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PROGRAMACIÓN DINÁMICA
EMPLEANDO EL MÉTODO DE
MATRICES COMPUTACIONALES
M.C ADRIANA NIETO CASTELLANOS
INSTITUTO TECNOLOGICO DE TEHUACAN
OCTUBRE 2011
2. ASIGNACIÓN DE RECURSOS
Una financiera tiene 6,000 euros para invertir entre tres posibles alternativas de inversión. Esta
puede invertir el dinero en partes, todo o nada de los 6,000 euros en cada proyecto de
inversión. Se tiene como limitante el invertir solo en unidades de mil euros, la ganancia
esperada de una inversión depende de la cantidad de dinero asignada a esta. Esta información
está dada en la Tabla 1. Al inversionista le gustaría asignar su dinero de tal forma que maximice
su ingreso total.
Tabla 1 PROYECTOS
Cantidad invertida € A B C
0 0 0 0
1,000€ 9 10 9
2,000€ 16 13 13
3,000€ 23 16 17
4,000€ 30 19 21
5,000€ 37 22 25
6,000€ 44 25 29
*Retornos en miles de euros = r(Xn)
Cada uno de los valores representa el ingreso sobre la cantidad invertida.
Tabla 1 Retornos* esperados por invertir diversas cantidades compitiendo en proyectos de
capital
3. 1) ETAPAS DE LA EVOLUCIÓN DEL SISTEMA
Tenemos un problema de tipo determinístico, no homogéneo, con
horizonte finito es decir el número de etapas está limitado a las
tres alternativas de inversión así podemos definir las etapas:
ETAPA PROYECTOS
n=3 A
n=2 B
n=1 C
4. 2) ESTADOS DEL SISTEMA
El elemento determinante para saber qué cantidad podemos invertir en
un proyecto, es la cantidad de dinero disponible. Esta variable será,
entonces, una buena candidata a variable de estado del sistema. De
manera que tenemos los estados siguientes:
Estado Cantidad disponible a invertir
e=0 No se invierte 0€
e=1 Se invierten: 1000€
e=2 Se invierten: 2000€
e=3 Se invierten: 3000€
e=4 Se invierten: 4000€
e=5 Se invierten: 5000€
e=6 Se invierten: 6000€
5. 3) Variables de decisión y políticas
La decisión a tomar en cada etapa es claramente qué cantidad de dinero
podemos invertir a cada proyecto.
Así la variable de decisión se definirá para cada etapa n como:
Xn= cantidad de dinero a invertir en el proyecto propio de la etapa n
Valor variable
de estado e
Valores posibles de la variable de decisión Xn
e=0 x0= 0
e=1 x1= 0, 1000
e=2 x2= 0, 1000, 2000
e=3 x3= 0, 1000, 2000, 3000
e=4 x4= 0, 1000, 2000, 3000, 4000
e=5 x5= 0, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000
e=6 x6= 0, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000
PASAR LOS DATOS A UNA TABLA DE DOS ENTRADAS
6. Etapa 3 proyecto A
Elaborar una TABLA que contenga los estados del sistema e3 y se colocan
como entrada
e3
0 NF NF NF NF NF NF
1000 NF NF NF NF NF
2000 NF NF NF NF
3000 NF NF NF
4000 NF NF
5000 NF
6000
ETAPA n=3: CANTIDAD INVERTIDA EN EL PROYECTO C
7. Los posibles valores de las variables de decisión X3 y se colocan como
otra entrada de la tabla
X3
e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0 NF NF NF NF NF NF
1000 NF NF NF NF NF
2000 NF NF NF NF
3000 NF NF NF
4000 NF NF
5000 NF
6000
ETAPA n=3: CANTIDAD INVERTIDA EN EL PROYECTO C
8. 4) FUNCIÓN DE RECURRENCIA
Si tenemos disponible en cantidad de dinero
y decidimos invertirlo al proyecto Xn,
en-xn cantidad de dinero disponible para la etapa siguiente
quedará.
La función de recurrencia será:
fn(en, xn) = rn(xn) + f*n+1(en - xn)
fn Representa el rendimiento obtenido por la inversión de dinero
al un proyecto desde la etapa n hasta la última etapa.
La función óptima será el máximo para cada estado
9. Etapa 3 proyecto A
f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)=
r3(x3) Retorno actual en miles de euros para el proyecto C
PROYECTO
Cantidad
A
invertida €
0 0
1) Registrar r3(x3) en la
1,000€ 9
tabla de dos entradas
2,000€ 16
3,000€ 23
por columna
4,000€ 30
5,000€ 37
6,000€ 44
Cada uno de los valores representa el ingreso
sobre la cantidad invertida.
