Matematicas i 09101 h 2012

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Instrucciones:
Resuelve los siguientes ejercicios sin olvidar incluir los procedimientos utilizados que te
llevaron a la respuesta.

1. Sea U el conjunto de todos los números enteros positivos del 1 al 10
inclusive.

A, B, y C son subconjuntos de U tal que:

A es el conjunto de los números enteros positivos menores que 5.
B es el conjunto de los números enteros positivos mayores que 5.
C es el conjunto de los números impares.

a) Mencione cuáles son los elementos del conjunto A.
b) Escriba todos los elementos de los siguientes conjuntos:
i)
ii)
iii)

2. En el diagrama que se encuentra en la parte inferior del ejercicio, se
muestra al conjunto Universo como el conjunto de los números reales, R, y
a algunos de sus subconjuntos importantes.

a) Escribe los siguientes números en la posición correcta del diagrama:



b) Diga qué números pertenecen al conjunto de los números irracionales.

3. Los siguientes resultados fueron obtenidos de una encuesta aplicada a un
grupo de personas mayores de 18 años de una determinada población,
concerniente a qué tipo de revistas leían.

60% lee la revista A
40% lee la revista B
45% lee la revista C
30% lee las revistas A y B
25% lee las revistas A y C
20% lee las revistas B y C
15% lee las tres revistas

a) ¿Elabora un diagrama de Venn con la información anterior?
b) ¿Qué porcentaje de personas lee exactamente la revista C?
c) ¿Qué porcentaje de personas lee al menos dos revistas?
d) ¿Qué porcentaje de personas no lee ninguna revista?

4. De acuerdo al desarrollo de los productos notables, escribe dentro del
paréntesis de la derecha, la letra que corresponda, tomándolo de la lista de
la izquierda.

A. (



)
B. (
)
C. (
)
D. (
)
E. (
)
(
)
(
)
(
)

5. Simplifica las siguientes expresiones:

a)

b)

c)

d)

6. Resuelve las siguientes ecuaciones, utilizando los conceptos estudiados
sobre ecuaciones lineales, cuadráticas y sistemas de ecuaciones lineales.
a)

b)

c)



7. La siguiente gráfica muestra el costo (en pesos) de la gasolina Magna desde el mes
de diciembre de 2011 a diciembre de 2012, de los países de México y EU así como
el diferencial entre ambos.

a) ¿Es la gráfica del costo de la gasolina en México una función? Justifique su
respuesta.

b) Elabora una tabla de valores de la gráfica del costo de la gasolina en EU.

c) ¿Cuál es el dominio de la gráfica del costo de la gasolina en EU?

d) ¿Cuál es la imagen (rango) del costo de la gasolina en EU?

Instrucciones:

8. La gráfica siguiente representa a la función , en rojo, y a su
inversa, en verde.



y
5

4

3

2

1
x
1 2 3 4 5

a) Obtenga la función inversa.

b) Complete la siguiente tabla de valores de la función inversa:

x 0 0.5 1 1.5 2
f(x) 1.25 3.25

c) De la función , obtenga:

i) El Dominio

ii) La imagen (rango)

9. La siguiente gráfica de dispersión, con su línea de máximo ajuste;
representa el tiempo que un alumno estudió (x minutos) y a la calificación
obtenida en un examen de matemáticas (y), de cuarto grado de primaria.
y
90
80
70
60
50
40
30
20
10 x
10 20 30 40 50 60



a) Calcule la pendiente (m) de la línea de máximo ajuste con los puntos
que están más próximos a la línea; (55, 82) y (40, 70)

b) Obtenga la ecuación de la línea de máximo ajuste, .

c) Con la ayuda de la ecuación de máximo ajuste, ¿qué calificación
obtendría un alumno que estudió 50 minutos?

10. Realice las gráficas de las siguientes funciones y de su dominio e imagen
en cada una de ellas. (Para este ejercicio se sugiere utilizar el programa
graficador de su preferencia)

a)

b)

c)

11. Crecimiento poblacional. Los estados de Jalisco y Nuevo León en la
actualidad tienen poblaciones aproximadamente de 7 millones y 4.5
millones de habitantes respectivamente. El estado de Jalisco crece a razón
de 0.71% anual y el estado de Nuevo León crece a razón de 1.14% anual.
(Fuente www.conapo.gob.mx)

a) Plantea una fórmula en función del tiempo, para la población del estado
de Nuevo León.

b) Utiliza la fórmula para determinar la población en 10 años, del estado
de Nuevo León.

c) ¿En cuántos años el estado de Nuevo León tendrá la población que tiene
actualmente el estado de Jalisco?



12. Calcule lo siguiente:

a)

b)

c)

13. Sea .

a) Completa la siguiente tabla de valores de la función seccionada .

x -5 -4 -3 -2 -2 -1 0 1 2 2 3 4 5
f(x) 4 1 0 1 4

b) Completa la gráfica de la función .

y
4
3
2
1 x
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
-2

c) Diga si es continua en x  2 , respondiendo a las tres condiciones
de continuidad.

