Este documento describe una investigación sobre la enseñanza del concepto de derivada a estudiantes de ingeniería agronómica. El objetivo es diseñar y aplicar actividades que dinamicen la "Regla de los Cuatro Pasos" incorporando argumentos variacionales, para favorecer la construcción de significados sobre la derivada. Se realiza un estudio socioepistemológico de la regla y se propone una situación de aprendizaje de cuatro fases que utiliza la regla y el Teorema del Binomio de Newton para resolver problemas de ingeniería.

1. Instituto Politécnico Nacional
Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y
CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE DERIVADA
A TRAVÉS DE DINAMIZAR LA REGLA DE LOS
CUATRO PASOS. APROXIMACIÓN
SOCIOEPISTEMOLÓGICA
Doctorando: Adriana Engler
Director: Dr. Alberto Camacho
Tecnología Avanzada

2. ¿Por qué este trabajo?

3. Muchas preguntas…
• ¿cómo se enseña el concepto de derivada en el comienzo de una
carrera no matemática?
• ¿cómo es posible mejorar la enseñanza de la derivada a fin de
favorecer el aprendizaje?
• ¿cómo trabajan los docentes los conocimientos con los recursos
didácticos que disponen actualmente?
• ¿cómo se puede colaborar desde el rol docente para que los
estudiantes de ingeniería sean capaces de construir y organizar el
conocimiento matemático?
• ¿de qué manera la enseñanza universitaria puede colaborar en la
construcción de conocimiento matemático?

4. • ¿qué acciones se pueden llevar adelante para propiciar el
desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional en los alumnos
de los cursos de matemática en carreras de ingeniería?
• ¿qué significados asociados al concepto de derivada elaboran los
alumnos de un curso de cálculo en una carrera de ingeniería?
• ¿qué papel juega la construcción del concepto de derivada dentro
del aula de una carrera de ingeniería?
• ¿qué actividades se pueden implementar en el aula para ayudar a
los estudiantes de ingeniería a construir el concepto de derivada?
• ¿cómo interviene la Regla de los Cuatro Pasos en la construcción
del objeto derivada?

5. • ¿qué procesos de pensamiento son necesarios desarrollar en el
alumno a fin de favorecer el aprendizaje de nociones relacionadas con
el comportamiento variacional de las funciones?
• ¿qué sistemas de representación pueden ponerse en juego en la
construcción de la derivada?
• ¿qué tipo de situaciones problemáticas permiten a los alumnos
comprender las ideas básicas relacionadas con el comportamiento
variacional de las funciones y, en particular, la noción de derivada de
una función en un punto?
• ¿qué tipo de construcciones realizan los alumnos cuando
interactúan en el aula?

6. ORGANIZACIÓN DE LA TESIS
• Capítulo 1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
• Capítulo 2. MARCO TEÓRICO
• Capítulo 3. LA DERIVADA
• Capítulo 4. LA REGLA DE LOS CUATRO PASOS
• Capítulo 5. EL TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON
• Capítulo 6. LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJE
• Capítulo 7. REFLEXIONES FINALES
• REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
• ANEXOS

7. EL PROBLEMA
• La enseñanza y el aprendizaje del cálculo en el
aula universitaria.
• Estudiantes de Ingeniería Agronómica.
• El trabajo algorítmico y la carencia de
significados.

8. PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN
¿Qué prácticas constituyen la construcción de la
noción de derivada en una situación escolar donde se
dinamiza la Regla de los Cuatro Pasos para
estudiantes de Ingeniería Agronómica?

9. OBJETIVOS
• el diseño y aplicación de actividades para dinamizar la
regla.
• el estudio Socioepistemológico de la regla a fin de poner en
evidencia las prácticas que se encuentran en ella.
• el diseño y aplicación de una situación de aprendizaje a
alumnos cursantes de Matemática II de la carrera
Ingeniería Agronómica de la Facultad de Ciencias Agrarias,
que busque ponerlos en camino hacia la construcción de la
derivada.