10. Etapa 3 proyecto A
f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3), r3(x3) Registrar el retorno de la etapa C
Cantidad invertida € C r3(x3)
0 0
X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)=
e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF
1000 (0+ ) NF NF NF NF NF
2000 (0+ ) NF NF NF NF
3000 (0+ ) NF NF NF
4000 (0+ ) NF NF
5000 (0+ ) NF
6000 (0+ )
11. Etapa 3 proyecto A
f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3), r3(x3) Registrar el retorno de la etapa C
Cantidad invertida € C r3(x3)
1000 9
X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)=
e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF
1000 (0+ ) (9 + ) NF NF NF NF NF
2000 (0+ ) (9 + ) NF NF NF NF
3000 (0+ ) (9 + ) NF NF NF
4000 (0+ ) (9 + ) NF NF
5000 (0+ ) (9 + ) NF
6000 (0+ ) (9 + )
12. Etapa 3 proyecto A
f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3), r3(x3) Registrar el retorno de la etapa C
Cantidad invertida € C r3(x3)
2000 16
X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)=
e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF
1000 (0+ ) (9 + ) NF NF NF NF NF
2000 (0+ ) (9 + ) (16+ ) NF NF NF NF
3000 (0+ ) (9 + ) (16+ ) NF NF NF
4000 (0+ ) (9 + ) (16+ ) NF NF
5000 (0+ ) (9 + ) (16+ ) NF
6000 (0+ ) (9 + ) (16+ )
13. Etapa 3 proyecto A
f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3), r3(x3) Registrar el retorno de la etapa C
Cantidad invertida € C r3(x3)
3000 23
X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)=
e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF
1000 (0+ ) (9 + ) NF NF NF NF NF
2000 (0+ ) (9 + ) (16+ ) NF NF NF NF
3000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) NF NF NF
4000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) NF NF
5000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) NF
6000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + )
14. Etapa 3 proyecto A
f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3), r3(x3) Registrar el retorno de la etapa C
Cantidad invertida € C r3(x3)
4000 30
X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)=
e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF
1000 (0+ ) (9 + ) NF NF NF NF NF
2000 (0+ ) (9 + ) (16+ ) NF NF NF NF
3000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) NF NF NF
4000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) (30 + ) NF NF
5000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) (30 + ) NF
6000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) (30 + )
15. Etapa 3 proyecto A
f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3), r3(x3) Registrar el retorno de la etapa C
Cantidad invertida € C r3(x3)
5000 37
X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)=
e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF
1000 (0+ ) (9 + ) NF NF NF NF NF
2000 (0+ ) (9 + ) (16+ ) NF NF NF NF
3000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) NF NF NF
4000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) (30 + ) NF NF
5000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) (30 + ) (37 + ) NF
6000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) (30 + ) (37 + )
16. Etapa 3 proyecto A
f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3), r3(x3) Registrar el retorno de la etapa C
Cantidad invertida € C r3(x3)
6000 44
X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)=
e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF
1000 (0+ ) (9 + ) NF NF NF NF NF
2000 (0+ ) (9 + ) (16+ ) NF NF NF NF
3000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) NF NF NF
4000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) (30 + ) NF NF
5000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) (30 + ) (37 + ) NF
6000 (0+ ) (9 + ) (16 + ) (23 + ) (30 + ) (37 + ) (44 + )
17. Al termino de la etapa 3, f3(e3, x3) = r3(x3) + f(3+1)*(e3 – x3)
f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)
alcanza el estado final, f4*(X3)= 0 (cero cantidad de dinero a invertir).
2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f4*= 0 Y EVALUAR LA FUNCIÓN f3(e3)
X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)=
e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0 (0+ 0) NF NF NF NF NF NF
1000 (0+ 0) (9 + 0) NF NF NF NF NF
2000 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) NF NF NF NF
3000 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) NF NF NF
4000 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0) NF NF
5000 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0) (37 +0 ) NF
6000 (0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0) (37 +0 ) (44 +0 )
18. Etapa 3 proyecto A
3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA
La función óptima será el máximo para cada estado
X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= Óptima
e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f3*(e3) x3*
(0+ 0)
0 NF NF NF NF NF NF 0 0
0
(0+ 0) (9 + 0)
1000 NF NF NF NF NF
0 9
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0)
2000 NF NF NF NF
0 9 16
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0)
3000 NF NF NF
0 9 16 23
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0)
4000 NF NF
0 9 16 23 30
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 )
5000 NF
0 9 16 23 30 37
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) (44 +0 )
6000
0 9 16 23 30 37 44
19. Etapa 3 proyecto A
3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA
La función óptima será el máximo para cada estado
X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= Óptima
e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f3*(e3) x3*
(0+ 0)
0 NF NF NF NF NF NF 0 0
0
(0+ 0) (9 + 0)
1000 NF NF NF NF NF 9 1000
0 9
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0)
2000 NF NF NF NF
0 9 16
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0)
3000 NF NF NF
0 9 16 23
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0)
4000 NF NF
