Ejercicios resueltos del libro de roxana meneses 2011 parte 2

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Procesos 2 del libro de Roxana Meneses para estudiantes del Colegio Saint Michael y estudiantes de octavo año

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Ejercicios resueltos del libro de roxana meneses 2011 parte 2

  1. 1. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 2011Página 26.PROCESOS 2: PolinomiosNivel de Dificultad 1 1. Clasificar cada expresión como monomio, binomio, trinomio o polinomio. (1) x3 Solución: Es un Monomio. 2 (2) −3a + a + 7 Solución: Es un Trinomio. (3) 4 y3 + 2 y 2 + y + 8 Solución: Es un Polinomio. y (4) −1 Solución: Es un Binomio. 3 2. ¿Porqué las siguientes expresiones algebraicas no son polinomios? 6 (1) − Solución: No porque tiene letras en el denominador. n 1 2 (2) p +−5 p + p 2 Solución: No porque tiene un exponente fraccionario. 7 (3) 9+ 2 Solución: No porque tiene coeficiente literal en el m denominador (4) −q2 + 4q−1 Solución: No porque tiene exponente negativo. Page 1
  2. 2. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 20113. Si la expresión dada es polinomio, clasificarla (monomio, binomio, trinomio) Solución: No es Polinomio. 1 (1) Porque tiene una letra en el x Denominador (parte de debajo de la fracción) (2) 5 x3 − 6 x − 3 Solución: Es un Trinomio, Porque los tres son monomios. (3) 7 + 6x2 Solución: Es un Binomio 1 2 5 (4) 15 p qr Solución: No es Monomio 1 (5) −4m5 + −1 Solución: No es Polinomio. m (6) a 2 + ab + b3 Solución: Es un Trinomio (7) −12ab7 −12 Solución: Es un Binomio 1 (8) 4+ y 2 Solución: No es un Binomio (9) −47 Solución: Es un Monomio (10) h3 − 3h2 − 5 Solución: Es un Trinomio Page 2
  3. 3. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 2011 (11) −q 2 − 9q + 8 Solución: Es un Trinomio (12) 5 x5 y 3 + 5 x3 y 2 + 6 Solución: Es un Trinomio r3 (13) Solución: Es un Monomio. 4 4 (14) Solución: No es un Monomio r3Nivel de Dificultad 2 4. Hallar el grado de los siguientes monomios. n representa un entero. (1) −5 Solución: −5x0 El grado es cero (2) 4a5 Solución: 4x5 El grado es cinco, porque es el valor del exponente de la letra. (3) −xy 2 z Solución: −x1 y 2 z1 El grado es cuatro, porque es el valor de la suma de los exponentes de las letras. Page 3
  4. 4. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 2011 (4) 5x 2 y 3 z 0 Solución: 5x 2 y 3 z 0 El grado es cinco, porque es el valor de la suma de los exponentes de las letras. 3 (5) a Solución: 3 1 5 a 5 El grado es uno, recordar que cuando el exponente es uno no se pone se asume que está ahí. (6) 4ab Solución: 4a1b1 El grado es dos, porque es el valor de la suma de los exponentes de las letras. (7) 2a nbn Solución: 2a nbn El grado es 2n , porque se deben sumar los exponentes de las letras y estos son monomios semejantes: n + n = 2n Page 4
  5. 5. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 2011 (8) x n−2 y n+2 Solución: x n−2 y n+2 El grado es 2n , porque se deben sumar los exponentes de las letras y esta suma quedaría así: (n − 2) + (n + 2) n−2+ n + 2 n + n = 2n Los números dos se eliminan por tener diferente signo e igual valor.5. Determinar el grado de cada uno de los polinomios siguientes. (1) x + x2 Solución: x1 + x2 El grado es 2 , porque el monomio con mayor valor en el exponente es el que indica el grado del polinomio (2) 1 + 3x − x 3 + x 2 Solución 1+ 3x1 − x3 + x 2 El grado es 3 , porque el monomio con mayor valor en el exponente es el que indica el grado del polinomio Page 5