10. Dinamizar la enseñanza
Dinamizar significa imprimir rapidez e
intensidad a un proceso.

11. Dinamizar es hacer que funcione mejor una cosa o que tenga
un mayor desarrollo e importancia una actividad. Añadir
dinamismo (energía que estimula los cambios o el
desarrollo) a una actividad, desarrollarla o hacer que cobre
más importancia.
Dinamizar una regla implica dinamizar la actividad que con
ella se despliega en el salón de clase.
La noción de dinamizar se comprende en esta investigación
como la posibilidad de hacer más funcional y entendible para
el aula (Camacho, 2011) el procedimiento involucrado en la
regla incorporando en ella argumentos variacionales.

12. La regla constituye la estructura matemática
usada como una técnica en el salón de clase
para la determinación de la derivada
 
   
f x Δx f x
Δ x
f x lím
Δx 0
 

 
de una función f  x  .

13. Los cuatro pasos que enuncia la regla posibilitan trabajar las
ideas de:
• cambio, diferencia (valor final menos valor inicial) tanto en
la variable independiente como en la dependiente (pasos 1 y 2),
• razón de cambio media (al realizar el cociente entre los
cambios, paso 3) y su asociación con la idea de pendiente de
una recta secante a la gráfica de una función en dos puntos,
• razón de cambio instantánea (al realizar el cálculo del
límite, paso 4) y la exploración de su relación con la idea de
pendiente de una recta tangente a la gráfica de una función
en un punto y la definición de derivada de una función en un
punto.

14. Estudio socioepistemológico de la Regla de los
Cuatro Pasos
• Prácticas de Referencia
OBSERVACIÓN – GEOMETRIZACIÓN – MODELACIÓN
• Prácticas Sociales
ANALITICIDAD – PREDICCIÓN

15. OBSERVACIÓN
Observar es ofrecerse una representación del mundo en un contexto y
ligada a proyectos, un modelo teórico de lo que vemos.
“Cuando observo algo siempre tengo que describirlo. Para lo cual
utilizo una serie de nociones que ya tenía antes: éstas se refieren
siempre a una representación teórica, generalmente implícita”.
Fourez (2000, p. 27)
La observación es realizada por los seres humanos para detectar y
asimilar información. El término también hace referencia al registro de
observaciones mediante la utilización de instrumentos.
Resulta una práctica de referencia para el proyecto.

16. GEOMETRIZACIÓN
El término geometrizar se refiere a la acción de teorizar las
formas del espacio real. Consiste en una interpretación
geométrica de los objetos matemáticos que a priori no son
geométricos. Se entiende por espacio real a porciones
limitadas de la superficie de la tierra, así como a porciones del
espacio estelar. La geometrización del espacio brinda por
resultado una configuración ordenada del mismo.
La geometrización es considerada una Práctica de Referencia en el
proyecto.

17. MODELACIÓN
Se constituye en una práctica de referencia que surge en
respuesta a una situación o fenómeno del mundo real
externo al aula pero relacionado con el trabajo profesional
de los estudiantes a partir de la cual es posible la
resignificación y/o construcción de conocimiento
matemático escolar.

18. ANALITICIDAD
A finales del siglo XVIII se planteó el siguiente interrogante ¿es posible
representar cualquier función real de variable real a través de una serie
de potencias? Si bien Cauchy argumentó que no, Lagrange demostró que
sí era posible. Lagrange (1797) explica esto en el primer capítulo de
Theorie des Fonctions Analityques.
Las funciones analíticas contienen un germen de conocimientos que,
desafortunadamente, con el cálculo actual es difícil de reconocer y,
afortunadamente, esos conocimientos se pueden desplegar y reconocer
con la Serie de Taylor.
Camacho y Sánchez (2010)

19. PREDICCIÓN
La predicción es una forma con la que se pretende entender y anticipar
lo que va a suceder con cierto sistema físico.
Alatorre, López y Carrillo (2006)
Esta noción se construyó socialmente a partir de las vivencias
cotidianas de los individuos. En numerosas oportunidades, es
necesario determinar el valor que tomará una magnitud determinada a
medida que transcurre el tiempo.
El tratamiento de la predicción en el caso de fenómenos de
movimiento da lugar a la matematización de una gran cantidad de
nociones y procesos.