0 9 16 23 30
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 )
5000 NF
0 9 16 23 30 37
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) (44 +0 )
6000
0 9 16 23 30 37 44
20. Etapa 3 proyecto A
3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA
La función óptima será el máximo para cada estado
X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= Óptima
e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f3*(e3) x3*
(0+ 0)
0 NF NF NF NF NF NF 0 0
0
(0+ 0) (9 + 0)
1000 NF NF NF NF NF 9 1000
0 9
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0)
2000 NF NF NF NF 16 2000
0 9 16
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0)
3000 NF NF NF
0 9 16 23
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0)
4000 NF NF
0 9 16 23 30
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 )
5000 NF
0 9 16 23 30 37
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) (44 +0 )
6000
0 9 16 23 30 37 44
21. Etapa 3 proyecto A
3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA
La función óptima será el máximo para cada estado
X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= Óptima
e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f3*(e3) x3*
(0+ 0)
0 NF NF NF NF NF NF 0 0
0
(0+ 0) (9 + 0)
1000 NF NF NF NF NF 9 1000
0 9
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0)
2000 NF NF NF NF 16 2000
0 9 16
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0)
3000 NF NF NF 23 3000
0 9 16 23
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0)
4000 NF NF
0 9 16 23 30
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 )
5000 NF
0 9 16 23 30 37
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) (44 +0 )
6000
0 9 16 23 30 37 44
22. Etapa 3 proyecto A
3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA
La función óptima será el máximo para cada estado
X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= Óptima
e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f3*(e3) x3*
(0+ 0)
0 NF NF NF NF NF NF 0 0
0
(0+ 0) (9 + 0)
1000 NF NF NF NF NF 9 1000
0 9
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0)
2000 NF NF NF NF 16 2000
0 9 16
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0)
3000 NF NF NF 23 3000
0 9 16 23
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0)
4000 NF NF 30 4000
0 9 16 23 30
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 )
5000 NF
0 9 16 23 30 37
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) (44 +0 )
6000
0 9 16 23 30 37 44
23. Etapa 3 proyecto A
3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA
La función óptima será el máximo para cada estado
X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= Óptima
e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f3*(e3) x3*
(0+ 0)
0 NF NF NF NF NF NF 0 0
0
(0+ 0) (9 + 0)
1000 NF NF NF NF NF 9 1000
0 9
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0)
2000 NF NF NF NF 16 2000
0 9 16
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0)
3000 NF NF NF 23 3000
0 9 16 23
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0)
4000 NF NF 30 4000
0 9 16 23 30
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 )
5000 NF 37 5000
0 9 16 23 30 37
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) (44 +0 )
6000
0 9 16 23 30 37 44
24. Etapa 3 proyecto A
3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA
La función óptima será el máximo para cada estado
X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= Óptima
e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f3*(e3) x3*
(0+ 0)
0 NF NF NF NF NF NF 0 0
0
(0+ 0) (9 + 0)
1000 NF NF NF NF NF 9 1000
0 9
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0)
2000 NF NF NF NF 16 2000
0 9 16
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0)
3000 NF NF NF 23 3000
0 9 16 23
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) (30 +0)
4000 NF NF 30 4000
0 9 16 23 30
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 )
5000 NF 37 5000
0 9 16 23 30 37
(0+ 0) (9 + 0) (16+ 0) (23 + 0) 30 +0) (37 +0 ) (44 +0 )
6000 44 6000
0 9 16 23 30 37 44
25. Etapa 3 proyecto A
Ya hemos asignamos todos los proyectos que estén disponibles en este
momento de tal manera que f3(e3, x3) = r3(x3)
X3 f3(e3) = r3(x3) + f4*(e3 –x3)= Óptima
e3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f3*(e3) x3*
(0+ 0)
0 NF NF NF NF NF NF 0 0
0
(9 + 0)
1000 NF NF NF NF NF 9 1000
9
(16+ 0)
2000 NF NF NF NF 16 2000
16
(23 + 0)
3000 NF NF NF 23 3000
23
(30 +0)
4000 NF NF 30 4000
30
(37 +0 )
5000 NF 37 5000
37
(44 +0 )
6000 44 6000
44
26. Etapa 3 proyecto A
Ya hemos asignamos todos los proyectos que estén disponibles en este
momento de tal manera que f3(e3, x3) = r3(x3)
X3 Óptima
f3(e3) = r3(x3) + 0
e3 f3*(e3) x3*
0 (0+0)= 0 0 0
1000 (9 + 0)= 9 9 1000
2000 (16+ 0)= 16 16 2000
3000 (23 + 0)= 23 23 3000
4000 (30 + 0)=30 30 4000
5000 (37 + 0)=37 37 5000
6000 (44 + 0)=44 44 6000
27. En la etapa 3, El proyecto A, es el último proyecto en el que será
invertido el dinero.
Podemos entrar a esta etapa con una cantidad de dinero desde 0€
a 6000€. Esto se observa por los siete renglones representando los
siete posibles estados de entrada.
En teoría, podemos invertir cualquier cantidad de dinero menor o
igual que la cantidad que tenemos disponible en esta etapa.
En realidad, se desea invertir todo el dinero disponible en esta
etapa, porque ésta es nuestra última oportunidad de inversión.
Puesto que NO es posible invertir más dinero que el disponible,
habrá un número de celdas no factibles en la matriz que se marcan
con NF.(NO FACTIBLE)
28. Etapa 2 proyecto B
f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)=
r2(x2) Retorno actual en miles de euros para el proyecto B
PROYECTO
Cantidad
B
invertida €
0 0
1) Registrar r2(x2) en la
1,000€ 10
tabla de dos entradas
2,000€ 13 por columna
3,000€ 16
4,000€ 19
5,000€ 22
6,000€ 25
Cada uno de los valores representa el
ingreso sobre la cantidad invertida.
