Este documento describe la transformación de vectores espaciales y su aplicación en inversores trifásicos. Explica cómo los vectores espaciales pueden representar las tensiones de línea a partir de las tensiones de fase. También describe cómo dividir el espacio vectorial hexagonal en paralelogramos para sintetizar cualquier vector espacial mediante la modulación por ancho de pulso. Finalmente, establece la equivalencia entre los vectores espaciales de tensión aplicados y los estados de los interruptores en el inversor.

1. 1
Transformaciòn a vectores espaciales
Paul Santiago Saldaña Caldas
psaldana@est.ups.edu.ec
paul_ssc@hotmail.com
Abstract—Los vectores espaciales nos sirven para representar
las tensiones de lìnea , gracias a esto se puede interpretar el vector
espacial de tensión aplicado a partir de las tensiones línea a línea.
Los resultados obtenidos al realizar las operaciones vectoriales ,
son análogos a los obtenidos en régimen sinusoidal permanente
al pasar de tensiones de línea a tensiones de fase.
Index Terms—Fases, interruptor, tensión, línea, sinusoidal,
inversor, trifásico, neutro, conmutación, coeficientes Fourier, pico.
Figure 1. Interpretación gráfica de la transformación de vectores espaciales[1]
I. I NTRODUCCIÒN II. M ODULACION DE V ECTORES E SPACIALES
A continuacion puede apreciar en la figura 2 el inversor
trifásico de tensión, este circuito convertidor se lo usa para
Para los sistemas de potencia conectados en estrella o Delta el control exacto del flujo bidireccional de potencia entre los
con neutro aislado, pueden ser despreciados los componentes lados de continua y/o alterna. Las tecnicas mas utilizadas
de secuencia cero ,esto se debe a que para este caso son cero. para controlar este convertidor son: eliminación selectiva de
para los sistemas simètricos las componentes de secuencia armónicas ,la modulación delta, las diferentes técnicas de
positiva y negativa se comportan de igual forma, en especial en modulación de ancho de pulso PWM convinadas, etc. Las
sistemas simétricos, para este caso la una es la compleja con- mas utilizadas han sido las técnicas basadas en PWM con
jugada de la otra. La transformación de vectores espaciales ha portadoras triangulares.
sido utilizada mayormente en el control dinámico de máquinas
eléctricas utilizadas en la industria . Tomando en cuenta lo
escrito anteriormente se puede definir a la transformación de
vectores espaciales de la siguiente manera:
 
Xa (t)
x= 1 ej 2π ej 4π  Xb (t)  = Xa (t)+jxβ (t) = x(t)ejξ(t)
3 3
Xc (t)
Figure 2. Diagrama circuital del inversor de tensión trifásico[1]
El numero que se produce al realizar la siguiente operacion
2/3 se lo utiliza para conservar la variancion de potencia
entre el sistema de coordenadas primitivas y el de vectores Debido a la constante demanda de una potencia de proce-
espaciales. El numero viene dado por la transformación her-√ samiento cada vez msa alta, se ha creado tecnicas de control
mitiana de componentes simétricas 1/3 y el coeficiente 2 de alto rendimiento que se caracterizan por la utilizacion
se lo usa para obtener en vectores espaciales una potencia de vectores espaciales y sus conceptos, esto ha dado lugar
activa igual e instantánea que el sistema original, esto se a la abertura de nuevas posibilidades en el manejo de sis-
produce por el efecto de la secuencia negativa en sistemas bal- temas dinámicos. La modulación PWM de vectores espaciales
anceados.Acontinuacion se puede apreciar una interpretación (SVPWM), ha mostardo ser un tema de constante investigación
gráfica del efecto que se produce al realizar la transformacion esto se lo ha hecho con el fin de mejorar los beneficios del
a vectores espaciales. control dinámico.

