1. NIVELACIÓN
MATEMÁTICA
2014
1
ad
nid ros
U
m e l es
Nú na
c io
Ra

2. Proporcionalidad Directa e
Inversa
y
Problemas de Planteo

3. RECORDEMOS…
DEFINICIÓN



Una proporción es directa, cuando las variables
que están en juego aumentan o disminuyen en la
misma razón.
El cuociente entre estas cantidades es constante y
recibe el nombre de constante de proporcionalidad.
Su gráfica representa una línea recta.

4. EJEMPLO 1
Una lata de bebida cuesta 350 pesos. Tienes que comprar 10; por lo
tanto, necesitas 3500 pesos.
Con estos datos tenemos la siguiente tabla:
Cantidad de latas
Costo en dinero
1
350
2
700
3
1050
4
1400
5
1750
6
2100
7
2450
8
2800
9
3150
10
3500
Como se aprecia, tenemos dos variables
la cantidad de latas y el costo en dinero,
en ambas los valores aumentan.
El gráfico que describe el comportamiento
de las variables es el siguiente:

5. GRÁFICO

6. A partir de los datos de la tabla anterior determinemos el valor de la
Constante de proporcionalidad directa
(RECUERDA QUE PODEMOS CONFIRMARLO
costo en dinero
CON LA RAZÓN cantidad de latas O cantidad de latas )
costo en dinero
Cantidad de latas
Costo en dinero
Razón
(costo /cantidad)
Constante de
Proporcionalidad
1
350
350/1
350
2
700
700/2
350
3
1050
1050/3
350
4
1400
1400/4
350
5
1750
1750/5
350
6
2100
2100/6
350
7
2450
2450/7
350
8
2800
2800/8
350
9
3150
3150/9
350
10
3500
3500/10
350

7. EJEMPLO 2
Si un automóvil recorre 100 kilómetros en 3 horas ¿Cuántos
kilómetros recorre en 10 horas?
PUEDO REPRESENTAR LA INFORMACIÓN DE DOS MANERAS
DIFERENTES QUE ME AYUDARÁN A ENTENDER MEJOR MI
PROBLEMÁTICA:
TABLA
GRÁFICO
Kilómetros
Horas
100
3
200
6
300
9
X
10
400
12

8. FINALMENTE RESOLVEMOS
1° PASO (DATOS):
2° PASO (ECUACIÓN):
KILÓMETROS
HORAS
100
x
3
10
100 ⋅10 = x ⋅ 3
Si una variable sube la otra
también= Proporción Directa
3° PASO (RESOLUCIÓN):
100 ⋅10 = x ⋅ 3
1000
=x
3
333, 3 = x
4° PASO (RESPUESTA):
El automóvil recorre
aproximadamente 333,3
Kilómetros en 10 horas.

9. ALGUNOS EJERCICIOS PARA
PRACTICAR

Tres metros de género valen $ 800.
¿Cuánto valen ocho metros del mismo
género?

Una moto recorre 120 metros en 4
segundos. ¿Qué distancia recorre en 52
segundos, si mantiene su rapidez
constante?

10. 
Seis operarios cavan en 1 día una zanja de
80 metros de longitud. ¿Cuántos metros
cavarán, en un día, 42 operarios trabajando
las mismas condiciones?

Teresa trabajó 3 horas y ganó $ 8.100. A
esa razón, ¿cuánto tiempo le tomará ganar
$ 27.000?

11. PORCENTAJE

EJEMPLO:
En una multitienda realizan un ofertón por inauguración y
todos los productos están con el 35% de descuento, si
compro una juguera y un hervidor los cuales tenían el
precio original (sin descuento) $ 43.000 y $28.000
respectivamente. ¿ Cuánto pagué finalmente?, ¿Cuánto
ahorré?
¿CÓMO LO HARÍAS?

