Matematicas financieras 4-1_egp-27.02.2012

Curso
Matemáticas Financieras
Unidad de Aprendizaje 4

Carlos Mario Morales C © 2012

Contenido
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Amortización y Capitalización
 Concepto de amortización
 Amortización con cuotas extras pactadas
 Amortización con cuotas extras no pactadas
 Amortización con periodos de gracia
 Distribución de un pago
 Concepto de Capitalización
 Capitalización con cuotas extras pactadas
 Fondos de amortización
 Costo periódico de una deuda



Concepto de amortización y capitalización
Uno de las aplicaciones más importantes de
concepto de interés es el de amortización
porque permite visualizar la forma como se
pagara una deuda y el de capitalización para
ver como se reúne un capital mediante el ahorro
A continuación se verán algunos casos
particulares útiles en los proyectos



Amortización con cuotas uniformes y
cuotas extras pactadas
Aparte de las cuotas ordinarias entre el
deudor y acreedor se acuerdan cuotas
extraordinarias en fechas definidas al
momento que se contrata el crédito
A continuación se analiza el caso a
través de un ejemplo.


Ejemplo 1.
Se cancela una deuda de
USD$200.000 en cuatros cuotas
iguales trimestrales, con una
tasa de interés del 32% NT;
además se pacta una cuota
extra de $50.000 en el mes 9.
Realizar la tabla de
amortización.

0 1 2 3 4



Tabla de Amortización (Ejemplo 1)

Cuota de capital
Periodo (k) Pago Mensual (Ak) Interés (Ik) Saldo de Capital
(Vk)
0 0 0 160.308,00

1 48.400,00 12.824,64 35.575,36 124.732,64

2 48.400,00 9.978,61 38.421,39 86.311,25

3 48.400,00 6.904,90 41.495,10 44.816,15

4 48.400,00 3.585,29 44.814,71 1,44




Pago Mensual Cuota de capital
Periodo (k) Interés (Ik) Saldo de Capital
(Ak) (Vk)

0 0 0 200.000,00

1 48.400,00 16.000,00 32.400,00 167.600,00

2 48.400,00 13.408,00 34.992,00 132.608,00

3 98.400,00 10.608,64 87.791,36 44.816,64

4 48.400,00 3.585,33 44.814,67 1,97



Amortización con cuotas uniformes y cuotas
extras no pactadas
Se pacta el pago con cuotas ordinarias entre
el deudor y acreedor , no se acuerdan cuotas
extraordinarias al momento que se contrata el
crédito
A continuación se analiza el caso a través de
un ejemplo.



Ejemplo 2.
Una deuda de USD$ 600.000 se va
cancelar en 7 pagos trimestrales
con un interés del 9% ET. Si en el
periodo 3 se efectúa un abono de
USD$ 250.000 se pide: elaborar la
tabla de amortización suponiendo
que la cuota se abona a capital

0 1 2 3 4 5 6 7



Cuota de capital
(Vk)
0 0 0 600.000,00
1 119.214,00 54.000,00 65.214,00 534.786,00
2 119.214,00 48.130,74 71.083,26 463.702,74
3 119.214,00 41.733,25 77.480,75 386.221,99
4 119.214,00 34.759,98 84.454,02 301.767,97
5 119.214,00 27.159,12 92.054,88 209.713,08
6 119.214,00 18.874,18 100.339,82 109.373,26
7 119.214,00 9.843,59 109.370,41 2,85



Al pagar una cuota extra de 250.000 en el periodo 3 la tabla
queda como sigue:
Cuota de capital
(Vk)
0 0 0 600.000,00
1 119.214,00 54.000,00 65.214,00 534.786,00
2 119.214,00 48.130,74 71.083,26 463.702,74
3 119.214,00 41.733,25 327.480,75 136.221,99
4 119.214,00 12.259,98 106.954,02 29.267,97
5 31.902,09 2.634,12 29.267,97 0,00
6
7