20. La analiticidad y la predicción son consideradas Prácticas
Sociales en el proyecto reconociendo que acompañan,
norman y regulan la construcción del conocimiento e
intervienen en la reorganización de la obra matemática.
A través de ellas se integra el carácter social en el aula y se
privilegia la actividad humana.

21. ¿Qué tenemos entonces hasta aquí?
• El estudio socioepistemológico de la regla
• La posibilidad de la dinamización de la regla a través
del TBN incorporando en ella argumentos de carácter
variacional
¿Cuál es el desafío a llevar adelante?

22. El diseño y aplicación de una situación de aprendizaje a
alumnos cursantes de Matemática II de la carrera
Ingeniería Agronómica de la Facultad de Ciencias
Agrarias de la Universidad Nacional del Litoral,
Argentina, que busque ponerlos en camino hacia la
construcción de la derivada favoreciendo de esa manera
la construcción de significados variacionales.

23. LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJE
Diseño didáctico intencional que logre involucrar al alumno
en la construcción de conocimiento.
Situación de aprendizaje es el estado, condición o disposición (colocación)
de una persona que espera lograr un aprendizaje. Implica el reconocimiento
de un estado inicial a partir del cual la persona ha de realizar un proceso de
transformación hasta alcanzar un nuevo estado, en relación con su saber
conceptual, su saber procedimental y su saber actitudinal. Desde esta
perspectiva diseñar situaciones de aprendizaje implica el diseño del punto
de partida, el punto de llegada y el proceso que se ha de recorrer para
lograr un aprendizaje.
Corrales (2002, p. 6)

24. ESTRUCTURA GLOBAL DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJE
Fase Actividades
1. Familiarización con la RCP para llegar a
la definición de derivada
Actividad 1. Emergencia del significado de
cada paso de la regla y la definición del
objeto derivada.
Actividad 2. Desarrollo algebraico de cada
paso de la regla para tres funciones
analíticas.
2. Aplicación de la RCP a una situación
diferente
Actividad. Aplicación de los pasos de la
regla buscando la resolución de un
problema de ingeniería en el que la función
surge de la experimentación.
3. Utilización del TBN para la obtención de
la derivada a través de la dinamización de
la RCP
Actividad 1. Emergencia de la necesidad de
utilizar la técnica del TBN para llegar a la
definición analítica de la derivada luego de
la aplicación de los cuatro pasos.
Actividad 2. Análisis y conclusiones al
trabajar los desarrollos binomiales a través
del TBN.

25. Fase Actividades
4. La RCP dinamizada a través del TBN se
aplica al problema no resuelto de la Fase 2
Actividad 1. Aplicación de los pasos de la
regla, dinamizada, buscando la resolución
de un problema de ingeniería en el que la
función surge de la experimentación y se
busca determinar la derivada de la función
en un punto.
Actividad 2. Se utiliza el mismo problema
para buscar llegar a la expresión analítica
de la función derivada a través de lo
trabajado con el TBN buscando la
dinamización de la regla.
Actividad 3. Emergencia del significado de
cada uno de los pasos de la regla y
valoración sobre la utilización del TBN.

26. Fase 1.
Familiarización con la RCP para llegar a la definición de derivada.
Se busca que el alumno comience a reconocer, desde sus
conocimientos previos, lo que se está calculando en cada paso
de la regla y sea capaz de desarrollar algebraicamente las
diferentes tareas pautadas en cada uno de ellos.

27. Fase 2.
Aplicación de la RCP a una situación diferente.
Se presenta al alumno un problema relacionado con su futuro
trabajo profesional.
Se busca que surja en el alumno el planteo de la necesidad de
emergencia de la técnica que le permitirá resolver el trabajo
algebraico que le quedó pendiente y el problema propuesto. Es
decir, el surgimiento de la necesidad de buscar alguna
alternativa para poder llegar a las expresiones algebraicas
simplificadas.

28. Fase 3.
Utilización del TBN para la obtención de la derivada a través de
la dinamización de la RCP.
Surge la necesidad de utilizar el TBN para la dinamización de la
regla y desarrollar los binomios que en cada paso aparecen. Al
trabajar funciones analíticas es importante que puedan
asociarlas con los desarrollos binomiales a través del teorema.

