Curso De Estadistica Aplicada 2010

UNIVERSIDAD “GABRIEL RENE MORENO”
FACULTAD POLITECNICA
UNIDAD DE POSTGRADO

ESTADISTICA APLICADA

Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris
Mgs. Educación Superior
martinezsolaris@cotas.com.bo
martinezsolaris@hotmail.com

http://www.docstoc.com/profile/fmartinezsolaris

Nociones Generales

Número de Tipo de Anemia
Total
especies Leve Moderada Severa
parásitas n % n % n % n %
1 3 100 0 0 0 0 3 2.61
2 12 70.59 5 29.41 0 0 17 14.78
3 30 69.77 11 25.58 2 4.65 43 37.39
4 21 67.74 9 29.03 1 3.23 31 26.96
5 11 68.75 5 31.25 0 0 16 13.91
6 3 60.00 2 40.00 0 0 5 4.35
69.5 27.8
Total 80 7 32 3 3 2.61 115 100

Moderada Severa
50 Normal
Número de estudiantes

17.39% 1.63%
40 37.50%

30
20
10
0
5 6 7 8 9 10 11 12 13
Leve
Edad (años) de los estudiantes 43.48%

Nociones Generales

ESTADÍSTICA ¿Qué es?...

DESCRIPTIVA INFERENCIAL

PROPOSITO PROPOSITO

METODOS METODO

• TABULARES PROBABILISTICO
Características • GRAFICOS
• NUMERICOS

Nociones Generales

Ciencia encargada de la
Recolección, Manipulación, Organizació
n y Presentación de información de
manera tal que ésta tenga una
Confiabilidad determinada

Nociones Generales

INFERENCIA
ESTIMACION
Población
N
Muestra
Parámetros
Deducción n=?
µ, σ2, p,
Estadísticos
etc
Estadígrafos

TECNICAS DE
MUESTREO

Nociones Generales

Probabilístico MAS, MAP y MAE
MUESTREO
No Probabilística
Probabilístico
Azar

MUESTRA Tipos

No Probabilística

Arbitraria

Nociones Generales

POBLACION MUESTRA • Nombre
• Definición
Atributo • Rango de Valores
• Clasificación
Cambiar

Variable Elementos

Cualitativas Categorías
Tipos
Discretas
Cuantitativas
Continuas

Nociones Generales

• Nombre

Variable Elementos • Definición
• Rango de Valores

+ • Clasificación

Nominal
Medirse
Ordinal
Escalas de
De Intervalo
Medición

De Razón

Métodos Tabulares

DESCRIPTIVA
Sea X y Y dos variables y sea x1, x2, … xn y
y1, y2, … yn, valores que toman las variables
METODOS X y Y, y sean “a” y “b” dos constantes.
Entonces:

TABULARES x1 + x2 + x3 + …xn y1 + y2 + y3 + …yn

n n
xi yi
Sumatoria i 1 i 1

Propiedades

Propiedades de Sumatoria

Métodos Tabulares/Ordenamiento

Edad (años) Edad (años) Valores
17 15
extremos
18 16
18 16
16 17
21 17
15 Ordenándolo 18
17 18
Valores mas
19 18 frecuente
Desventaja
20 18
18 19
16 20
Valores
18 21 extremos

Cuadro de Frecuencia

Edad
fi fr Fia Fra
Cuadros de (años)
Frecuencia 15 1 8.3 1 8.3
16 2 16.7 3 25.0
17 2 16.7 5 41.7
18 4 33.3 9 75.0
19 1 8.3 10 83.3
20 1 8.3 11 91.7
21 1 8.3 12 100
Total 12 100


Lugar de realización del
n %
Diplomado
Extranjero 19 13.87
Universidad Objeto de Estudio 87 63.50
Otras universidades bolivianas 31 22.63
Total 137 100


67.7 39.2 52.5 42.3 69.8 61.2

63.9 37.2 45.7 41.7 69.1 55.5

64.9 38.9 52.4 41.9 69.2 58.9

68.3 39.2 52.6 42.7 70.0 61.9

68.3 39.2 53.3 45.5 70.1 63.2

La Estadística ofrece otra
Cuadro de alternativa Tablas de Frecuencias
Frecuencia Absolutas y Relativas