Ejemplo 3.
Una deuda de USD$ 600.000 se va
cancelar en 7 pagos trimestrales
con un interés del 9% ET. Si en el
periodo 3 se efectúa un abono de
USD$ 250.000 se pide: elaborar la
tabla de amortización suponiendo
que se pide re-liquidación de la
cuota

0 1 2 3 4 5 6 7



Cuota de capital
(Vk)
0 0 0 600.000,00

1 119.214,00
54.000,00
65.214,00 534.786,00

2 119.214,00
48.130,74
71.083,26 463.702,74

3 119.214,00
41.733,25
327.480,75 136.221,99

4 42.047,00
12.259,98
29.787,02 106.434,97

5 42.047,00
9.579,15
32.467,85 73.967,11

6 42.047,00
6.657,04
35.389,96 38.577,15

7 42.047,00
3.471,94
38.575,06 2,10



Amortización con periodos de gracia
Después de efectuado el préstamo pasa un tiempo
antes de que se empiecen a pagar las cuotas. Existen
dos modalidades:
 Periodo de gracia muerto
 Periodo de gracia con cuota reducida (pago de
intereses)
Se ilustran ambos casos a través de ejemplos



Ejemplo 4.
Para el pago de un préstamo de
USD $2´000.000 se concede un
plazo de gracia de 6 meses. El
préstamo se pagara en 4 cuotas
trimestrales crecientes en un 10%
y un interés de 44%NT. Elaborar la
Tabla de Amortización

0 1 2 3 4 5 6




Periodo Pago Mensual Cuota de capital
Interés (Ik) Saldo de Capital
(k) (Ak) (Vk)

0 0 0 2.000.000,00
1 - 220.000,00 -220.000,00 2.220.000,00
2 - 244.200,00 -244.200,00 2.464.200,00
3 693.126,00 271.062,00 422.064,00 2.042.136,00
4 762.438,60 224.634,96 537.803,64 1.504.332,36
5 838.682,46 165.476,56 673.205,90 831.126,46
6 922.550,71 91.423,91 831.126,80 -0,34



Ejemplo 5.
Para el pago de un préstamo de
USD $2´000.000 se concede un plazo
de gracia de 6 meses con cuota
reducida. El préstamo se pagara en
4 cuotas trimestrales crecientes en
un 10% y un interés de 44%NT.
Elaborar la Tabla de Amortización

0 1 2 3 4 5 6




Periodo Pago Mensual Cuota de
(k) (Ak) capital (Vk)
0 0 0 2.000.000,00
1 220.000,00 220.000,00 0,00 2.000.000,00
2 220.000,00 220.000,00 0,00 2.000.000,00
3 562.557,00 220.000,00 342.557,00 1.657.443,00
4 618.812,70 182.318,73 436.493,97 1.220.949,03
5 680.693,97 134.304,39 546.389,58 674.559,45
6 748.763,37 74.201,54 674.561,83 -2,37



Distribución de un pago
No es necesario construir la tabla de
amortización para calcular lo correspondiente a
interés y amortización; basta con calcular los
intereses al capital insoluto del periodo
inmediatamente anterior y luego, restárselo al
valor de la cuota para conocer la parte que
corresponde a la amortización.
La situación se ilustra a través del siguiente
ejemplo:


Ejemplo 6
Hallar la distribución del pago
número 125, en la amortización de
$2 millones, mediante pagos
mensuales durante 20
años, suponiendo una tasa del
30%NM

0 1 2 3… 125 … 240



3. Se sabe que la porción de la cuota 125 que se utiliza para pagar intereses es
igual a la tasa multiplicada por la deuda que queda inmediatamente
después de haberse efectuado el pago 124 ; entonces se deba calcular el
valor presente de los pagos que faltan por hacer
Vp = A (1-(1+i)-n)/i
Vp = 50.133(1–(1+0,025)-116)/0,025 = 1´891.004,92
4. Los intereses se calculan como:
I = 1´891.004,92 x 0,025 = $47.275,12
5. La amortización será igual a la cuota menos los intereses C= 50.133,78 -
47.275,12 = $2.858,66
Cuota de capital
(Vk)
124 1.891.005,00
125 50.134,00 47.275,13 2.858,88 1.888.146,13