29. Fase 4.
La RCP dinamizada a través del TBN se aplica al problema no
resuelto de la Fase 2.
Se retoma el problema enunciado en la Fase 2 tratando de que el
alumno descubra por qué resulta importante desde el punto de
vista del significado, cada uno de los pasos de la regla y qué
información se logra obtener de cada paso con relación al
problema. Se pretende resignificar en el contexto de un
problema de ingeniería (dasonomía) la definición de derivada y
el análisis de cada uno de los pasos que se realizan y dar un
significado de los mismos en términos del problema.

30. EL CONTEXTO Y LA PUESTA EN ESCENA
¿QUIÉNES?
¿DÓNDE?
¿CÓMO?
¿CUÁNTOS?

31. Primera sesión Duración: dos horas
Fase 1
Familiarización con la RCP
para llegar a la definición de
derivada
• Planteo de los cuatro pasos de la regla y el
significado de cada uno de ellos.
• Aplicación de la RCP a diferentes funciones en las
que la variable aparece elevada a exponentes
negativos y fraccionarios negativos.
Fase 2
Aplicación de la RCP a una
situación diferente
• Determinación de la dificultad algebraica de
obtener una expresión simplificada de cada uno de
los pasos de la regla.
• Planteo de cada uno de los pasos para la solución
de un problema de ingeniería.
• Determinación de la imposibilidad de resolver el
problema por las dificultades algebraicas
generadas al intentar aplicar los cuatro pasos a una
función de potencia con exponente decimal.

32. Segunda sesión Duración: una hora
Fase 3
Utilización del TBN para la
obtención de la derivada a
través de la dinamización de
la RCP
• Surgimiento de la técnica para llegar, en cada paso de
la regla, a la mínima expresión algebraica.
• Utilización de la técnica para encontrar la derivada
de cada una de las funciones planteadas en la
primera fase.
• Reconocimiento de la importancia de la utilización
del TBN al aplicar la RCP en el tipo de funciones
planteadas.

33. Tercera sesión Duración: tres horas
Fase 4
La RCP dinamizada
a través del TBN se
aplica al problema
no resuelto de la
Fase 2
• Planteo de un problema agronómico donde se retoma la
necesidad de resolver cada uno de los pasos de la regla.
• Valoración de las PS y PR en relación al problema dasonómico
planteado.
• Nociones que se generalizan en relación a razón de cambio
media y razón de cambio instantánea.
• Relación entre razón de cambio media y pendiente de la recta
que pasa por dos puntos de la gráfica de la función.
• Relación entre razón de cambio instantánea y pendiente de la
recta tangente.
• Generalización del trabajo en relación a la derivada desde lo
puntual a lo global.
• Valoración de la derivada de una función en un punto y
definición de función derivada.
• Interpretación de los diferentes pasos de la regla en distintos
registros (verbal, gráfico, analítico y algebraico)
• Interpretación de los diferentes pasos de la regla en términos
del problema de ingeniería.
• Valoración del trabajo a través de desarrollos binomiales.

35. ORGANIZACIÓN DEL PROBLEMA A TRAVÉS
DE LAS PRÁCTICAS

36. PRÁCTICA Actividades desarrolladas
OBSERVACIÓN
Se refiere a las observaciones realizadas en árboles obtenidos en un
predio en el Noroeste de El Rosario, Tiaxco, Tlaxcala, México. Se
seleccionaron 25 árboles de Pinus patula Schl. et Cham sin
enfermedades ni deformidades. Antes de derribar cada árbol se
midió su . Luego de derribados, el fuste de cada árbol fue seccionado
en trozas comerciales. Previo a su medición, de cada troza comercial
se obtuvo, como muestra, una rodaja de aproximadamente 5 cm de
espesor. La primera se obtuvo de la sección correspondiente a la
parte baja de la primera troza, las siguientes de las partes más
gruesas de las demás trozas (Figura 6.18). Las ramas fueron
separadas del follaje y se pesaron de manera independiente. Se
tomaron además muestras de cada componente de acuerdo al
tamaño de cada árbol. El peso fresco de cada componente (trozas, las
ramas y follaje) se determinó con una báscula de reloj de 500 kg de
capacidad mientras que el de las rodajas y las muestras de las ramas
y el follaje con una báscula de reloj de 15 kg de capacidad. Estas
actividades fueron realizadas en el lugar donde el árbol fue
derribado. Los árboles pequeños se cortaron y, sin ser divididos en
partes, se transportaron al laboratorio, donde fueron secados para
obtener su biomasa, pesándolos directamente. El diámetro de los
árboles muestreados varió entre 6,7 y 64,1 cm y su biomasa de 7,62 a
2741,76 kg.