Tabla de Frecuencia

Procedimiento
Definir el Número de
≥ 5 ó ≤ 20 ó 25
Intervalos

Sturges
Ac = A/k
A = Valor Máx.- Valor Mín.
K = 1 + 3.33* log n

Tipo de Intervalos
(Li - LS]
Ac = Ajustada
RI = Ac*K > A
MD = (RI – A)/2

Tabla de Frecuencia

Intervalos de Clases PMC fi fr Fia Fra

37.1 a 42.6 39.85 8 0.27 8 0.27

42.6 a 48.1 45.35 3 0.10 11 0.37

48.1 a 53.6 50.85 4 0.13 15 0.50

53.6 a 59.1 56.35 2 0.07 17 0.57

59.1 a 64.6 61.85 4 0.13 21 0.70

64.6 a 70.1 67.35 9 0.30 30 1
30 1

Métodos Gráficos

Diagrama de Puntos

Histograma

Métodos Gráficos Clásicos Polígono de Frecuencias

Ojiva

Diagrama de Sectores

Diagrama de Puntos

15 16 17 18 19 20 21

Edad (años)

Histograma

Histograma de Frecuencias Absolutas
10
9
8
7
6
5
fi

4
3
2
1
0

Intervalos de clases

Polígono de Frecuencias

Polígono de Freecuencia Absoluta
10

9

8

7

6

5
fi

4

3

2

1

0
34.35 39.85 45.35 50.85 56.35 61.85 67.35 72.85

Puntos Medios de Ckases

Ojiva

Ojiva o Polígono de Frecuencias
Acumuladas (menor que)
35
30
25
20
Fia

15
10
5
0
37.1 42.6 48.1 53.6 59.1 64.6 70.1

Tiempo (minutos)


(19*360)
137-------360
X= = 49.9
19 ------- x
137

Lugar de realización de n Grados
estudios Postgraduales
Extranjero 19 49.927
Universidad de Interés 87 228.613
Otras universidades
bolivianas 31 81.460
Total 137 360


Otras
universidades Diagrama de Sectores
bolivianas Extranjero
, 81.45985 , 49.92701

Universidad
de Interés
, 228.61314

Métodos Numéricos (Medidas de Tendencia Central)

Cuando se desea comparar dos o más
poblaciones o bien muestras, y si las
variables de interés son de carácter
numérico …

Los métodos tabulares no son los más
recomendables

La Estadística oferta otra herramienta
llamada Métodos Numéricos

Medidas de Tendencia Central

Localizan el centro de
una base de datos
numéricas

Medidas de Tendencia
Central

Cuantifican cuánto se
dispersan los datos de una
Métodos Numéricos medida de tendencia
central

Medidas de Dispersión


Promedio

Media Ponderada
Medidas de Tendencia
Central Mediana

Moda

Medidas de Tendencia Central/Promedio

Media µ
Población
Poblacional

Es la sumatoria de las observaciones que
Promedio toma una variable dividido entre el total
de éstas

Media
Muestra x
Muestral

Se interpreta como el punto de equilibrio
de una base de datos numéricas


Tiempo
Desviaciones
(minutos)
xi x
52.6
-4.15
38.9
-17.85
68.3
11.55
67.2
10.45
63.9
7.15
64.9 Propiedad
n

8.15 xi x 0
68.3
11.55
i 1

39.2
-17.55
42.3
-14.45
61.9
Suma 5.15
567.5 Suma
0
56.75
Promedio


Media en datos tabulados

Si la tabla no presenta clases abierta es
posible hacer una estimación de la media
tomando en cuenta lo siguiente:

• PMC es el promedio de las observaciones de las
observaciones que caben dentro del intervalos.
• PMC*fi proporciona una estimación de la suma de las
observaciones que caben en el intervalo y como una
tabla tiene k-ésimo intervalos entonces:


Intervalos PMC*fi
PMC fi
de Clases
37.1 a 42.6 39.85 8 318.8
42.6 a 48.1 45.35 3 136.05
48.1 a 53.6 50.85 4 203.4
1624.5
53.6 a 59.1 56.35 2 112.7 x= 30
= 54.15
59.1 a 64.6 61.85 4 247.4
64.6 a 70.1 67.35 9 606.15
30 1624.5


