GEOMETRÍA ANALÍTICA

1. CIRCUNFERENCIA
DOCENTE: ING. MARCOS
INTEGRANTES:
KARY JOHANA PINTO BERNALES
MERCY JUDIT RAMOS PÉREZ
ANNIE MALU CENEPO MORI

2. CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico
de un conjunto de infinitos puntos que
equidistan de un punto situado en el centro.

3. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
M
N
A B
Recta
secante
Recta
tangente
Flecha o
sagita
Diámetro
( A B )
Centro
T
Punto de tangencia
Q
P
Radio
Arco BQ
Cuerda PQ

4. PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
01.-Radio trazado al punto de tangencia es
perpendicular a la recta tangente.
R
L
R ^L

5. 02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda
la biseca (divide en dos segmentos congruentes).
P
Q
M N
R
R ^ PQ Þ PM = MQ

6. 03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes
entre las paralelas.
A B
 
C D
Si : AB // CD Þ mAC =mBD

7. 04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia
les corresponden arcos congruentes.
A
B
C
D
CAuercrdoas sc oconnggrurueenntetess
Las cuerdas
equidistan del
centro
Si : AB = CD Þ mAB = mCD

8. POSICIONES RELATIVAS DE DOS
CIRCUNFERENCIAS
01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro.
r
R
d = Cero d = Cero ;; dd :: ddiissttaanncciiaa

9. 02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común.
R
r
R r
Distancia entre
los centros (d)
dd RR ++ rr

10. 03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un
punto común que es la de tangencia.
dd == RR ++ rr
r
R
R r
Punto de tangencia
Distancia entre
los centros (d)

11. 04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un
punto en común que es la de tangencia.
d
R
dd == RR -- rr
R
r
Punto de
tangencia
d: Distancia entre los centros

12. 05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes
que son las intersecciones.
R
r
Distancia entre
los centros (d)
(( RR –– rr )) dd (( RR ++ rr ))

13. 06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son
perpendiculares en el punto de intersección.
dd22 == RR22 ++ rr22
Distancia entre
los centros (d)
r
R

14. 06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.
R
r
d
dd RR -- rr d: Distancia entre los centros

15. PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede
trazar dos rayos tangentes que determinan dos
segmentos congruentes.
AAPP == PPBB
A
B
P
R
R
a
a

16. 2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes
AABB == CCDD
A
B
C
r
D
R
R
r

17. 3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.
A
R D
AABB == CCDD
B
C
R
r
r

19. 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la
medida del arco que se opone.
a
A
B
C
r
r
aa == mmAABB

20. 2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a
la semisuma de las medidas de los arcos
opuestos
b
A
C
B
D
b = mAB +mCD
2

21. 3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida
q
A
B
del arco opuesto.
C
q = mAB
2

22. 4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida
d
del arco opuesto.
A
B
C
d = mAB
2

23. 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de
e
A
C B
e = mABC
2
la medida del arco ABC.

24. 6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:
a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es
igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos
opuestos.
a = mACB - mAB
C a
O
A
B
2
aa ++ mmAABB == 118800°°

25. b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la
semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.
b
B
A
C
O
D
b = mAB -mCD
2

26. c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra
secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los
arcos opuestos.
q
A
B
C
O
q = mAB - mBC
2

28. Problema Nº 04
En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga
hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo
secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al
radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la mÐAPN.
APN = x Se traza el radio OM:
x
X 54 X = ° -
2
XX == 1188°°
M
N
54°
x
x
RESOLUCIÓN
A P
B
o
Dato: OM(radio) = PM
Luego triángulo PMO es isósceles
Ángulo central igual al arco
Medida del ángulo exterior
Resolviendo:

30. Teorema 1.
La circunferencia cuyo centro es el punto ( , )
y cuyo radio es la constante , tiene por ecuación
( ) ( ) 2 2 2
h k
r
x - h + y - k = r

31. uuur
Pero CP = ( x - h) 2 + ( y - k ) 2
( ) ( ) x - h 2 + y - k 2 = r2

33. 1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro C (-3,-7) y radio 7.
-10 -8 -6 -4 -2 2 4
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
x
y

34. 2. Los extremos de un diametro de una circunferencia son los
puntos (2, 3) y ( 4, 5). Hallar A B - la ecuación de la curva.
8
7
6
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
x
y

35. Corolario:
Cuando el centro de la circunferencia
es el origen de coordenadas 0
la ecuación de la circunferencia
se expresa :
x r
( )
2 2 2
h k
y
=
+
=
=

36. ( x - h) 2 + ( y - k ) 2 = r2 (2)

37. x2 + y2 = r2 (3)

38. Ejemplo : Hallar la ecuación de la circunferencia que
pasa por el punto A
( 7, -
5 )
y cuyo centro es el punto de
intersección de las rectas 7 x 9 y 10 0 y 2 x
5y 2 0
Para encontrar el centro de la
circunferencia debemos resolver
el sistema de 2 ecuaciones con
2 incógnitas:
7 x - 9 y
- 10 =
0
2 x - 5 y
+ 2 =
0
- - = - + =

39. Resolvemos el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas
mediante el método de sumas y restas:
7 x - 9 y
- 10 = 0 (Multiplicando por -
2)
2 x - 5 y
+ 2 = 0 (Multiplicando por +
7)
- 14 x + 18 y
+ 20 =
0
14 x
- 35
14 0
Sumandolas
17 34 0
y despejando ,
2
y
y
y
y
+ =
- =
=
+

40. x y
x y
- - =
- + =
Sustituyendo 2 en la primera ecuación, tenemos
7 9 ( 2 )
10 0
Por tanto,
7 18 10 28
ó
4
y
x
x
x
=
- - =
= + =
=
7 9 10 0
2 5 2 0
El punto de intersección de las dos rectas, que
a su vez es el centro de la circunferencia, es 4,2
( )

42. Desarrollando los cuadrados en la ecuación
( ) ( )
2 2 2
x - h + y - k =
r
tenemos
2 2 2 2 2
x - 2 hx + h + y - 2
ky + k =
r
y agrupando todos los términos en el primer
miembro :
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
x y h x k y h k r
+ + - + - + + - =
2 2 0

43. x2 + y2 + ( -2h) x + ( -2k ) y + ( h2 + k 2 - r2 ) = 0
( 2 2 2
)
h k y h k r
- - + -
2 , 2 ,
Son números reales cualesquiera, por lo tanto podemos decir:
= -
2
= -
2
= + -
2 2 2
Sustituyendo en la ecuación
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
+ + - + - + + - =
2 2
2 2 0
tenemos:
0
D h
E k
F h k r
x y h x k y h k r
x y Dx Ey F
+ + + + =

44. GRACIAS POR
SU ATENCIÓN