1)
2)



3) ¿ ?

Instrucciones:

14. La siguiente gráfica pertenece a la función .

y
4
3
2
1
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4

Obtener:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

15. Sea la función .

a) Completa la siguiente tabla de valores.

1
0.5 0.9 0.99 0.999 1.001 1.01 1.1 1.5



0.71
¿?

Obtener:

b)

c)

d)

16. Resuelva los siguientes ejercicios:

a)

b)

c)

17. Obtener las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones:

a)

b)

c)


a) ¿Cuál es la derivada de ?

b) ¿Cuál es la pendiente de la recta tangente de en el punto ?



c) Obtener el valor de

d) ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente de en el punto ?

e) Grafica, en los mismos ejes coordenados, la función y
la recta tangente de .

19. Obtener la derivada de las siguientes funciones. Utiliza las reglas de
derivación.

a)

b)

c)

d)

e)

20. En un esfuerzo por disminuir los costos, una compañía reducirá su fuerza
de trabajo de acuerdo a la siguiente función; donde
representa la cantidad de empleados y t el tiempo, en meses.
a) Calcule la derivada de la función .

b) ¿Con qué rapidez se reducirá la fuerza de trabajo en la compañía,
dentro de 12 meses, ?

Instrucciones:

21. Obtener la segunda derivada para las siguientes funciones.



c)

d)

e)


Obtener:

a) . (la derivada de )

b) Las coordenadas , de los puntos máximos y mínimos de la función
.

c) Intervalos crecientes.

d) Intervalos decrecientes.

e) . (la segunda derivada de )

f) Las coordenadas , de los puntos de inflexión de la función .

g) Los intervalos cóncavos hacia arriba.

h) Los intervalos cóncavos hacia abajo.

23. Una pequeña compañía fabrica y vende “abanicos de techo” cada mes.
El costo mensual (en dólares) para fabricar “x” abanicos está representada
por la siguiente función:



El ingreso mensual (en dólares) por la venta de “x” abanicos de techo está
representada por la función:

Obtener:

a) La función utilidad, .[ ]

b) El beneficio máximo se produce en el vértice de la función .
¿Cuántos abanicos debe fabricar y vender la compañía al mes, para
obtener una utilidad máxima?

c) Dado que , ¿Cuál sería el menor número de
abanicos de techo que la empresa debe producir y vender cada mes a
fin de obtener una utilidad positiva?

Instrucciones:

24. En el siguiente diagrama de Venn, , son subconjuntos del conjunto
universo .

Obtenga los elementos de cada uno de los siguientes conjuntos:



a)

b)

c)

d)

25. En un día particular se realizó una encuesta a 100 niños para conocer lo
que habían tomado durante el día de las tres opciones siguientes: Agua (A),
Jugo de frutas (J) y Refresco de cola (R).

Los resultados fueron los siguientes:
2 niños tomaron solamente agua.
5 niños tomaron solamente Jugo de frutas.
6 niños tomaron solamente refresco de cola.
4 niños tomaron las tres opciones, Agua, Jugo de frutas y Refresco de cola.
25 niños tomaron solamente Agua y Jugo de frutas.
13 niños tomaron solamente Refresco de cola y Jugo de frutas.
43 niños tomaron solamente Agua y Refresco de cola.

a) Representa en un diagrama de Venn, la información anterior.

b) ¿Cuántos niños no tomaron ninguna de las tres opciones? Agua, Jugo de
frutas y Refresco de cola.

26. Desarrolla las siguientes expresiones algebraicas.

a)

b)

c)



d)

27. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas

a)

b)

c)

d)

28. Los siguientes dominios (D) e imágenes (I) pertenecen a una de las gráficas
que se muestran a continuación.

(i) (ii) (iii)

a) b)
y y
8 4
6
3
4
2
2
x
1 x
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-2
-1 1 2 3 4
-4 -1
-6
-8

c) d)
y x y
8
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 6
-2 4
2
-4 x

-6 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-2
-8 -4
-6
-8



Completa la tabla para que coincida el dominio e imagen, con cada una de las
gráficas.

Gráficas Dominio e imagen
(a)
(b)
(c)
(d) (i)

29. A causa de la migración internacional, la población del estado de San Luis
Potosí disminuye a razón del 1% anual. En el año 2010 la población era de
2.5 millones de habitantes, ¿Cuál sería la población después de 10 años?
(Si una población disminuye a una tasa de por período, entonces la población
después de períodos está dada por donde es la población inicial (la
población cuando )

30. Obtener de las siguientes funciones:

a)

b)

c)

d)

31. La gráfica siguiente es una parte de la curva de la función .



y
8

6

4

2
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2

-4

a) ¿Para qué valores de es ?

b) ¿Para qué intervalo o intervalos los valores de en ?

32. Dada la siguiente función:

a) Obtener

b) Resuelve

c) Calcula los valores de cuando
i)

ii)

d) Diga si la función va creciendo o decreciendo en los puntos
i)

ii)


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