Cuando los datos tienen diferente peso dentro de la
base de datos, si desea obtener el promedio, la media
aritmética no es la más indicada

Cargo fi Salario
Rector 1 2000
Asesores 2 1200
Vic. Académico 1 1150
Vic. Administrativo 1 1250
Jefe de Carrera C.S 2 1000
Jefe de Carrera 5 800
Administrativo 2 600
Secretarias 9 120


Salario Xiwi
Cargo fi (wi) (xi)

Rector 1 2000 2000

Asesores 2 1200 2400

Vic. Académico 1 1150 1150
15080
Vic. Administrativo 1 1250 1250 xw = = 655.65
23
Jefe de Carrera C.S 2 1000 2000

Jefe de Carrera 5 800 4000

Administrativo 2 600 1200

Secretarias 9 120 1080

15080


Si los datos no se distribuyen
simétricamente (curva simétrica) el
promedio no es la mejor medida para
localizar el centro de los mismos •Ordenar
Impar

n Me = xn/2 + 0.5
Datos sin tabular
Par

Me = (xn/2 + x n/2 + 1 )/2
Mediana (Me)

(b-a)(0.5- c)
Datos tabulados Me = a +
d


Tiempo Tiempo
(minutos) (minutos)
38.9 38.9
39.2
Me = xn/2 + 0.5
39.2
42.3 42.3
52.6
n es impar 52.6
61.9 61.9
63.9
Me
63.9
64.9 64.9

67.2 67.2

68.3 68.3


Tiempo Tiempo
(minutos) (minutos)
38.9 38.9 Me = (xn/2 + x n/2 + 1 )/2
39.2 39.2
42.3 42.3 61.9 + 63.9
n es par 52.6 52.6 Me = = 62.9
61.9 61.9 2
62.9
63.9 63.9
64.9 64.9
67.2 67.2 Mediana es aquella medida
68.3 68.3
de tendencia central que
antes y después de ella no
68.3 68.3
existe más del 50% de la
información


(b-a)(0.5- c)
Me = a +
d
Clase de la Mediana
a = Límite inferior de la • Complete la columna Fia
clase de la Me • Localice la menor Fia >
b = Límite superior de la n/2
clase de la Me • La clase a la que
c = Fra una clase antes de pertenece esta frecuencia
la clase de la Me (Nj-1) es la clase de la mediana
(Nj)
d = fr de la clase de la Me
• La Clase antes de Nj es
Nj -1


(b-a)(0.5- c) a = Límite inferior de la
Me = a + clase de la Me
d b = Límite superior de la clase de
la Me
(59.1-53.6)(0.5- 0.5) c = Fra una clase antes de la
Me = 53.6 + = 53.6 clase de la Me (Nj-1)
0.07 d = fr de la clase de la Me

Intervalos
PMC fi fr Fia Fra
de Clases Ubicación de la
37.1 a 42.6 39.85 8 0.27 8 0.27 clase de la Me
42.6 a 48.1 45.35 3 0.10 11 0.37
n = 30
48.1 a 53.6 50.85 4 0.13 15 0.50
n/2 = 15
53.6 a 59.1 56.35 2 0.07 17 0.57
Nj = 17… (53.6 – 59.1)
59.1 a 64.6 61.85 4 0.13 21 0.70 Nj- 1 = (48.1 – 53.6)
64.6 a 70.1 67.35 9 0.30 30 1


Connotancia de Moda Tiempo
(Mo) en Estadística (minutos)
38.9
39.2
En caso de existir es la 42.3
(s) observación (nes) 52.6
que más se repiten en 61.9
una base de datos 63.9
64.9
Distribuciones: 67.2
68.3
Unimodales
68.3 Mo
Bimodales
Etc.