2. 2
III. P UENTE I NVERSOR T RIFASICO controlada en cada período de la señal portadora, con el uso
El puente inversor trifásico de la figura anterior, presenta de la modulación por ancho de pulso.
43 = 64 estados posibles, de los cuales 33 = 27 son La relación entre el tiempo empleado en el estado (0,0,0)
permitidos esto se debe a que estos son los unicos estados en comparación con el tiempo empleado en el estado (1,1,1)
que no producen cortocircuitos sobre la parte de corriente cuando ambos vectores son utilizado para sintetizar el vector
continua, cabe destacar que tan solo 23 = 8 muestran un de cero, en un período de PWM particular, se ha utilizado
dispositivo encendido en cada uno de los ramales que forman tradicionalmente como la base para los diferentes algoritmos
parte del puente. Tenemos que tres estados pueden pueden generalizados de SVPWM.
ser tomados como un conjunto de base para obtener mediante
un analisis que realacionen a los otros cinco estados. En la
A. Modulación en coordenadas vectoriales (x,y)
figura se puede observar tres vectores bases a0 , a1 y a2 ,
que forman parte de los estados (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) Las tecnicas de control actuales decriben el espacio vectorial
correspondientemente. Para este caso la representación “1” usando un sistema de dos coordenadas ortogonales (x,y) y
tiene una relacion con el componente de potencia de la parte ademas muestran a las variables de estado del sistema de
superior de puente (QH) encendido mientras que el de la parte potencia como la tensión, el flujo, la potencia y la corri-
inferior (QL) se encuentra apagado, y “0” se puede realcionar ente en el sistema mencionado. En los sistemas trifásicos la
con el componente de potencia de la parte inferior (QL) descripción en vectores espaciales tiene la gran ventaja de
encendido, mientras el superior (QH) se encuentra apagado. minimizar la cantidad de las ecuaciones necesarias para un
modelo dinámico , para la realización de este control. Se sabe
que los ciclos de trabajo, para obtener una tensión definida,
requeridos por cada rama del puente inversor trifásico pueden
obtenerse fácilmente mediante el uso de transformaciones de
dos o tres ejes.
B. Definición de paralelogramos [1]:
El vector nulo se puede obtener utilizando sólo el estado
Figure 3. Vectores y paralelogramos bases[1] 00 = (0, 0, 0) o el estado 07 = (1, 1, 1). Cuándo el vector nulo
es sintetizado utilizando únicamente el estado00 , el espacio
Se puede decir que cualquier vector espacial promedio, hexagonal se divide en tres regiones descritas por los paralel-
normalizado por ξV DC, que se encuentre inscrito en el ogramos z0 = {0, 1, 2} que son mostrados en la siguiente
espacio hexagonal de la figura aterior, puede ser obtenido figura. En este caso el vector espacial v es sintetizado con la
utilizando la transformación de Clarke como: rama que no conmuta en estado “0”. Por otra parte, cuando
se realiza la síntesis del vector nulo únicamente con el estado
v = ξ(vaN a0 + vbN a1 + vcN a2 ) 07 el espacio hexagonal se divide en las tres zonas que forma
los paralelogramo z1 = {0, 1, 2}, presentados en la figura b y
ξ por lo general toma valores de 1, 2 o 2 . Normalizando
3 3 el espacio vectorial se sintetiza con la rama que no conmuta
la expresión como en la ecuacion anterior por ξV DC, por lo
en estado “1”. El espacio hexagonal puede ser dividido en
que se puede escribir el vector espacial de tensión en por
diferentes zonas dependiendo del valor del operador z0 o z1,
unidad de la siguiente manera:
de forma general se pueden representar con el operador zn, con
ξ n = {0, 1}. Cada zona es identificada por el superíndice (zn)
vpu = vx + jvy = (vaN a0 + vbN a1 + vcN a2 ) =
ξVDC para cualquiera de los ejes bases azn o −azn , este corresponde
al vector en el el límite de la zona de paralelogramo para
1 un vector espacial v y se mueve en sentido antihorario. En
= [(va -vN ) + (vb − vN )a + (vc -vN )]
VDC general cualquier zona zn = {0, 1, 2} puede ser rotada al
paralelogramo base (zone z0 = 0) definida por los vectores
= (Da + Db a + Dc a2 ) directores a0 y a1 , utilizando rotación y suma vectorial.
Los literales va N , vb N y vc N se los relaciona con las
tensiones de las fases correspondientes a la barra de tensión
2p
negativa de la fuente de corriente continua (VDC), a = ej 3
, y Da, Db y Dc se los relaciona con los ciclos de trabajo de
cada uno de los ramales del circuito inversor .
La magnitud instantánea del vector espacial de tensión en
el inversor trifásico depende del valor de ξ y esta pude ser
calculada de
vamax a0 = vamax a1 = vamax a2 = ξV dc. Pero , Figure 4. Espacio hexagonal normalizado definido por la salida del inversor
la tensión promedio en cada parte del circuito puede ser [1]