29. Etapa 2 proyecto B
f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2), r2(x2) Registrar el retorno de la etapa B
Cantidad invertida € B r2(x2)
0 0
X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)=
e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF
1000 (0+ ) NF NF NF NF NF
2000 (0+ ) NF NF NF NF
3000 (0+ ) NF NF NF
4000 (0+ ) NF NF
5000 (0+ ) NF
6000 (0+ )
30. Etapa 2 proyecto B
f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2), r2(x2) Registrar el retorno de la etapa B
Cantidad invertida € B r2(x2)
1000 10
X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)=
e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF
1000 (0+ ) (10 + ) NF NF NF NF NF
2000 (0+ ) (10 + ) NF NF NF NF
3000 (0+ ) (10 + ) NF NF NF
4000 (0+ ) (10 + ) NF NF
5000 (0+ ) (10 + ) NF
6000 (0+ ) (10 + )
31. Etapa 2 proyecto B
f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2), r2(x2) Registrar el retorno de la etapa B
Cantidad invertida € B r2(x2)
2000 13
X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)=
e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF
1000 (0+ ) (10 + ) NF NF NF NF NF
2000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) NF NF NF NF
3000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) NF NF NF
4000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) NF NF
5000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) NF
6000 (0+ ) (10 + ) (13+ )
32. Etapa 2 proyecto B
f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2), r2(x2) Registrar el retorno de la etapa B
Cantidad invertida € B r2(x2)
3000 16
X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)=
e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF
1000 (0+ ) (10 + ) NF NF NF NF NF
2000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) NF NF NF NF
3000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) NF NF NF
4000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) NF NF
5000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) NF
6000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ )
33. Etapa 2 proyecto B
f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2), r2(x2) Registrar el retorno de la etapa B
Cantidad invertida € B r2(x2)
4000 19
X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)=
e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF
1000 (0+ ) (10 + ) NF NF NF NF NF
2000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) NF NF NF NF
3000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) NF NF NF
4000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) (19 + ) NF NF
5000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) (19 + ) NF
6000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) (19 + )
34. Etapa 2 proyecto B
f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2), r2(x2) Registrar el retorno de la etapa B
Cantidad invertida € B r2(x2)
5000 22
X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)=
e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF
1000 (0+ ) (10 + ) NF NF NF NF NF
2000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) NF NF NF NF
3000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) NF NF NF
4000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) (19 + ) NF NF
5000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) (19 + ) (22 + ) NF
6000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16+ ) (19 + ) (22 + )
35. Etapa 2 proyecto B
f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2), r2(x2) Registrar el retorno de la etapa B
Cantidad invertida € B r2(x2)
6000 25
X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)=
e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0 (0+ ) NF NF NF NF NF NF
1000 (0+ ) (10 + ) NF NF NF NF NF
2000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) NF NF NF NF
3000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) NF NF NF
4000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) (19 + ) NF NF
5000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) (19 + ) (22 + ) NF
6000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) (19 + ) (22 + ) (25 + )
36. Al termino de la etapa 2, f2(e2, x2) = r2(x2) + f(2+1)*(e2 – x2)
f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)
alcanza el estado final, f3*(X3)= cantidad de dinero a invertir de la etapa anterior
2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f3*= (0,0) (9,1000) (16,2000) (23, 3000)
(30,4000) (37, 5000) (44,6000) y evaluar f2(e2)
X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)=
e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0 (0+ 0) NF NF NF NF NF NF
1000 (0+ ) (10 +0) NF NF NF NF NF
2000 (0+ ) (10 + ) (13+0) NF NF NF NF
3000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + 0) NF NF NF
4000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) (19 + 0) NF NF
5000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) (19 + ) (22 +0) NF
6000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) (19 + ) (22 + ) (25 +0)
37. Al termino de la etapa 2, f2(e2, x2) = r2(x2) + f(2+1)*(e2 – x2)
f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)
alcanza el estado final, f3*(X3)= cantidad de dinero a invertir de la etapa anterior
2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f3*= (0,0) (9,1000) (16,2000) (23, 3000)
(30,4000) (37, 5000) (44,6000) y evaluar f2(e2)
X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)=
e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0 (0+ 0) NF NF NF NF NF NF
1000 (0+9) (10 +0) NF NF NF NF NF
2000 (0+ ) (10 +9) (13+0) NF NF NF NF
3000 (0+ ) (10 + ) (13+9) (16 +0) NF NF NF