  6. 6. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 2011 (3) a3 − 3a 2b + 3ab2 − b3 Solución: a3 − 3a 2b1 + 3a1b2 − b3 El grado es 3 , porque el monomio con mayor valor en el exponente es el que indica el grado del polinomio y la mayor suma da tres. (4) x− y− z Solución: x1 − y1 − z1 El grado es 1 , porque todos los monomios tienen exponente uno, entonces ninguno es superior a otro (5) 3abc + 2a + 3ab2 + 4ab Solución: 3a1b1c1 + 2a1 + 3a1b2 + 4a1b1 El grado es 3 , porque el monomio con mayor valor en el exponente es el que indica el grado del polinomio y la mayor suma da tres. (6) 2 x2 + 3xy + x5 − xy 2 − y3 Solución: 2 x 2 + 3x1 y1 + x5 − x1 y 2 z 3 El grado es 5 , porque el monomio con mayor valor en el exponente es el que indica el grado del polinomio y la mayor suma da tres. (7) 2 x 4 − 3x 2 + 4 Solución: 2 x 4 − 3x 2 + 4 El grado es 4 , porque el monomio con mayor valor en el exponente es el que indica el grado del polinomio Page 6
  7. 7. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 2011 (8) x3 − x2 y + 3xy 2 − y3 Solución: x3 − x 2 y1 + 3x1 y 2 − y 3 El grado es 3 , porque el monomio con mayor valor en el exponente es el que indica el grado del polinomio y la mayor suma da tres. (9) 7n5 + n4 − 3n3 − n2 − n + 8 7n5 + n4 − 3n3 − n2 − n + 8 Solución: El grado es 5 , porque el monomio con mayor valor en el exponente es el que indica el grado del polinomio (10) 6 − 3m + 5m2 + m3 − 4m4 6 − 3m1 + 5m2 + m3 − 4m4 Solución: El grado es 4 , porque el monomio con mayor valor en el exponente es el que indica el grado del polinomio6. Escribir un polinomio para el perímetro de cada figura. Reducir los términos semejantes 5x (1) Recordemos que el Perímetro de 1 una figura geométrica es la suma 3 de todos sus lados x 2x x+2 Solución: 3 + 5x + 1 + 2 x + x + x + 2 Agrupamos monomios semejantes 5x + 2 x + x + x + 3 + 1 + 2 Efectuamos las operaciones indicadas 9 x + 6 este es el resultado Page 7
  8. 8. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 2011 (2) x+3 Recordemos que el Perímetro de 6x 4 una figura geométrica es la suma x de todos sus lados 4x − 2 Solución: 6x + x + 3 + 4 + x + 4x − 2 igual que la anterior 6x + x + x + 4x + 3 + 4 − 2 12 x + 5 este es el resultado (3) x x Sol x x Recordemos que el Perímetro de x una figura geométrica es la suma x de todos sus lados x x x x x x Solución: x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x 12 x este es el resultadoNivel de Dificultad 3 7. Determinar cuáles de los siguientes polinomios son polinomios en una variable (1) x3 − x 2 y + 3xy 2 − y 3 No es polinomio de una variable, tiene dos: x y y (2) −z 4 + 3 z 2 − 2 z − 9 Es un polinomio de una variable, z Page 8