3. 3
En cualquier rama k, con k = {0, 1, 2}, la operación de puede definir el vector espacial de tensión línea neutro de la
la rama no conmutada en el estado n, permite normalizar la siguiente manera:
magnitud de la tensión promedio y definirla igual al ciclo de 
va (t)

trabajo Dk,n . Como se muestra en la figura anterior, el estado −→
− 2 2π 4π
vf n = 1 ej 3 ej 3  vb (t)  = va(t) + jvβ(t)
de la rama no conmutada del inversor Dn,zn+2 = n define 3
vc (t)
la zona de operación con n = 0 (fig.a) y para n = 1 (fig.b).
El algoritmo para la sintetización del vector espacial v utiliza Toamdo la ecuacion anterior , se puede deducir el vector
las dos descripciones mostradas en la figuras anteriores. Esta espacial de tensión aplicado a partir de las tensiones línea a
descripción puede ser simplificada utilizando la información línea, como se muestra a continuacion:
 
del sector N, que se obtiene utilizando el ángulo θdel vector va (t)
−
→ 2 2π 4π
espacial. [1] vii = 1 ej 3 ej 3  vb (t)  =
3
vc (t)
3θ
N=
π
   
va (t) va (t)
2 2π 4π
1 ej 3 ej 3  vb (t)  −  vb (t) 
 vy
 3
 arctan( vx ) Vx>0  vc (t) vc (t)
 π + arctan( vy )
 
vy ≥ 0, V x < 0
 

vx
−→
−
 
 vy
−π + arctan( vx )
 −
→ 4π
vy < 0, V x < 0 vii = 1 − ej 3 vf n
 
θ(V x, V y) = Ec.1
π
 2 vy > 0, V x = 0 
→ √ 4π −→

−π

vy < 0, V x = 0 − −

 

2 vii = 3ej 3 vf n Ec.2

 

0 Vy = 0, Vx = 0
 
Cabe mencionar que este ultimo resultado , es análogo
donde [x] = max {n Z n ≤ x}= floor(x) y θ(vx , y) =
al deducido en régimen sinusoidal permanente al pasar de
atan2(Vx , Vy ). Las zonas z0 y z1 son definidas utilizando
tensiones de línea a tensiones de fase.
la información del sector N utilizando aritmética de modulo
3, mediante las siguientes expresiones: A. Representacion vectores espaciales del Inversor
N N +3 Utilizando la Ecuacion1 se puede calcular el vector espacial
z0 = (mod 3), z1 = (mod 3)
2 2 de tensiones línea a línea del inversor en función de los
interruptores de las fases como:
IV. E QUIVALENCIA EN VECTORES ESPACIALES 2
−
→ 2π 4π
Tomando en cuenta que los interruptores del mismo ramal vii = (Swa + ej 3 Swb + ej 3 Swc wa ) VDC
3
operan de manera complementaria entre si, esto lo hacen con el
objetivo de evitar cortocircuitos sobre la fuente que lo alimenta 2 4π 2π 4π
= (1 − ej 3 ) (Swa ) + ej 3 Swb + ej 3 Swc ) Ec.3
, para este caso es de corriente continua . 3
Utilizando el resultado de la expresión 2 y la ecuación 3,
Sw4 = Sw1 se puede obtener el vector espacial de tensión aplicado por
el inversor en función del estado del interruptor de cada fase
Sw6 = Sw3 como:
−→− 2 2π 4π
vf n = (Swa + ej 3 Swb + ej 3 Swc ) VDC
Sw2 = Sw5 3
En la tabla siguiente presentan los vectores espaciales
Se pueden redefinir los interruptores de la figura 1, en
obtenidos con el inversor trifásico para cada una de las posibles
función de las fases del sistema trifásico como:
combinaciones de los interruptores:
−→
−
Swa Swb Swc vf n
0 0 0 0
π
0 0 1 − 2
V
3 DC
ej 3
π
0 1 0 − 2
V
3 DC
ej 3
2
0 1 1 − V
3 DC
2
1 0 0 V
3 DC
π
1 0 1 2
V
3 DC
e−j 3
Figure 5. Esquema del inversor trifásico con operación complementaria de
π
interruptores [1] 1 1 0 2
V
3 DC
ej 3
1 1 1 0
La equivalencia de Swx igual a "1" corresponde al encen- Table I
dido del interruptor superior de la rama "x" y "0" corresponde VECTORES ESPACIALES EN EL INVERSOR [1]
al encendido del interruptor inferior de la rama. Por lo que se