4000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 +9) (19 +0) NF NF
5000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) (19 +9) (22 +0) NF
6000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) (19 + ) (22 +9) (25 +0)
38. Al termino de la etapa 2, f2(e2, x2) = r2(x2) + f(2+1)*(e2 – x2)
f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)
alcanza el estado final, f3*(X3)= cantidad de dinero a invertir de la etapa anterior
2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f3*= (0,0) (9,1000) (16,2000) (23, 3000)
(30,4000) (37, 5000) (44,6000) y evaluar f2(e2)
X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)=
e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0 (0+ 0) NF NF NF NF NF NF
1000 (0+9) (10 +0) NF NF NF NF NF
2000 (0+16) (10 +9) (13+0) NF NF NF NF
3000 (0+ ) (10 +16) (13+9) (16 +0) NF NF NF
4000 (0+ ) (10 + ) (13+16) (16 +9) (19+0) NF NF
5000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 +16) (19 +9) (22 +0) NF
6000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 + ) (19 +16) (22 +9) (25 +0)
39. Al termino de la etapa 2, f2(e2, x2) = r2(x2) + f(2+1)*(e2 – x2)
f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)
alcanza el estado final, f3*(X3)= cantidad de dinero a invertir de la etapa anterior
2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f3*= (0,0) (9,1000) (16,2000) (23, 3000)
(30,4000) (37, 5000) (44,6000) y evaluar f2(e2)
X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)=
e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0 (0+ 0) NF NF NF NF NF NF
1000 (0+9) (10 +0) NF NF NF NF NF
2000 (0+16) (10 +9) (13+0) NF NF NF NF
3000 (0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0) NF NF NF
4000 (0+ ) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0) NF NF
5000 (0+ ) (10 + ) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0) NF
6000 (0+ ) (10 + ) (13+ ) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0)
40. Al termino de la etapa 2, f2(e2, x2) = r2(x2) + f(2+1)*(e2 – x2)
f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)
alcanza el estado final, f3*(X3)= cantidad de dinero a invertir de la etapa anterior
2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f3*= (0,0) (9,1000) (16,2000) (23, 3000)
(30,4000) (37, 5000) (44,6000) y evaluar f2(e2)
f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)=
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0 (0+ 0) NF NF NF NF NF NF
1000 (0+9) (10 +0) NF NF NF NF NF
2000 (0+16) (10 +9) (13+0) NF NF NF NF
3000 (0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0) NF NF NF
4000 (0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0) NF NF
5000 (0+ ) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0) NF
6000 (0+ ) (10 + ) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0)
41. Al termino de la etapa 2, f2(e2, x2) = r2(x2) + f(2+1)*(e2 – x2)
f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)
alcanza el estado final, f3*(X3)= cantidad de dinero a invertir de la etapa anterior
2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f3*= (0,0) (9,1000) (16,2000) (23, 3000)
(30,4000) (37, 5000) (44,6000) y evaluar f2(e2)
X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)=
e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0 (0+ 0) NF NF NF NF NF NF
1000 (0+9) (10 +0) NF NF NF NF NF
2000 (0+16) (10 +9) (13+0) NF NF NF NF
3000 (0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0) NF NF NF
4000 (0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0) NF NF
5000 (0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0) NF
6000 (0+ ) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0)
42. Al termino de la etapa 2, f2(e2, x2) = r2(x2) + f(2+1)*(e2 – x2)
f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)
alcanza el estado final, f3*(X3)= cantidad de dinero a invertir de la etapa anterior
2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f3*= (0,0) (9,1000) (16,2000) (23, 3000)
(30,4000) (37, 5000) (44,6000) y evaluar f2(e2)
X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)=
e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0 (0+ 0) NF NF NF NF NF NF
1000 (0+9) (10 +0) NF NF NF NF NF
2000 (0+16) (10 +9) (13+0) NF NF NF NF
3000 (0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0) NF NF NF
4000 (0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0) NF NF
5000 (0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0) NF
6000 (0+44) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0)
43. Al termino de la etapa 2, f2(e2, x2) = r2(x2) + f(2+1)*(e2 – x2)
f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)
alcanza el estado final, f3*(X3)= cantidad de dinero a invertir de la etapa anterior
2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f3*= (0,0) (9,1000) (16,2000) (23, 3000)
(30,4000) (37, 5000) (44,6000) y evaluar f2(e2)
X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)=
e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
(0+ 0)
0 0
NF NF NF NF NF NF
(0+9) (10 +0)
1000 9 10
NF NF NF NF NF
(0+16) (10 +9) (13+0)
2000 16 19 13
NF NF NF NF
(0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0)
3000 23 26 22 16
NF NF NF
(0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0)
4000 30 33 29 25 19
NF NF
(0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0)
5000 37 40 26 32 28 22
NF
(0+44) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0)
6000 44 47 39 39 35 31 25
44. Etapa 2 proyecto B
3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA
La función óptima será el máximo para cada estado
X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= Óptima