  9. 9. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 2011 (3) 4a + 3b + 2c + d No es un polinomio de una sola variable, estas son: a , b, c y d . (4) m3 − 3m2 + 3m − 1 Es un polinomio de una variable: m (5) q6 + 3q 4 + 3q2 + 1 Es un polinomio de una variable: q (6) h3 − 8t 3 No es un polinomio de una sola variable, estas son: hyt8. Ordenar en forma descendente cada polinomio en un variable. (1) A( x ) = x 5 + x + 6 x3 + 1 + 2 x 2 quedaría así: A( x) = x5 + 6 x3 + 2 x 2 + x + 1 (2) B( y) = 3 + 2 y2 − 5 y6 − 2 y3 + 3 y quedaría así: B ( y ) = −5 y 6 − 2 y 3 + 2 y 2 + 3 y + 3 (3) C (u ) = 5u 3 + 15u 4 + u − u 2 + 7u 6 quedaría así: C (u ) = 7u 6 + 15u 4 + 5u 3 − u 2 + u (4) P ( w) = w − 5 + w3 − 5w4 + w2 quedaría así: P ( w) = −5w4 + w3 + w2 + w − 5 (5) Q( z) = z − 7 z 2 + 9z5 − z 4 − z3 quedaría así: Q( z) = 9 z5 − z 4 − z3 − 7 z 2 + z Page 9
  10. 10. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 2011 (6) R ( n) = n 3 − 4 + n + n 2 − 7 n 4 quedaría así: R ( n ) = −7 n 4 + n 3 + n 2 + n − 49. Reducir y ordenar cada polinomio en una variable. Luego determinar su grado. (1) P (m) = 3m 4 − 5m 6 − 2m 4 + 6m 6 quedaría así: P (m) = 3m4 − 5m6 − 2m 4 + 6m6 Agrupamos monomios semejantes P (m) = −5m6 + 6m6 + 3m 4 − 2m 4 P ( m) = m 6 + m 4 El grado que queda es: 6 (2) R ( n ) = − 1 + 5n 3 − 3 − 7 n 3 + n 4 + 5 quedaría así: R (n) = −1 + 5n3 − 3 − 7n3 + n4 + 5 Agrupamos monomios semejantes R (n) = n 4 + 5n3 − 7n3 − 1 − 3 + 5 R ( n) = n 4 − 2n 3 + 1 El grado que queda es: 4 (3) Q ( v ) = − 2v + 4v 3 − 7 v + 9v 3 + 8 quedaría así: Q (v) = −2v + 4v3 − 7v + 9v3 + 8 Agrupamos monomios semejantes Q (v) = 4v3 + 9v3 − 2v − 7v + 8 Q (v) = 13v3 − 9v + 8 El grado que queda es: 3 Page 10
  11. 11. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 2011 (4) S (u ) = −6u 2 + u − 5u + 7u 2 + 1 quedaría así: S (u ) = −6u 2 + u − 5u + 7u 2 + 1 Agrupamos monomios semejantes S (u ) = −6u 2 + 7u 2 + u − 5u + 1 S (u ) = 13u 2 − 4u + 1 El grado que queda es: 2 (5) B ( h ) = −2 h + 2 h 2 − 3 − h 2 + h quedaría así: B ( h ) = −2 h + 2 h 2 − 3 − h 2 + h Agrupamos monomios semejantes B ( h) = 2h 2 − h 2 − 2h + h − 3 B (h) = h 2 − h − 3 El grado que queda es: 2 3 1 (6) P (a) = −a + + 5a 2 − a − a 2 quedaría así: 4 2 3 1 P (a) = −a + + 5a 2 − a − a 2 4 2 Agrupamos monomios semejantes 1 3 P (a) = 5a 2 − a 2 − a − a + 2 4 desarrollamos las operaciones con fracciones 1 1 −2 − 1 −3 − − = = Recordemos las sumas o restas de 1 2 2 2 fracciones. El proceso está 3 3 marcado con flechas P ( a ) = 4a 2 − a + 2 4 El grado que queda es: 2 Page 11
  12. 12. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 2011 (7) A(k ) = 3k − k 2 + 3k − 4k 2 + 3k quedaría así: A(k ) = 3k − k 2 + 3k − 4k 2 + 3k Agrupamos monomios semejantes A(k ) = −k 2 − 4k 2 + 3k + 3k + 3k A(k ) = −5k 2 + 9k El grado que queda es: 2 5 1 (8) Q( y) = 2 y − + 4 y3 + y + y quedaría así: 6 6 Recordar que cuando se suman o restan tres 5 1 fracciones o más, Q( y) = 2 y − + 4 y3 + y + y debemos para mayor 6 6 rapidez obtener el Agrupamos monomios semejantes Mínimo Común 1 5 Múltiplo (m.c.m.). Q( y) = 4 y3 + 2 y + y + y − Luego dividimos por el 6 6 denominador (parte de Sumamos los tres tér min os semejantes debajo de la fracción) y 2 1 1 el resultado lo + + multiplicamos por el 1 1 6 numerador (parte de Obtenemos el m.c.m. arriba de la fracción). Por último realizamos 12 + 6 + 1 19 = las operaciones de 6 6 sumas o restas y 19 5 obtenemos el Q ( y) = 4 y3 + y − resultado 6 6 El grado que queda es: 3 Page 12