37. PRÁCTICA Actividades desarrolladas
GEOMETRIZACIÓN
La geometrización del problema se desarrolló a través del troceo del
arbolado y la obtención de rodajas. El procedimiento utilizado para la
cubicación del tocón (parte del tronco de un árbol que queda unida a
la raíz cuando lo talan) se realizó comparando el volumen del tocón
con el de un cono truncado o neiloide según corresponde para
coníferas de este estudio.
Figura 6.18. Troceo del arbolado, obtención de rodajas, muestras de ramas
y follaje. (Díaz et al, 2007, p. 27)

38. PRÁCTICA Actividades desarrolladas
MODELACIÓN
Para la estimación de la biomasa de un rodal forestal se utilizó el
método de estimación por regresión. De esta manera se pudo
estimar la cantidad del total de materia orgánica aérea presente
en los árboles, incluyendo hojas, ramas, tronco principal y
corteza. Se realizó un muestreo destructivo de unos cuantos
árboles para relacionar alguna de sus variables fáciles de medir
con el contenido de biomasa, utilizando métodos de regresión.
La técnica llevada adelante recibe el nombre de alometría y
consiste en el estudio del cambio de proporción de varias partes
de un organismo como resultado de su crecimiento.

39. PRÁCTICA Actividades desarrolladas
ANALITICIDAD
Se refiere al germen contenido en la función que se observa al
analizar el desarrollo binomial de la función analítica.
En este caso, la biomasa corresponde a una función analítica
susceptible de ser desarrollada en serie. Si se incrementa esta
última en la variable independiente como:
la cual es desarrollada a partir del teorema del binomio, como se
muestra enseguida, quedando así la variabilidad expresada en el
desarrollo del segundo miembro, en un valor particular:
(todos los términos siguientes contienen potencias sucesivas de ) (primer paso de la
regla).
Este mismo planteo para un valor genérico resulta:

40. PRÁCTICA Actividades desarrolladas
PREDICCIÓN
A partir de la diferencia entre un estado posterior y el anterior
comienza el camino de la predicción. De la aplicación del segundo
paso de la regla surge nuevamente, para un valor particular, la
siguiente expresión:
Para cualquier valor de la variable independiente se plantea el
desarrollo y se llega a lo siguiente:
A partir de aquí se siguen el tercer y cuarto paso de la regla para
obtener la derivada de la función en un punto o bien la función
derivada.

42. Aspectos generales de logros de la SA
Fase 1. Se logró que los estudiantes:
• expresaran con sus palabras el significado de cada uno de los pasos que
conforman la RCP y reconocieran que, a través de ella se calcula la
derivada,
• descubrieran las ideas variacionales que están presentes en los cuatro
pasos de la regla,
• aplicaran los cuatro pasos de la regla a funciones cuyas leyes no
generaban grandes dificultades algebraicas,
• detectaran la imposibilidad de aplicar los cuatro pasos de la regla y llegar
a la definición de la función derivada cuando funciones estaban dadas a
través de leyes que presentaban cierta complejidad algebraica,
• se familiarizaran con la regla para llegar a la derivada y
• descubrieran que era necesario contar con alguna otra herramienta para
poder trabajar con todas las funciones.

