1. EJEMPLO DE GRAFICA DE LONGITUD DE ARCO deducción de la fórmula para funciones de una variable
2. Supongamos que tenemos una curva rectificable cualquiera, regida por una función , y supongamos que queremos aproximar la longitud del arco de curva S que va desde un punto aa uno b. Con este propósito podemos diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método "más funcional" también podemos exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a Δx, de manera que para cada uno existirá un cateto Δy asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido, siendo entonces cada hipotenusa igual a , al aplicarse el teorema pitagórico. Así, una aproximación de S estaría dada por la sumatoria de todas aquellas n hipotenusas desplegadas. Por eso tenemos que; Pasemos a operar algebraicamente la forma en que calculamos cada hipotenusa para llegar a una nueva expresión;
3. Luego, nuestro resultado previo toma la siguiente forma: Luego, nuestro resultado previo toma la siguiente forma: Luego, nuestro resultado previo toma la siguiente forma: Luego, nuestro resultado previo toma la siguiente forma: Pasemos a operar algebraicamente la forma en que calculamos cada hipotenusa para llegar a una nueva expresión; Luego, nuestro resultado previo toma la siguiente forma:
4. Ahora bien, mientras más pequeños sean estos n segmentos, mejor será la aproximación buscada; serán tan pequeños como deseemos haciendo que Δx tienda a cero. Así, Δx deviene en dx, y cada cociente incremental Δyi / Δxi se transforma en un dy / dx general, que es por definición . Dados estos cambios, nuestra aproximación anterior se convierte en una sumatoria más fina y ahora exacta, una integración de infinitos segmentos infinitesimales;
