; es decir, se puede hablar de un valor de la variable y su siguiente. Variable aleatoria continua Se denomina variable aleatoria continua a aquella cuyo rango se puede poner en biyección con un subconjunto de Z; es decir, no se puede hablar de un valor de la variable y su siguiente. Probabilidades y Estadística I
  • 12. 2. Tipos de variables aleatorias (2/2) Variable aleatoria discreta x1 , x2 ,...., xk Variable aleatoria continua [ xi , x j ],....,[ xk , xt ] Probabilidades y Estadística I
  • 13. Esquema inicial 1. Variable aleatoria. Concepto 2. Tipos de variables aleatorias 3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias. 4. Medidas características de una variable aleatoria. 5. Desigualdad de Tchebychev. Probabilidades y Estadística I
  • 14. 3. Distribuciones de variables aleatorias (1/) Variable aleatoria discreta a) Representación diferencial: función de probabilidad, p(x) Probabilidades y Estadística I
  • 15. 3. Distribuciones de variables aleatorias (2/13) Variable aleatoria discreta a) Representación diferencial: función de probabilidad, p(x) EJEMPLO Resultados del experimento Valor de la variable Valor de la función de aleatorio (elementos de ℘(S)) aleatoria X probabilidad, p(x) (1,1) 2 p(2)=1/36 (1,2), (2,1) 3 p(3)=2/36 (3,1), (1,3), (2,2) 4 p(4)=3/36 (4,1), (1,4), (2,3), (3,2) 5 p(5)=4/36 (1,5), (5,1), (4,2), (2,4), (3,3) 6 p(6)=5/36 (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (4,3), (3,4) 7 p(7)=6/36 (2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4) 8 p(8)=5/36 (3,6), (6,3), (4,5), (5,4) 9 p(9)=4/36 (4,6), (6,4), (5,5) 10 p(10)=3/36 (5,6), (6,5) 11 p(11)=2/36 (6,6) 12 p(12)=1/36 Probabilidades y Estadística I
  • 16. 3. Distribuciones de variables aleatorias (3/13) Variable aleatoria discreta a) Representación diferencial: función de probabilidad, p(x) EJEMPLO p(x) 6/36 5/36 6 -7- x x = 2,...,12 4/36 36 3/36 p(x) = 2/36 0 en el resto 1/36 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X Probabilidades y Estadística I
  • 17. 3. Distribuciones de variables aleatorias (4/13) Variable aleatoria discreta b) Representación integral: función de distribución, F(x) (escalonada) Probabilidades y Estadística I
  • 18. 3. Distribuciones de variables aleatorias (5/13) Variable aleatoria discreta b) Representación integral: función de distribución, F(x) PROPIEDADES CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Probabilidades y Estadística I
  • 20. 3. Distribuciones de variables aleatorias (6/13) Variable aleatoria discreta b) Representación integral: función de distribución, F(x) GRÁFICA 0 si x < 0 0.25 si 0 ≤ x < 1  F ( x) =  0.75 si 1 ≤ x < 2 1  si x ≥ 2 Probabilidades y Estadística I
  • 21. p(x) 6/36 5/36 6 -7- x x = 2,...,12 4/36 36 3/36 p(x) = 2/36 0 en el resto 1/36 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X Probabilidades y Estadística I
  • 22. 3. Distribuciones de variables aleatorias (7/13) Variable aleatoria discreta b) Representación integral: función de distribución, F(x) EJEMPLO F(x) 1 35/36 33/36 30/36 26/36 21/36 15/36 10/36 6/36 3/36 1/36 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Probabilidades y Estadística I
  • 23. 3. Distribuciones de variables aleatorias (8/13) Variable aleatoria continua a) Representación diferencial: función de densidad, f(x) CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA FUNCIÓN DE DENSIDAD Probabilidades y Estadística I