(ficmo- ficpremo)
Mo = Licmo + Acmo
(ficmo-ficpremo) + (ficmo – ficpostmo)

Donde:
Licmo: Límite inferior de la Clase Modal
Acmo: Ancho de clase de la Clase Modal
Ficmo: Frecuencia absoluta de la Clase Modal
Ficpremo: Frecuencia absoluta de la Clase Premodal
Ficpostmo: Frecuencia absoluta de la Clase Postmodal

Clase Modal es la (s) que tiene(n) la mayor (es) fi


(ficmo- ficpremo)
Mo = Licmo + Acmo
(ficmo-ficpremo) + (ficmo – ficpostmo)

Intervalos
PMC fi
de Clases

37.1 a 42.6 39.85 8
(9 - 4)
42.6 a 48.1 45.35 3
Mo = 64.6 + 5.5 = 66.56
48.1 a 53.6 50.85 4 (9 - 4) + (9 – 0)
53.6 a 59.1 56.35 2

59.1 a 64.6 61.85 4

64.6 a 70.1 67.35 9


Una medida de tendencia central por si sola no es tan
importante. Por esta razón debe estar acompañada de
una medida de dispersión

Rango/Distancia/Amplitud o Recorrido

Varianza (Variancia)

Desviación Típica o Estándar

Coeficiente de Variación


Rango Rango = Valor Máximo – Valor Mínimo
N 2

Población ( σ²) 2 i 1
xi
N
Es el promedio de las desviaciones al
Varianza cuadrado de las observaciones que
toma una variable respecto a su media

Muestra (S²)


xi (Desviaciones)2
52.6 17.2225
38.9 318.6225
1372.725
68.3 133.4025
S² = = 152.525mi²/est²
67.2 109.2025
63.9 51.1225 10 - 1

64.9 66.4225
Desventaja
68.3 133.4025
39.2 308.0025
Desviación Típica S = √S²
42.3 208.8025
61.9 26.5225 S = √152.525 = 12.35 min/est
Sumatoria 567.5 1372.725
Promedio 56.75 Interpretación x S

56.75 12.35 min/est.


Si la tabla no presenta clases abierta es posible
hacer una estimación de la varianza de la siguiente
forma:

Intervalos de PMC fi
Clases

37.1 a 42.6 39.85 8

42.6 a 48.1 45.35 3

48.1 a 53.6 50.85 4

53.6 a 59.1 56.35 2

59.1 a 64.6 61.85 4

64.6 a 70.1 67.35 9


2
1624 . 5
91693 . 475
2 30
S 124 . 774
30 1

Intervalos de PMC*fi PMC2*fi
PMC fi S 124 . 774 11 . 70
Clases
37.1 a 42.6 39.85 8 318.8 12704.18
42.6 a 48.1 45.35 3 136.05 6169.8675
48.1 a 53.6 50.85 4 203.4 10342.89

53.6 a 59.1 56.35 2 112.7 6350.645

59.1 a 64.6 61.85 4 247.4 15301.69
64.6 a 70.1 67.35 9 606.15 40824.203

1624.5 91693.475


Todas las medidas de dispersión expuestas
anteriormente son dimensionales (toman las unidades
de medidas de las variables)

Existe otra medida de dispersión pero adimensional
llamadas Coeficiente de Variación o Dispersión
Relativa

S S
C .V C .V * 100
x x


Las medidas de dispersión cuantifican cuánto se
dispersan los datos alrededor de una medida de
tendencia central, pero, ¿Para donde se desvían los
datos?, a la izquierda de la media, a la derecha o se
distribuyen simétricamente.

Existen otras medidas aplicable solo a curvas
unimodales que tratan de las deformación de curvas
tanto de forma horizontal como vertical

Deformación de Curvas Unimodales

Asimetría Positiva x > Me > Mo

Curvas Simétricas x = Me = Mo
Asimetría

Asimetría Negativa x < Me < Mo


Curva Leptocúrtica Kur > 3

Curva Mesocúrtica Kur = 3
Curtosis

Curva Platicúrtica Kur < 3

Regresión Lineal Simple

En el desarrollo de los
X1 eventos, puede ser que una
Y X2 variable sea afectada por el
. comportamiento de otra (s)
.
. variable (s)
Es de interés poder cuantificar
Xi este tipo de relación de manera
que se pueda predecir una variable
en función de otra
Y: Variable Dependiente En Regresión Lineal Simple es de
X: Variable Independiente interés cuando una variable afecta
el comportamiento de otra variable
Y = f(X)
Propósito de la R.L.S: Predicción

Regresión Lineal Simple

Por análisis de regresión se entiende al conjunto de métodos
estadísticos que tratan con la formulación de modelos
matemáticos que describen la relación entre variables y el
uso de estas relaciones modeladas con el propósito de
predecir e inferir.

