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  1. 1. Tasas Relacionadas.Un problema de Tasas de Variación Relacionadas es aquel que involucratasas de variación de variables relacionadas. En aplicaciones delmundo real que implican tasas de variación relacionadas, las variablestienen una relación especifica para valores de t, donde t, es una medidade tiempo. En general, esta relación se expresa mediante una ecuación,la cual representa un modelo matemático.Si una cantidad y es una función del tiempo t, la razón de cambio de ycon respecto al tiempo está dada por . Cuando dos o más cantidades,todas funciones del tiempo t, están relacionadas por una ecuación, larelación de sus razones de cambio puede hallarse derivando amboslados de la ecuación.EJEMPLO 1:Una escalera de 25 pies reposa sobre una pared vertical. Si la base de la escalera resbala yse aleja de la base de la pared a 3 pies/s, ¿qué tan rápido baja la parte superior de la escaleracuando la base de la misma está a 7 pies de la pared?SOLUCIÓN:Sea x la distancia de la base de la escalera a la base de la pared, y sea y la distancia de laparte superior de la escalera a la base de la pared. Como la base de la escalera se aleja de labase de la pared a una razón de 3 pies/s, es decir = 3. Se tiene así que hallar y luegocalcularla en x=7, es decirBusquemos una ecuación que nos permita resolver el problemaPor el teorema de Pitagoras,x2+ y2 = (25)2 = 625Esta es la relación entre x y y. Derivando ambos lados respecto a t, se obtiene:Como , tenemos
  2. 2. La ecuación deseada para , para este problema en particular, x=7. Al sustituir x por 7 en la ecuación x 2+ y2 = (25)2 = 6251 se tiene: 49 + y2 = 645, y2=576, de donde y=24 al remplazar x y y por 7 y 24, se obtiene: =- Y la escribimos negativamente Como < 0, se concluye que la parte superior de la escalera resbala por la pared a una razón de 7/8 pies/s, cuando la base de la escalera está a 7 pies de la pared.2. Una escalera de 10m de longitud está apoyada contra un muro vertical. Si su base seempuja horizontalmente lejos de la pared a 2 m/s, ¿cuál será la rapidez con la que resbalarála parte superior de la escalera cuando la base esté a 4m del muro? (1) Lo primero que debemos de hacer es un dibujo para representar el texto, incluyendo de ser posible todas las variables que vayamos a necesitar durante el proceso.t: tiempo transcurrido desde que inicia (2) En la imagen incluimos dos variables que nosel movimiento. serán de gran ayuda en la solución del problema. Sin embargo debemos tomar en consideración unax: distancia de la base al muro a los t tercer variable que es el tiempo.segundos.
  3. 3. y: distancia del suelo a la partesuperior de la escalera a los t segundos. (3) Iniciamos la interpretación del texto... Como la escalera se empuja a una razón 2m/s, entonces la variación de x con respecto a t debe ser 2. (4) Debemos relacionar las variables x e y, esto lo podemos hacer a través del teorema de Pitágoras. (5) Usamos la diferenciación implícita sobre la fórmula expuesta en el punto 4. velocidad como resbala la escalera en cualquier instante Velocidad como resbala la escalera cuando se aleja del muro 4metros Reemplazamos en la ecuación que obtuvimos por el teorema de Pitágoras (6) La situación que estamos analizando es cuando la escalera se encuentra a 4m del muro, por tanto evaluamos en la relación 4 y tenemos el valor de "y". (7) Sustituyendo los resultados en 3, 4 y 6 en la expresión 5. La rapidez es el valor absoluto (8) Resolviendo para dy/dt tenemos la solución del problema, la rapidez con la que resbala la parte superior de la escalera cuando la base está a 4m del muro es de 0.87m/s
  4. 4. 3. Una bola de nieve se forma de manera que su volumen aumenta a razón de8 cm3/min. Calcula la rapidez con la que el radio aumenta cuando la bola denieve tiene 10cm de diámetro. (1) Lo primero que debemos de hacer es un dibujo para representar el texto, incluyendo de ser posible todas las variables que vayamos a necesitar durante el proceso.t: tiempo transcurrido en el evento (2) En la imagen incluimos la variable que nos serán de granr: radio de la bola de nieve a los t segundos ayuda en la solución del problema. Sin embargo debemosV: volumen de la bola de nieve a los t tomar en consideración dossegundos. variables que son el tiempo y el volumen de la bola de nieve. (3) Iniciamos la interpretación del texto... Como la bola de nieve aumenta a razón de 8cm3/min, entonces la variación de V con respecto a t debe ser 8. (4) Debemos relacionar las variables V e y, esto lo podemos hacer a través de la fórmula del volumen de una esfera. (5) Usamos la diferenciación implícita sobre la fórmula expuesta en el punto 4. Conocemos
  5. 5. Se debe evaluar cuando r=5) Resolviendo para dr/dttenemos la solución delproblema, la rapidez con la queel radio aumenta cuando la bolade nieve tiene 10cm de diámetroes de 2/25 cm/min

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