43. Fase 2. Los estudiantes fueron capaces de:
• valorar la importancia, para un estudiante de ingeniería, de abordar
la resolución de problemas asociados a su práctica profesional,
• plantear, desde la ley de la función obtenida experimentalmente, los
cuatro pasos de la regla, pero reconocer la imposibilidad de llegar a la
definición de la derivada (expresión algebraica que se logra en el
cuarto paso) por las dificultades algebraicas generadas al intentar
trabajar los desarrollos binomiales para una función con exponente
decimal y
• reconocer la importancia de buscar alguna herramienta por fuera de
las trabajadas habitualmente en el salón de clases para llegar a la
expresión de la derivada.

44. Fase 3. Se logró que los estudiantes:
• se preocuparan por el surgimiento de una técnica que les permitiera
llegar, en cada paso de la regla, a la mínima expresión algebraica para,
de esa manera, encontrar la ley que definiera de derivada,
• utilizaran el TBN para realizar los desarrollos binomiales,
• reconocieran la importancia de la utilización del teorema para dar
respuesta a lo que no habían podido lograr durante la fases anteriores,
• descubrieran la analiticidad de las funciones como germen de las ideas
variacionales,
• valoraran la necesidad de buscar continuamente nuevos caminos para
resolver situaciones que aparentemente no tienen posibilidades de
resolverse con los recursos disponibles hasta el momento y
• apreciaran el trabajo colaborativo ante la imposibilidad de logros
individuales.

45. Fase 4. Se logró que los estudiantes:
• retomaran el entusiasmo por resolver un problema dasonómico relacionado con su
futura práctica profesional,
• identificaran variables,
• reforzaran el trabajo con las ideas variacionales asociadas a los cuatro pasos de la regla,
• relacionaran la idea de cambio con diferencia entre valores de las variables,
• reforzaran las ideas de razón de cambio media y razón de cambio instantánea,
• asociaran las ideas de razón de cambio media con la pendiente de la recta que pasa por
dos puntos de la gráfica de la función y, por otro lado, la de razón de cambio instantánea
con la de pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto,
• trabajaran en diferentes registros – verbal, algebraico, analítico y gráfico –,
• interpretaran los diferentes pasos de la regla en relación al problema,
• descubrieran la diferencia al hablar de derivada de una función en un punto y función
derivada,
• interpretaran consignas, establezcan conclusiones, planteen desafíos, discutan y
defiendan posturas,
• valoraran las PS y PR – observación, geometrización, modelación, analiticidad y
predicción – que se encuentran inmersas en los cuatro pasos de la regla en relación al
problema planteado como favorecedoras del descubrimiento de la construcción de
conocimiento.

46. REFLEXIONES FINALES
Lo que motivó a llevar adelante este trabajo, fue
precisamente abordar una situación problema presente
en el aula con estudiantes de Ingeniería Agronómica
para poder intervenir en la misma tomando decisiones
fundamentadas teóricamente y con sustento en la
actividad misma.

47. LOGROS
• valorar la importancia de conocer resultados de investigaciones a fin de
generar, considerando la experiencia docente, propuestas de aula que
permitan abordar problemáticas concretas,
• trasladar a la práctica docente los saberes adquiridos,
• desarrollar y aplicar una propuesta de enseñanza buscando alcanzar mejores
niveles en el proceso de aprendizaje en el aula universitaria y
• comprobar que se pueden intentar cambios en la enseñanza buscando el
trabajo comprometido y colaborativo de los alumnos.
INNOVACIÓN
NUEVAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN

48. La investigación es el motor que genera el avance y desarrollo de
toda disciplina y adquiere sentido cuando aparece relacionada con
situaciones que, en ese momento, enfrenta el profesor en el aula.
Actualmente resulta imprescindible tener en claro el valor de la
investigación sobre las propias prácticas educativas para poder
alcanzar las metas propuestas y además superarlas. Tanto los
educadores como las instituciones educativas debemos trabajar en
la producción de saberes en relación a la enseñanza y al aprendizaje
de diferentes disciplinas reconociendo que los estudiantes no
solamente necesitan conocimientos sólidos y actualizados sino
también un saber que les permita actuar como ciudadanos a la hora
de tomar decisiones personales y colectivas con respecto a los
problemas que involucran a la ciencia y a la tecnología.

49. GRACIAS
Si buscas resultados distintos,
no hagas siempre lo mismo.
Albert Einstein (1879-1955)