e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f2*(e2) x2*
(0+ 0)
0 0
NF NF NF NF NF NF 0 0
(0+9) (10 +0)
1000 9 10
NF NF NF NF NF
(0+16) (10 +9) (13+0)
2000 16 19 13
NF NF NF NF
(0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0)
3000 23 26 22 16
NF NF NF
(0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0)
4000 30 33 29 25 19
NF NF
(0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0)
5000 37 40 26 32 28 22
NF
(0+44) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0)
6000 44 47 39 39 35 31 25
45. Etapa 2 proyecto B
3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA
La función óptima será el máximo para cada estado
X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= Óptima
e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f2*(e2) x2*
(0+ 0)
0 0
NF NF NF NF NF NF 0 0
(0+9) (10 +0)
1000 9 10
NF NF NF NF NF 10 1000
(0+16) (10 +9) (13+0)
2000 16 19 13
NF NF NF NF
(0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0)
3000 23 26 22 16
NF NF NF
(0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0)
4000 30 33 29 25 19
NF NF
(0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0)
5000 37 40 26 32 28 22
NF
(0+44) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0)
6000 44 47 39 39 35 31 25
46. Etapa 2 proyecto B
3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA
La función óptima será el máximo para cada estado
X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= Óptima
e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f2*(e2) x2*
(0+ 0)
0 0
NF NF NF NF NF NF 0 0
(0+9) (10 +0)
1000 9 10
NF NF NF NF NF 10 1000
(0+16) (10 +9) (13+0)
2000 16 19 13
NF NF NF NF 19 1000
(0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0)
3000 23 26 22 16
NF NF NF
(0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0)
4000 30 33 29 25 19
NF NF
(0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0)
5000 37 30 26 32 28 22
NF
(0+44) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0)
6000 44 47 39 39 35 31 25
47. Etapa 2 proyecto B
3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA
La función óptima será el máximo para cada estado
X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= Óptima
e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f2*(e2) x2*
(0+ 0)
0 0
NF NF NF NF NF NF 0 0
(0+9) (10 +0)
1000 9 10
NF NF NF NF NF 9 1000
(0+16) (10 +9) (13+0)
2000 16 19 13
NF NF NF NF 19 1000
(0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0)
3000 23 26 22 16
NF NF NF 26 1000
(0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0)
4000 30 33 29 25 19
NF NF
(0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0)
5000 37 40 26 32 28 22
NF
(0+44) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0)
6000 44 47 39 39 35 31 25
48. Etapa 2 proyecto B
3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA
La función óptima será el máximo para cada estado
X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= Óptima
e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f2*(e2) x2*
(0+ 0)
0 0
NF NF NF NF NF NF 0 0
(0+9) (10 +0)
1000 9 10
NF NF NF NF NF 9 1000
(0+16) (10 +9) (13+0)
2000 16 19 13
NF NF NF NF 19 1000
(0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0)
3000 23 26 22 16
NF NF NF 26 1000
(0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0)
4000 30 33 29 25 19
NF NF 33 1000
(0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0)
5000 37 40 26 32 28 22
NF
(0+44) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0)
6000 44 47 39 39 35 31 25
49. Etapa 2 proyecto B
3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA
La función óptima será el máximo para cada estado
X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= Óptima
e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f2*(e2) x2*
(0+ 0)
0 0
NF NF NF NF NF NF 0 0
(0+9) (10 +0)
1000 9 10
NF NF NF NF NF 9 1000
(0+16) (10 +9) (13+0)
2000 16 19 13
NF NF NF NF 19 1000
(0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0)
3000 23 26 22 16
NF NF NF 26 1000
(0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0)
4000 30 33 29 25 19
NF NF 33 1000
(0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0)
5000 37 40 26 32 28 22
NF 40 1000
(0+44) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0)
6000 44 47 39 39 35 31 25
50. Etapa 2 proyecto B
3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA
La función óptima será el máximo para cada estado
X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(e2 –x2)= Óptima
e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f2* (e2) x2*
(0+ 0)
0 0
NF NF NF NF NF NF 0 0
(0+9) (10 +0)
1000 9 10
NF NF NF NF NF 9 1000
(0+16) (10 +9) (13+0)
2000 16 19 13
NF NF NF NF 19 1000
(0+ 23) (10 +16) (13+9) (16 +0)
3000 23 26 22 16
NF NF NF 26 1000
(0+30) (10 +23) (13+16) (16 +9) (19+0)
4000 30 33 29 25 19
NF NF 33 1000
(0+37) (10 +30) (13+23) (16 +16) (19 +9) (22 +0)
5000 37 40 26 32 28 22
NF 40 1000
(0+44) (10 +37) (13+30) (16 +23) (19 +16) (22 +9) (25 +0)
6000 44 47 39 39 35 31 25 47 1000
51. Etapa 2 proyecto B
3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA
La función óptima será el máximo para cada estado
X2 Óptima
e2 f2* (e2) x2*
0 0* 0
1000 9* 1000
2000 19* 1000
3000 26* 1000
4000 33* 1000
5000 40* 1000
6000 47* 1000
52. Etapa 1 proyecto C
f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)=
r1(x1) Retorno actual en miles de euros para el proyecto B
PROYECTO
Cantidad
C
invertida €
0 0
1,000€ 9 1) Registrar r1(x1) en la
2,000€ 13
tabla de dos entradas
por columna
3,000€ 17
4,000€ 21
5,000€ 25
6,000€ 29
Cada uno de los valores representa el ingreso
sobre la cantidad invertida.