4. 4
Se puede calcular la tensión fase neutro aplicada por el
inversor a la carga a partir del vector espacial como:
−→
− 2 1
e(vf n) = (va (t) − ((va (t) + (vc (t)))
3 2
Como el sistema no posee neutro conectado, se tiene que:
va (t) + vb (t) + vc (t) = 0 Ec.4
va (t) = −(vb (t) + vc (t)) Ec.5
Figure 7. Tensiones fase neutro del inversor trifásico [1]
Sustituyendo el resultado de la expresión 5 en la ecuación
4, se obtiene:
2 −→
−
va (t) = e(vf n)
3
4π
Si rotamos el vector espacial de la expresión 5 en ej 3
, y aplicando un procedimiento análogo al utilizado para la
expresión anterior, se obtiene:
 
va (t)
−→
− 2 4π 2π
vf n = ej 3 1 ej 3  vb (t)  =
3
vc (t) Figure 9. Estrella[1]
2 −→ 4π
−
vb (t) = e(vf nej 3 )) B. Carga
3
En la figura 4, se presenta el modelo trifásico equilibrado
De la ecuación 4, se obtiene el valor de vc(t) como: de una carga activa y/o pasiva conectada en delta y estrella
vc (t) = (va(t) + vb(t)) en bornes del inversor. El modelo en vectores espaciales del
inversor y la carga se puede expresar como:
−→
− →
−
vf n = k → + [Z(p) − M (p)] i
−e Ec.5
donde:
−→
− 2 2π 4π t
vf n = 1 ej 3 ej 3 Swa Swb Swc
3
→=
− 2 2π 4π t
e 1 ej 3 ej 3 v1(t) v2(t) v3(t)
3
d
p=
dt
Figure 6. Tensión espacial del inversor trifásico [1]
En la figura 7, se presentan la tensión fase neutro generada
por el inversor para la opción de conmutación .
Coeficientes de Fourier de la tensión fase neutro de la figura
3.
2VDC nπ nπ Figure 8. Delta [1]
vn,1−n = (2 + cos( ) − cos( ))
3nπ 3 3
En la tabla 2, se muestran los valores de la impedancia
n = 1, 5, 7, 11, 13, .... operacional Z(p) y M(p) de la expresión 5 para los elementos
resistivos, inductivos y capacitivos.

5. 5
Elemento ky Zy(p) My(p) k Z (p) M (p)
−j π
V. C ONCLUCIONES
e 6 R
Resistencia 1 R 0 √ 0
−j
3
π
3 Para este caso se ha utilizado la representacion de vectores
e√ 6 L M
Inductancia 1 Lp Mp
3 3
p 3
p espaciales para un circuito inversor trifásico de tensión, este
−j π
Capacitancia 1 1
0 e√ 6 1
0 convertidor es utilizado en las mayorías de las aplicaciones
cp 3 3Cp
en la industria hoy en dia , estos requieren un control preciso
Table II
I MPEDANCIAS OPERACIONALES EN CONEXIÓN ESTRELLA Y DELTA[1]
del flujo bidireccional de potencia entre los lados de alterna
y/o continua. Lo que se trata de hacer con estas tecnicas
es desarrollar formas eficientes de control, de este puente,
con una disminución de la carga computacional del micro-
En la figura 6, se presenta el vector espacial de tensión procesador, baja inyección de contenido armónico al sistema,
y corriente en porcentaje de su valor pico, para una carga reducción de las pérdidas de conmutación y de la interferencia
resistiva inductiva conecta en estrella de 60W y 223mH, electromagnética y una alta flexibilidad en la selección de la
alimentada desde una fuente de corriente continua de 100V. estrategia de modulación utilizando en hardware tradicional de
control.
En este articulo los fundamentos de la modulacion por
vector espacial , y varios esquemas de suicheo efectuando un
compendio del desempeño de los mismos ante contenidos de
armonicos ,perdidas de suicheo y rizado de corriente . De
igual modo se mostrò algunos de los requerimientos para la
implementacion de los esquemas de suicheo . Los resultados
undican que para aplicacion a baja frecuencia y alta potencia ,
como lo es tipicamente en el caso de convertidores de potencia
conectados a empresas de suministros .
VI. B IBLIOGRAFÌA
• [1] Texto virtual : ELECTRÓNICA DE
Figure 10. Vector espacial de tensión y corriente en la carga RL[1] POTENCIA.-Aspectos Generales y Convertidores
Electrónicos. Alexander Bueno Montilla
http://prof.usb.ve/bueno/E_Potencia/Guia/Electronica_Potencia.pdf
• [2] http://www.multilingualarchive.com/ma/enwiki/es/Vector.
• [3] http://www.fglongatt.org.ve/Reportes/RPT2004-
04.pdf
• [4] http://www.geoan.com/analitica/vectores/vectores_espacio
Figure 11. Tensión y corriente en la fase "a" de la carga RL[1]
En la figura 8, se presenta el espectro armónico de la tensión
y corriente de la fase "a" en porcentaje de la componente
fundamental.
Figure 12. Espectro armónico de tensión y corriente en la fase "a" de la
carga RL[1]