Por Regresión Lineal Simple se entiende …

“Y” es una variable aleatoria cuya
distribución probabilística depende
de “X”
Supuestos del Análisis Modelo de la Línea Recta
de Regresión Lineal Homogeneidad de Varianza
Simple
Normalidad
Independencia

Regresión Lineal Simple/Diagrama de Dispersión

Llamado también Ploteo de Datos, tiene como propósito
mostrar la posible tendencia (en caso de existir) entre las
variables “X” y “Y”.
Consiste en llevar los pares de valores “x, y” a un sistema de
coordenadas (bidimensional)

Y

(x, y)

X

Rango de Sueldo (X) Inasistencias (Y)
11 18
10 17
8 29
5 36
9 11
9 26
7 28
3 35
11 14
8 20
7 32
2 39
9 16
8 26
6 31
3 40

Regresión Lineal Simple/Diagrama de Dispersión

45

40

35

30
Inasistencia

25

20

15

10

5

0
0 2 4 6 8 10 12
Rango de Salario

Regresión Lineal Simple/Métodos de Mínimos Cuadrados

El supuesto No 2 de RLS plantea que de existir una relación
entre “X” y “Y”, ésta es una línea recta, por lo tanto se puede
pensar en una ecuación de la siguiente forma:

Parámetros

Estimación

De tal manera que se llegue a obtener una ecuación de la
siguiente naturaleza:

Regresión Lineal Simple/Métodos de Mínimos Cuadrados

Uso de la Técnica de
Mínimos Cuadrados (Carl
Gauss)

A partir de muestras (x1, y1), (x2, y2), …(xi, yi) de las variables
“X” y “Y”, se trata de obtener los estimadores . Para ello la
Técnica de Mínimos Cuadrados minimiza la suma de cuadrado de
las distancias entre los valores observados y los estimados de
tal manera que :

Regresión Lineal Simple/Recta de Estimación

Estimada una vez la recta de Predicción y teniendo en cuenta
que el propósito de la R.L.S es la predicción, se hace
necesario estar seguro que la ecuación estimada es capaz de
predecir.

Por esta razón es necesario validar la ecuación estimada

Regresión Lineal Simple/Validación de la Recta de Estimación

Validación

Cálculo de Coeficiente Análisis de Varianza
de Determinación R² de la Regresión “ANARE”

Cuantifica la cantidad de la
variabilidad de “Y” que
puede ser explicada por “X”

R² ≥ 70%

Regresión Lineal Simple/Validación de la Recta de
Estimación/ANARE

Por análisis de Varianza se entiende, de forma general, a la
partición de la variación total en fuente de variación conocida
que en el caso de R.L.S son de acuerdo al siguiente modelo
aditivo lineal:

xi= Variación debida a Regresión
εi = Variación debida al Error

FV gl SC CM Fc Ft (Pr>F)
CMRegresión
Regresión 1 SCRegresión CMRegresión
/CMError
Error n-2 SCError CMError
Total n.1 SCTotales

Regla de Decisión
NRHo : Fc ≤ Ft
RHo : Fc > Ft

Correlación Lineal Simple

Así como existen técnicas que cuantifican los cambios de una
variable dependiente por un único cambio de la variable
independiente, existen técnicas que cuantifican la asociación
lineal entre dos variables, esta técnica es llamada Correlación
Lineal Simple que se exprese como el coeficiente de
correlación (r)
Este coeficiente indica el sentido de la asociación como
también la magnitud de ésta, partiendo del hecho que el
coeficiente de correlación lineal simple toma valores en el
rango de: r es -1 ≤ r ≤ 1. Entre más se acerca a 1 el valor de
r mayor es la asociación entre dichas variables.