53. Etapa 1 proyecto A
f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A
Cantidad invertida € A r1(x1)
0 0
X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)=
e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
6000 (0+ )
0 0 X2 Óptima
e2 f2* (e2) x2*
1,000€ 9
0 0* 0
2,000€ 13 1000 9* 1000
3,000€ 17 2000 19* 1000
4,000€ 21 3000 26* 1000
5,000€ 25 4000 33* 1000
5000 40* 1000
6,000€ 29
6000 47* 1000
54. Etapa 1 proyecto A
f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A
Cantidad invertida € A r1(x1)
1000 9
X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)=
e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
6000 (0+ ) (9+ )
0 0
1,000€ 9
2,000€ 13
3,000€ 17
4,000€ 21
5,000€ 25
6,000€ 29
55. Etapa 1 proyecto A
f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A
Cantidad invertida € A r1(x1)
2000 13
X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)=
e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
6000 (0+ ) (9+ ) (13+ )
0 0
1,000€ 9
2,000€ 13
3,000€ 17
4,000€ 21
5,000€ 25
6,000€ 29
56. Etapa 1 proyecto A
f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A
Cantidad invertida € A r1(x1)
3000 17
X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)=
e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
6000 (0+ ) (9+ ) (13+ ) (17+ )
0 0
1,000€ 9
2,000€ 13
3,000€ 17
4,000€ 21
5,000€ 25
6,000€ 29
57. Etapa 1 proyecto A
f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A
Cantidad invertida € A r1(x1)
4000 21
X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)=
e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
6000 (0+ ) (9+ ) (13+ ) (17+ ) (21+ )
0 0
1,000€ 9
2,000€ 13
3,000€ 17
4,000€ 21
5,000€ 25
6,000€ 29
58. Etapa 1 proyecto A
f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A
Cantidad invertida € A r1(x1)
5000 25
X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)=
e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
6000 (0+ ) (9+ ) (13+ ) (17+ ) (21+ ) (25+ )
0 0
1,000€ 9
2,000€ 13
3,000€ 17
4,000€ 21
5,000€ 25
6,000€ 29
59. Etapa 1 proyecto A
f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A
Cantidad invertida € A r1(x1)
6000 29
X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)=
e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
6000 (0+ ) (9+ ) (13+ ) (17+ ) (21+ ) (25+ ) (29+ )
0 0
1,000€ 9
2,000€ 13
3,000€ 17
4,000€ 21
5,000€ 25
6,000€ 29
60. Etapa 1 proyecto A
f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A
2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f2*= (0,0) (9,1000) (19,1000) (26, 1000)
(33,4000) (40, 1000) (47, 1000) y evaluar f1(e1)
X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= Óptima
e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f1*(e1) x1 *
(0+ 47 )
6000 (9+ ) (13+ ) (17+ ) (21+ ) (25+ ) (29+ )
47
X2 Óptima
Al termino de la etapa 1,
e2 f2* (e2) x2*
f1(e1, x1) = r1(x1) + f(1+1)*(e1 – x1)
0 0* 0 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)
1000 9* 1000
alcanza el estado final,
2000 19* 1000
f2*(X2)= cantidad de dinero a
3000 26* 1000 invertir de la etapa anterior
4000 33* 1000
5000 40* 1000
6000 47* 1000
61. Etapa 1 proyecto A
f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A
2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f2*= (0,0) (9,1000) (19,1000) (26, 1000)
(33,4000) (40, 1000) (47, 1000) y evaluar f1(e1)
X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= Óptima
e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f1*(e1) x1 *
(0+ 47)
6000 (9+ 40) (13+ ) (17+ ) (21+ ) (25+ ) (29+ )
47
X2 Óptima
Al termino de la etapa 1,
e2 f2* (e2) x2*
f1(e1, x1) = r1(x1) + f(1+1)*(e1 – x1)
0 0* 0 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)
1000 9* 1000
alcanza el estado final,
2000 19* 1000
f2*(X2)= cantidad de dinero a
3000 26* 1000 invertir de la etapa anterior
4000 33* 1000
5000 40* 1000
6000 47* 1000
62. Etapa 1 proyecto A
f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A
2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f2*= (0,0) (9,1000) (19,1000) (26, 1000)
(33,4000) (40, 1000) (47, 1000) y evaluar f1(e1)
X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= Óptima
e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f1*(e1) x1 *
(0+ 47) (9+ 40) (13+33)
6000 (17+ ) (21+ ) (25+ ) (29+ )
47 49 48
X2 Óptima
Al termino de la etapa 1,
e2 f2* (e2) x2*
f1(e1, x1) = r1(x1) + f(1+1)*(e1 – x1)
0 0* 0 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)
1000 9* 1000