  • 24. 3. Distribuciones de variables aleatorias (9/13) Variable aleatoria continua a) Representación diferencial: origen de f(x) Histograma para 20 clases Histograma para 50 clases 400 200 160 300 120 200 80 100 40 0 0 -5 -3 -1 1 3 5 7 -5 -3 -1 1 3 5 7 Probabilidades y Estadística I
  • 25. 3. Distribuciones de variables aleatorias (10/13) Variable aleatoria continua a) Representación diferencial: función de densidad, f(x) EJEMPLO X ≡ “proporción de accidentes automovilísticos mortales” Rg X ≡ [0,1] 3 2,5 42 x (1-x) 5 0< x ≤ 1 2 f(x) = 1,5 0 en otro caso 1 0,5 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x 0.3 P(0.2 < X < 0.3) = ∫ 42 x (1 - x) 5 dx 0.2 Probabilidades y Estadística I
  • 26. 3. Distribuciones de variables aleatorias (11/13) Variable aleatoria continua b) Representación integral: función de distribución, F(x) (continua) PROPIEDADES Probabilidades y Estadística I
  • 27. 3. Distribuciones de variables aleatorias (12/13) Variable aleatoria continua b) Representación integral: función de distribución, F(x) PROPIEDADES CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN RELACIÓN ESPECIAL ENTRE F(x) Y f(x) Probabilidades y Estadística I
  • 28. 3. Distribuciones de variables aleatorias (13/13) Variable aleatoria continua b) Representación integral: función de distribución, F(x) EJEMPLO 1 0.2 P(X < 0.2) = ∫ 42 x (1 - x) 5 dx 0,8 −∞ 0,6 = 0,4 P(X ≤ 0.2) = F(2) 0,2 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x 0 x <0 F(x) = x2(21-70x+105x2-84x3+35x4-6x5) 0< x ≤ 1 1 x ≥1 Probabilidades y Estadística I
  • 29. Esquema inicial 1. Variable aleatoria. Concepto 2. Tipos de variables aleatorias 3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias 4. Medidas características de una variable aleatoria 5. Desigualdad de Tchebychev Probabilidades y Estadística I
  • 30. 4. Medidas características de una v.a. (1/4) Esperanza matemática (definición) (caso discreto) E[X ] = ∑ xp( x) = µ x (caso discreto) E[X ] = ∫= xf ( x)dx µ RELACIÓN CON LA ESTRUCTURA DE LA MEDIA ARITMÉTICA k X = ∑ fi x 'i i =1 PROPIEDAD E [ aX + b ] aE [ X ] + b = Probabilidades y Estadística I
  • 31. 4. Medidas características de una v.a. (2/4) Varianza (definición) (caso discreto) Var [ X ] = ( x − µ ) 2 p ( x) = ∑ σ2 x (caso discreto) Var [ X ] = ) 2 f ( x)dx = ∫ (x − µ σ2 PROPIEDAD Var [ aX + b ] =Var [ X ] a2 Probabilidades y Estadística I
  • 32. 4. Medidas características de una v.a. (3/4) Mediana F(x) = ½ Moda Max f (x) Percentiles F(x) = i/100 Cuartiles F(x) = i/4 GENERALIZACIONES DESDE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Probabilidades y Estadística I
  • 33. 4. Medidas características de una v.a. (4/4) Momento centrado en el origen Caso especial αr = E  X r    = E[X ] µ α1 = Momento centrado en la media Caso especial = E ( X − µ )  µr r   µ2 = E ( X − µ ) 2  = Var [ X ] = σ 2   µ2 α 2 − α12 = Probabilidades y Estadística I
  • 34. Esquema inicial 1. Variable aleatoria. Concepto 2. Tipos de variables aleatorias 3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias 4. Medidas características de una variable aleatoria 5. Desigualdad de Tchebychev Probabilidades y Estadística I
  • 35. 5. Relaciones entre media y varianza Desigualdad de Tchebychev P ( X − µ > kσ ) ≤ 2 ⇔ P ( X − µ ≤ kσ ) > 1 − 2 1 1 k k 1 P ( µ − kσ ≤ X ≤ µ + kσ ) > 1 − 2 k Normalización de una v.a X −µ σ Probabilidades y Estadística I