-1 ≤ r < -0.8 Asociación 0 ≤ r < 0.4 No hay
fuerte y asociación
negativa
-0.8 ≤ r < -0.4 Asociación 0.4 ≤ r < 0.8 Asociación
débil y débil y
negativa positiva
-0.4 ≤ r ≤ 0 No hay 0.8 ≤ r ≤ 1 Asociación
asociación fuerte y
positiva


Regresión Lineal Simple Correlación Lineal Simple
Mide la cantidad de cambios en “Y” Mide asociación lineal
por un único cambio en “X”. entre dos variables

Existe una variable dependiente y Es indistinto x, y ó y, x
otra independiente

β1 puede tomar cualquier valor en la El coeficiente de
recta numérica correlación toma valores en
el intervalo -1 ≤ r ≤ 1

PROBABILIDADES
Experimentos Aleatorios

Espacio Muestral,Eventos y Sucesos

Tipos de Experimentos Aleatorios

Probabilidad Relaciones entre Eventos

Enfoques de Probabilidad/Teoremas
Básicos de Probabilidad

Eventos Dependientes/Independientes

Probabilidad Total/Teorema de Bayes

PROBABILIDADES

Sus resultados se conocen con
Determinísticos anticipación sin necesidad de
realizar el experimento

Experimentos
Sus resultados se conocen
una vez que el experimento
ha finalizado
No Determinísticos
Se pueden describir los
Es un proceso planificado a
posibles resultados pero no se
través del cual se obtiene
puede decir cuál de ellos
una observación (o una
ocurrirá
medición) de un fenómeno

Son experimentos no Experimentos Aleatorios
determinísticos cuyos resultados
están regidos por el azar

PROBABILIDADES

Supóngase que se lanzan dos monedas legales al mismo
tiempo y que a una cara de cada moneda se la llama
“Cara” a la otra “Sol” entonces:

={CC, CS, SC, SS}
Experimentos
Supóngase ahora que se lanza un
Aleatorios
dado legal. Entonces:

={1, 2, 3, 4, 5, 6,}

Son aquellos experimentos no determinísticos
cuyos resultados están regidos por la
casualidad (azar)

PROBABILIDADES
Retomando el caso del lanzamiento de las dos
monedas, ¿hay otro posible resultado en este
experimento?.

O bien en el caso del lanzamiento
del dado Espacio Muestral

M = {CC, CS, SC, SS}
Son todos los resultados
M = {1, 2, 3, 4, 5, 6,} que están asociados a un
experimento aleatorio

Supóngase que el lanzamiento del Es subconjunto del espacio
dado se está interesado en la muestral, es decir, sus
ocurrencia de una cara impar resultados pertenecen al
espacio muestral
A = {1,3,5} Evento

PROBABILIDADES

Espacio Muestral

M
2
A Evento
1

3 5
Suceso (wi)

Letras
4 6 Mayúsculas del
Alfabeto

A= (wiεA /wi ε M

PROBABILIDADES
Simples Un solo experimento aleatorio

Experimentos
Cuando ocurren dos o más
Aleatorios experimentos simples al mismo
tiempo o bien uno después del
Compuestos otro

Unidos por la Unidos por la
partícula “ó” (v) partícula “y” ( )

Los experimentos simples que Los experimentos simples que
lo componen ocurren de lo componen ocurren al mismo
forma sucesiva tiempo

M = {M1UM2U…Mi} M = {M1∩M2…Mi}

PROBABILIDADES

Simples Un solo experimento aleatorio

Experimentos M = {1, 2, 3, 4, 5, 6,}
Aleatorios
Cuando ocurren dos o más
experimentos simples al mismo
Compuestos
tiempo o bien uno después del
otro

M = {CC, CS, SC, SS}

PROBABILIDADES
Experimentos compuestos El espacio muestral es el
unidos por la partícula “y” producto cartesiano de los
espacios muestrales simples
que lo conforman

M3
M2 M1*M2 C S
M1 C S
CC CCC CCS
C CC CS
CS CSC CSS
S SC SS
SC SCC SCS

SS SSC SSS

PROBABILIDADES
3era Moneda
Experimentos compuestos
2da Moneda C CCC unidos por la partícula “y”

C Diagrama del Árbol
1ra Moneda S CCS
Diagrama de Senderos
C CSC
C S
S

C CSS
M C
S SCC
S
SCS
C
SSC
S
S
SSS

PROBABILIDADES

De acuerdo a cómo ocurren los eventos se pueden
establecer algunas relaciones entre ellos tales como:
A B M A B M