alcanza el estado final,
2000 19* 1000
f2*(X2)= cantidad de dinero a
3000 26* 1000 invertir de la etapa anterior
4000 33* 1000
5000 40* 1000
6000 47* 1000
63. Etapa 1 proyecto A
f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A
2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f2*= (0,0) (9,1000) (19,1000) (26, 1000)
(33,4000) (40, 1000) (47, 1000) y evaluar f1(e1)
X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= Óptima
e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f1*(e1) x1 *
(0+ 47) (9+ 40) (13+33) (17+26)
6000 (21+ ) (25+ ) (29+ )
47 49 48 45
X2 Óptima
Al termino de la etapa 1,
e2 f2* (e2) x2*
f1(e1, x1) = r1(x1) + f(1+1)*(e1 – x1)
0 0* 0 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)
1000 9* 1000
alcanza el estado final,
2000 19* 1000
f2*(X2)= cantidad de dinero a
3000 26* 1000 invertir de la etapa anterior
4000 33* 1000
5000 40* 1000
6000 47* 1000
64. Etapa 1 proyecto A
f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A
2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f2*= (0,0) (9,1000) (19,1000) (26, 1000)
(33,4000) (40, 1000) (47, 1000) y evaluar f1(e1)
X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= Óptima
e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f1*(e1) x1 *
(0+ 47) (9+ 40) (13+33) (17+26) (21+19)
6000 (25+ ) (29+ )
47 49 48 45 40
X2 Óptima
Al termino de la etapa 1,
e2 f2* (e2) x2*
f1(e1, x1) = r1(x1) + f(1+1)*(e1 – x1)
0 0* 0 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)
1000 9* 1000
alcanza el estado final,
2000 19* 1000
f2*(X2)= cantidad de dinero a
3000 26* 1000 invertir de la etapa anterior
4000 33* 1000
5000 40* 1000
6000 47* 1000
65. Etapa 1 proyecto A
f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A
2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f2*= (0,0) (9,1000) (19,1000) (26, 1000)
(33,4000) (40, 1000) (47, 1000) y evaluar f1(e1)
X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= Óptima
e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f1*(e1) x1 *
(0+ 47) (9+ 40) (13+33) (17+26) (21+19) (25+ 9)
6000 (29+ )
47 49 48 45 40 34
X2 Óptima
Al termino de la etapa 1,
e2 f2* (e2) x2*
f1(e1, x1) = r1(x1) + f(1+1)*(e1 – x1)
0 0* 0 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)
1000 9* 1000
alcanza el estado final,
2000 19* 1000
f2*(X2)= cantidad de dinero a
3000 26* 1000 invertir de la etapa anterior
4000 33* 1000
5000 40* 1000
6000 47* 1000
66. Etapa 1 proyecto A
f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1), r1(x1) Registrar el retorno de la etapa A
2) SUMAR EL ESTADO FUTURO ÓPTIMO f2*= (0,0) (9,1000) (19,1000) (26, 1000)
(33,4000) (40, 1000) (47, 1000) y evaluar f1(e1)
X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= Óptima
e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f1*(e1) x1 *
(0+ 47) (9+ 40) (13+33) (17+26) (21+19) (25+ 9) (29+0)
6000
47 49* 48 45 40 34 29
X2 Óptima
Al termino de la etapa 1,
e2 f2* (e2) x2* f1(e1, x1) = r1(x1) + f(1+1)*(e1 – x1)
0 0* 0 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)
1000 9* 1000
alcanza el estado final,
2000 19* 1000 f2*(X2)= cantidad de dinero a
3000 26* 1000 invertir de la etapa anterior
4000 33* 1000
5000 40* 1000
6000 47* 1000
67. Etapa 2 proyecto B
3) EVALUAR POR CADA ESTADO (FILA) LA CANTIDAD MAXIMA
La función óptima será el máximo para cada estado
X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1)= Óptima
e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f1*(e1) x1*
(0+ 47) (9+ 40) (13+33) (17+26) (21+19) (25+ 9) (29+0)
6000 49 1000
47 49* 48 45 40 34 29
f1(e1) = r1(x1) + f2*(e1 –x1); f1(e1) = 9 + f2*(6000 –1000)=
9 + f2*(5000)= _____
68. X1 f1(e1) = r1(x1) + f2*(6000–1000)=5000 Óptima
e1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f1*(e1) x1*
6000 47 49* 48 45 40 34 29 49* 1000
X2 f2(e2) = r2(x2) + f3*(5000 –1000)=4000 Óptima
e2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 f2*(e2) x2*
0 0 NF NF NF NF NF NF 0 0
1000 9 10 NF NF NF NF NF 9 1000
2000 16 19 13 NF NF NF NF 19 1000
3000 23 26 22 16 NF NF NF 26 1000
4000 30 33 29 25 19 NF NF 33 1000
5000 37 40* 26 32 28 22 NF 40* 1000
6000 44 47 39 39 35 31 25 47 1000
X3 Óptima
f3(e3) = r3(x3) + 0 TABLA DE LA SOLUCIÓN RECURSIVA
e3 f3*(e3) x3*
0 (0+0)= 0 0 0
1000 (9 + 0)= 9 9 1000 Etapa Inversión retorno
2000 (16+ 0)= 16 16 2000 A 4000 30
3000 (23 + 0)= 23 23 3000 B 1000 10
4000 (30 + 0)=30 30* 4000 C 1000 9
5000 (37 + 0)=37 37 5000 TOTAL 6000 49*
6000 (44 + 0)=44 44 6000