  13. 13. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 2011Nivel de Dificultad 4 10. Reducir las expresiones algebraicas. (1) 2a + 4a = 6 a (2) y + y2 + 2 y Agrupamos y2 + y + 2 y y2 + 3y (3) 4ay − ay = 3ay (4) bx 2 + 2bx 2 = 3bx 2 (5) 2 y3 + y 2 − y3 Agrupamos 2 y3 − y3 + y 2 (6) x 3 − 3x + x 2 + 6 + 2 x 2 Agrupamos x3 + x 2 + 2 x 2 − 3 x + 6 x3 + 3x 2 − 3 x + 6 Page 13
  14. 14. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 2011 (7) 3ab + 2ab − 2bc + 6ab + 2ab Agrupamos 3ab + 2ab + 2ab + 6ab − 2bc 13ab − 2bc (8) 3a 2b − 2ab 2 + 5ab 2 + 6a 2b Agrupamos 3a 2b + 6a 2b − 2ab2 + 5ab 2 9a 2b + 3ab2 (9) 6abc − 5a 2bc + 3abc Agrupamos −5a 2bc + 6abc + 3abc −5a 2bc + 9abc (10) 2 x 2 yz + 6 xyz + 2 xyz + 3x 2 yz Agrupamos 2 x 2 yz + 3x 2 yz + 6 xyz + 2 xyz 5 x 2 yz + 8 xyz Page 14
  15. 15. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 2011 (11) 2 1 1 3 Debemos factorizar los valores de xy − xy + xy − xy los denominadores, sacando 3 6 2 4 primero mitad, luego tercera Debo desarrollar las fracciones hasta que queden solo unos el final obteniendo el m.c.m. 3 6 2 42 2x2x3=12 2 1 1 3 − + − 3 3 1 22 3 6 2 4 8−2+6−9 3 3 1 13 12 1 1 1 1 3 1 = 12 4 1 xy 4 (12) 1 2 3 2 xy − x 2 y − xy 2 + x 2 y 4 2 5 Agrupamos 1 2 3 2 2 xy − xy − x 2 y + x 2 y 4 2 5 Debo desarrollar las fracciones 1 3 2 − 12 −10 −5 − = = = 4 2 8 8 4 1 2 −5 + 2 −3 − + = = 1 5 5 5 5 3 − xy 2 − x 2 y 4 5 Page 15
  16. 16. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 201111. Evaluar cada polinomio. (1) P ( x) = x3 − 27 P (2) Solo se sustituye el valor de la var iable 3 P (2) = (2) − 27 P (2) = 8 − 27 P (2) = −19 (2) P ( x) = x 4 − 2 x + 3 P (3) Solo se sustituye el valor de la var iable 4 P (3) = (3) − 2(3) + 3 P (3) = 81 − 6 + 3 P (3) = 78 (3) P (u ) = 2u 3 − 5u 2 + u P (−2) Solo se sustituye el valor de la var iable 4 P (−2) = (3) − 2(3) + 3 P (3) = 81 − 6 + 3 P (3) = 78 (4) P (u ) = 4u 3 + u 2 − 2u − 5 P (−3) Solo se sustituye el valor de la var iable 3 2 P (−3) = 4(−3) + (−3) − 2(−3) − 5 P (3) = −108 + 9 + 6 − 5 P (3) = −98 Page 16
  17. 17. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 2011 (5) P (b) = −4b 4 + 2b3 + b − 2 P (1) Solo se sustituye el valor de la var iable 4 3 P (1) = −4(1) + 2(1) + 1 − 2 P (3) = −4 + 2 + 1 − 2 P (3) = −3 (6) P (b) = −4b 4 + 2b3 + b − 2 P (−1) Solo se sustituye el valor de la var iable 4 3 P (1) = −4(−1) + 2(−1) − 1 − 2 P (3) = −4 − 2 − 1 − 2 P (3) = −912. Evaluar el polinomio de accidentes automovilísticos con x = 18 para encontrar el número de accidentes diarios en los cuales participan conductores de 18 años. (1) 2 2 A( x ) = x − 40 x + 1039 A(18) 5 Solo se sustituye el valor de la var iable 2 2 P (1) = (18) − 40(18) + 1039 5 P (3) = 129.6 − 720 + 1039 P (3) = 448.6 448,6 o aproximadamente 449 accidentes diarios si los conductores tienen 18 años. Page 17
  18. 18. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 2011 (2) ¿Cuántos conductores de 40 años participan en los accidentes diarios? 2 2 A( x ) = x − 40 x + 1039 A(40) 5 Solo se sustituye el valor de la var iable 2 2 P (1) = (40) − 40(40) + 1039 5 P (3) = 640 − 1600 + 1039 P (3) = 79 79 accidentes diarios si los conductores tienen 40 años.Fuente: Meneses Rodríguez, Roxana. Matemáticas 8: enseñanza-aprendizaje. Primera edición.Editores: PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009 Page 18

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