12. REPRESENTACIÓN DE
PORCENTAJES
Un porcentaje puede ser representado de manera simbólica (%), proporcional,
fraccionaria o decimal. Nosotros en ésta unidad utilizaremos el cálculo de éste a
través de una proporción directa. Por ejemplo, para calcular el 25% de 3.500 se
tiene:
25% de 3.500
DATOS
3.500
x
100%
25%
PROPORCIÓN
DIRECTA
ECUACIÓN
3500 ⋅ 25 = x ⋅100
RESOLUCIÓN
3500 ⋅ 25 = x ⋅100
87500
=x
100
875 = x
RESPUESTA
El 25% DE
3.500 ES
875

13. EJERCICIOS TIPO

Generalmente nos preguntan por ciertos
porcentajes o cantidades correspondientes a
un porcentaje, las posibilidades son:
El a% de b es…
EJEMPLO: El 60% de 1480 es…
¿Qué porcentaje es a de b?
EJEMPLO: ¿Qué porcentaje es 25 de 2500?
a es el b% de …
EJEMPLO: 20 es el 15% de…

14. EJERCICIOS



El valor de un artículo en una tienda es de
$45.800, por un día se le aplica un descuento
del 12%, ¿a cuánto dinero corresponde el
descuento realizado?
La casa de Laura se incendió pero ella tenía contratado
un seguro que cubría el 80% de su valor total, por esta
razón, recibió por parte de la aseguradora $25.000.000.
¿Cuál era el valor original de su casa?
A Claudio le subieron el sueldo a partir del mes de
Marzo en un 12% con respecto al mes anterior. Si en el
mes de Marzo el sueldo que recibió fue de $364.000,
¿Cuánto ganaba en Febrero?

15. PROPORCIONALIDAD
INVERSA
El producto entre estas magnitudes es
constante, y recibe el nombre de constante
de proporcionalidad inversa.


Dicho de otra manera si una de las variables
aumenta, la otra disminuye; y si una de las
variables disminuye, la otra variable aumenta.

16. EJEMPLOS
Para excavar se ocuparon tres máquinas iguales trabajando 160 horas
cada una. ¿Cuánto tiempo se hubieran tardado 10 máquinas?
horas
160
x
máquina
3
10
160 ⋅ 3 = x ⋅10
480
=x
10
48 = x
10 máquinas se habrían tardado 48 horas

17. Estás invitado a un cumpleaños y como es habitual, hay una torta para
compartir con el festejado. A la fiesta asisten 10 amigos. A la hora de repartir
la torta (si se hace en partes iguales) le corresponde una (1) parte de diez a
cada uno, es decir, una décima parte de la torta o también el 10 % del total.
Con estos datos tenemos siguiente tabla:
Invitados (personas)
Trozos de torta (%)
1
100,00
2
50,00
3
33,33
4
25,00
5
20,00
6
16,66
7
14,28
8
12,50
9
11,11
10
10,00
11
9,09
12
8,33
Como se aprecia, tenemos dos variables
invitados ( personas) y Trozos de torta
(%), en una los valores aumentan y en la
otra los valores disminuyen.
y a cada valor le corresponde un valor y
sólo uno en la otra.
El gráfico que describe el comportamiento
de las variables es el siguiente:

18. GRÁFICO

19. Con la tabla anterior multiplica cada
par de valores de ambas variables.
Invitados (x)
Porción de Torta (y)
Producto x por y = c
Constante de
proporcionalidad (c)
1
100,00
1 por 100,00
100
2
50,00
2 por 50,00
100
3
33,33
3 por 33,33
100
4
25,00
4 por 25,00
100
5
20,00
5 por 20,00
100
6
16,66
6 por 16,66
100
7
14,28
7 por 14,28
100
8
12,50
8 por 12,50
100
9
11,11
9 por 11,11
100
10
10,00
10 por 10
100

20. ALGUNOS EJERCICIOS PARA
PRACTICAR

8 albañiles tardan en hacer una obra 15
días y medio, ¿cuánto tardarían 11
albañiles?

Una persona tiene 30 vacas y alimento
almacenado para darles de comer durante
16 días. Vende 18 de ellas, ¿Cuántos días
puede alimentar a las que sobran con el
alimento que tiene?

21. 
Un ciclista que corre a una velocidad de 16
Km./h tarda 2 horas y 20 minutos en llegar al
próximo pueblo. ¿Cuánto tardaría si llevase
una velocidad de 22 Km/h?

La tabla indica la cantidad de personas y los
días que demoran en realizar una
construcción. ¿ Cuántos días necesitarán para
la construcción si trabajan 10 personas?
Personas
200
64
40
20
Días
400
1.250
2.000
4.000