Límites y Continuidad. Calculo Diferencial.

1. Límites y
Continuidad.

2. Teorema
• Si “c” es un numero real en el dominio de una
función trigonométrica indicada, se cumple las
siguientes propiedades.

3. Propiedad de seno
• Ejemplos:
• Observe que en este caso el argumento es, por lo
que en el denominador se necesita también la
expresión de ahí que se lleve a cabo el siguiente
procedimiento.

4. Demostración

5. • Considérese que, un entorno reducido de 0,
• Si dividimos todos los miembros por
nos queda:
o Pero:
Obtención del límite de sen x, cos x y
(sen x)/x cuando x tiende a cero.

6. • Invirtiendo cada miembro nos queda esta expresión
que es totalmente indeterminada
Si hallamos el de cada miembro, nos queda
Y como:
por Teorema del Emparedado nos queda que:

7. Definición de continuidad
• En matemáticas, una función continua es
aquella para la cual, intuitivamente, para
puntos cercanos del dominio se producen
pequeñas variaciones en los valores de la
función. Si la función no es continua, se dice
que es discontinua.

8. Ejemplo

9. Definición de límite por
la derecha
• Se dice que si y solo si para cada existe tal que
si entonces es el límite por la derecha de en "a".
• Observe que no hay barras de valor absoluto
alrededor de , pues es mayor que cero ya que .

10. Definición de límite por
la izquierda
• Se dice que si y solo si para cada existe tal que
si entonces es el límite por la izquierda de en "a".
Note que la expresión es mayor que cero, pues por lo
que .

11. Determinar los límites, en los puntos de discontinuidad, de
la función definida por:
• Primero hagamos la gráfica de la función:
• El punto de discontinuidad se presenta cuando
• Luego: y
• Observe que el límite por la derecha (3), es diferente al
límite por la izquierda (2).

12. Teoremas sobre
continuidad
• Teorema del valor intermedio
• Si y = f(x) es una función continua en el intervalo
cerrado [a, b] donde f(a) ¹ f(b) y k es un número
real cualquiera comprendido entre f(a) y
f(b), existe al menos un número real c
perteneciente al intervalo (a, b) tal que f(c) = k.

13. • Teorema de Bolzano
• Si y = f(x) es una función continua en el intervalo
cerrado [a, b] y f(a) y f(b) tienen signos
opuestos, entonces existe al menos un número real
c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f(c) = 0;
es decir, c es una raíz de f(x).
• Las siguientes gráficas permiten ilustrar el teorema:

14. Asíntotas paralelas a los
ejes coordenados
• En matemática, se le llama asíntota a una línea
recta que se aproxima continuamente a otra
función o curva; es decir que la distancia entre las
dos tiende a ser cero (0), a medida que se
extienden indefinidamente.
También se puede decir que es la curva la que se
aproxima continuamente a la recta; o que ambas
presentan un comportamiento asintótico.