Amortización mediante abono constante a
Capital con interés anticipado
Una forma de amortización utilizada por los bancos
consiste en cobrar intereses por anticipado y
amortización constante al final de cada periodo.
La situación se ilustra a través del siguiente ejemplo



Ejemplo 7
Se paga un préstamo de
$500.000 en cuotas
trimestrales durante un
año, con amortización
constante e intereses del 33%
NT anticipado. Elaborar la
tabla de amortización




Periodo Cuota de
Pago Mensual (Ak) Interés (Ik) Saldo de Capital
(k) capital (Vk)

0 41.250,00 41.250,00 0 500.000,00

1 166.250,00 125.000,00 375.000,00
41.250,00
2 155.937,50 125.000,00 250.000,00
30.937,50
3 145.625,00 125.000,00 125.000,00
20.625,00
4 125.000,00 125.000,00 0,00



Amortización en valor constante
Muchos créditos se otorgan en valor constante, lo cual
significa que las cuotas y los saldos insolutos deben ser
ajustados en un porcentaje, igual al índice de
corrección monetaria.



Ejemplo 8
Elaborar la tabla de
amortización de un crédito
de $600.000 el cual se paga
en 4 cuotas anuales
iguales, pero en valor
constante. Tasa de interés
8%; corrección monetaria
del 22% durante los 4 años



Primera cuota: 181.152,48 x (1+0,22) = 221.006,03
Segunda cuota: 181.152,48 x (1+0,22)2 = 269.627,35
Tercera cuota: 181.152,48 x (1+0,22)3 = 328.945,37
Segunda cuota: 181.152,48 x (1+0,22)4 = 401.313,35

Además se debe hacer la corrección de la deuda:

600.000 x (1+0,22) = 732.000
569.554 x (1+0,22) = 694.855,84
480.816 x (1+0,22) = 586.596,69
304.579 x (1+0,22) = 371.586,45




Periodo Pago Mensual Cuota de capital Saldo de Capital
(k) (Ak) (Vk) ajustado

0 0 0 0 600.000.000,00 732.000.000,00

1 221.006.028,89 58.560.000,00 162.446.028,89 569.553.971,11 694.855.844,75

2 269.627.355,25 55.588.467,58 214.038.887,67 480.816.957,08 586.596.687,64

3 328.945.373,41 46.927.735,01 282.017.638,39 304.579.049,24 371.586.440,07

4 401.313.355,56 29.726.915,21 371.586.440,35 -0,28 -0,34



Amortización en Monedas Extranjeras
Cuando se amortiza en pesos una deuda extranjera su
metodología es idéntica a la cancelación de una
deuda en valor constante. En este caso la devaluación
remplaza la tasa de corrección monetaria



Ejemplo 9
Elaborar la tabla de
amortización de un crédito
de USD $10.000 el cual se
paga en 3 cuotas anuales
iguales en pesos con una tasa
de interés 18% EA; el tipo de
cambio es US$1=$900 y la
tasa de devaluación del peso
frente al dólar es para el
primer año del 15%, del 27% el
segundo y del 13% para el
tercer año.




Periodo Pago Mensual Cuota de capital Saldo de Capital
(k) (Ak) (Vk) ajustado

0 0 0 0 9.000.000,00 10.350.000,00

1 4.760.213,00 1.863.000,00 2.897.213,00 7.452.787,00 9.465.039,49

2 6.045.470,51 1.703.707,11 4.341.763,40 5.123.276,09 5.789.301,98

3 6.831.381,68 1.042.074,36 5.789.307,32 -5,34 -5,34



Capitalización diferida
Se refiere así a la capitalización que
tiene uno o varios periodos en los
cuales no se efectúan depósitos, pero
el capital ahorrado si gana intereses.



Capitalización -Fondos de Amortización
Es un fondo de ahorros donde se hacen
depósitos periódicos que van ganando interés.
Su objetivo es reunir un capital para una fecha
especifica en el cual se cancelara una deuda o
para la adquisición de un bien o servicio.


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