AUB AUB

A B M
M
A
A

AΠB

PROBABILIDADES
Probabilidad A priori. Llamada
Clásico También Probabilidad de
Laplace

Enfoques de
Subjetivo
Probabilidades

Frecuencia
Probabilidad A posteriore
Relativa

PROBABILIDADES
Todos los sucesos de un
Supuesto experimento aleatorio tienen
la misma posibilidad de
ocurrir, entonces:
Probabilidad
Subjetivo na
Clásica P A
M

0 P A 1
Frecuencia
Probabilidad A posteriore
Relativa

Si en la realización de
n experimento aleatorio aparece
P A un evento A “n veces ≤
N
N”,entonces:

PROBABILIDADES

P[AUB] = P [A] + P [B]

P[AUB] = P [A] + P [B] – P[AΠB]

Teoremas Básicos de P[Ø] = 0
Probabilidades
P[M] = 1

c
P A 1 P A

0 P A 1/ 0 P A 100 %

PROBABILIDADES
Eventos Dependientes
Cuando la ocurrencia de un evento está en dependencia de otro
evento, se dice que éste es dependiente.

Sea A y B dos eventos en el espacio muestral “M”, se dice que A
es un evento dependiente de B sí;

P A P A ;P B 0 o bien: P B P B ;P A 0
B A

P A B P B A
P A P A ;P B 0 P B P B ;P A 0
B P B A P A

Estas probabilidades se pueden calcular de dos formas:
• Respecto al espacio muestral original
• Respecto al espacio muestral del evento condicionante

PROBABILIDADES

En una institución de Educación Superior se tiene 300
docentes, de los cuales 100 son casados y 30 divorciados. En
dicha institución hay 200 hombres, 85 de los cuales son casados
y 95 son solteros. Determinar cual es la probabilidad de
seleccionar un docente al azar:
a. Que sea mujer
b. Que sea soltero (a)
c. Que sea un hombre y esté casado (a)
d. Que sea una mujer divorciada
e. Dado que el docente es casado (a), ¿cuál es la probabilidad
que sea hombre?
f. Si el docente seleccionado es hombre, ¿cuál es la probabilidad
que sea casado?

PROBABILIDADES

En una universidad el 70% de los estudiantes son de Ciencias,
30% de Letras. De los estudiantes de Ciencias el 60% son
varones y los de Letras son varones el 40%. Si se elige al azar
un estudiante, calcule la probabilidad que:
a. Sea mujer
b. Se estudiante varón dado si es de Ciencias
c. Sea estudiante de Ciencias dado que es varón
d. Sea estudiante de Ciencias y varón.

PROBABILIDADES
Eventos Independientes
Cuando la ocurrencia de un evento no está en dependencia de la
ocurrencia de otro evento, se dice que éstos son independientes.

Sea A y B dos eventos en el espacio muestral “M”, se dice que A
es un evento independiente de B sí se cumple con cualquiera de
las siguientes condiciones:

P A B
P A P A ;P B 0
B P B

P B A
P B P B ;P A 0
A P A

P A B P A *P B

PROBABILIDADES
Probabilidad Total
Sea A1, A2, …, Ak, eventos que forman una partición del espacio
muestral M y sea B, un evento en M. Si las probabilidades P[A1],
P[A2], P[A3]…, P[Ak], si P[B/A1], P[B/A2], P[B/A3]…, P[B/Ak]
son probabilidades conocidas entonces:

P B P A1 P B / A1 P [ A 2 ] P [ B / A 2 ] ... P [ Ak ] P [ B / Ak ]

Probabilidad Total =
k
P B P Ak P B / Ak
i 1

PROBABILIDADES
Teorema de Bayes
Sea A1, A2, …, Ak, eventos que forman una partición del espacio
muestral M y sea B, un evento en M. Si las probabilidades
P[A1], P[A2], P[A3]…, P[Ak], si
P[B/A1], P[B/A2], P[B/A3]…, P[B/Ak]. Si B ya ha ocurrido y se
está interesado en saber a cual de los eventos que forman la
partición muestral se ha debido su ocurrencia, entonces se usa el
denominado Teorema de Bayes

P Ak P B
P Ak Ak
B k
P Ak P B
i 1 Ak

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