Evaluación aplicada sobre el tema de introducción a Límites de una función en la UFA - ESPE

1. Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
EXTENSIÓN LATACUNGA
EVIDENCIA DEL APRENDIZAJE – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL UNIDAD 1
LATACUNGA 10 DE SEPTIEMBRE DE 2013
Sea ordenado, mire bien cada número y signo de los ejercicios planteados, transcriba los enunciados y resuelva:
1. Trace la gráfica de la función dada y explique en sus propias palabras cuál es el límite cuando 3−→x , si existe o
no:
( )



−=
−≠−
=
3si;2
3si;4 2
x
xx
xf
Solución:
El límite sí existe porque la gráfica de la función cuando 3−→x desde la izquierda y desde la derecha (líneas rojas)
converge hacia un solo lugar geométrico (líneas verdes). El límite de la función por partes ( )xf cuando 3−→x es
5−=L
2. Mediante factorización simplifique hasta levantar la indeterminación y calcule el valor exacto del siguiente límite:
( )
( )
L
xx
xx
lím
x
=
+−
−−
→
103
202
2
1612
2
Iván Collantes Vásconez
Docente UFA – ESPE

2. Solución:
( )
( ) 0
0
1612
2
103
202
2
=
+−
−−
→
xx
xx
lím
x
ideterminación ⇒
( )
( )
( )( )[ ]
( ) ( )[ ]10
2
20
103
202
42
12
1612
2
+−
+−
=
+−
−−
xx
xx
xx
xx ( ) ( )
( ) ( )1020
2020
42
12
+−
+−
=
xx
xx
( )
( )10
20
4
1
+
+
=
x
x
y por el teorema de la sustitución:
( )
( )10
20
42
12
+
+
=L 10
20
6
3
= 1010
20
23
3
⋅
= 10
10
2
3
=
10
2
3






=
3. Si ( ) 13 += xxf , calcule el límite
( ) ( ) L
h
xfhxf
lím
h
=
−+
→ 0
Solución:
( ) ( ) ( )
0
01313
00
=
+−++
=
−+
→→ h
xhx
lím
h
xfhxf
lím
hh
indeterminación
( )( ) ( )( )
( )( )1313
13131313
++++
++++
⋅
+−++
xhx
xhx
h
xhx ( )
( )( )1313
1313
++++
−−++
=
xhxh
xhx
( )( )1313
13133
++++
−−++
=
xhxh
xhx
( )( )1313
3
++++
=
xhxh
h
( ) 1313
3
++++
=
xhx
Por el teorema de sustitución:
( ) 13103
3
++++
=
xx
L
1313
3
+++
=
xx 132
3
+
=
x
4. Utilizando la técnica de racionalización, calcule el límite exacto de: L
x
x
lím
x
=
+−
+−
→ 31 72
78
Solución:
0
0
72
78
31
=
+−
+−
→ x
x
lím
x
indeterminación
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )( )3 23
3 23
3
7724
7724
78
78
72
78
++++
++++
⋅
++
++
⋅
+−
+−
=
xx
xx
x
x
x
x
( ) ( )( )
( ) ( )7878
772478 3 23
++−−
++++−−
=
xx
xxx
Iván Collantes Vásconez
Docente UFA – ESPE

3. ( )
78
7724 3 23
++
++++
=
x
xx
Por el teorema de sustitución:
( )
718
717124 3 23
++
++++
=L
82
444 ++
=
24
12
=
2
3
=
5. Calcule el límite (si es que existe):
( ) ( ) ( ) L
x
xxxxxx
lím
x
=
∆
+−−+∆+−∆+
→∆
1212 22
0
Solución:
( ) ( ) ( )
0
0
0
12121212 2222
0
=
−+−+−
=
∆
+−−+∆+−∆+
→∆
xxxx
x
xxxxxx
lím
x
indeterminación
( )[ ] ( )
x
xxx
∆
−−−∆+
22
11 ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
x
xxxxxx
∆
−−−∆+−+−∆+
=
1111 [ ] [ ]
x
xxx
∆
∆∆+−
=
22
xx ∆+−= 22
Por el teorema de sustitución: 22 −= xL
6. Aplicando la definición rigurosa de límite ( ) εδ <−⇒<− Lxfcx , obtenga la relación εδ − (δ en función
de ε ) y luego calcule δ para un valor dado de 1.0=ε :
L
x
x
lím
x
=
+
+
−→ 1
13
1
Solución:
3
1
13
1
=
+
+
−→ x
x
lím
x
El límite es 3 por cualquier método, ya sea por entornos, gráficamente o por factorización.
( ) ε<− Lxf
ε<−
+
+
3
1
13
x
x
( )( )
( )
ε<−
+
+−+
3
1
11 2
x
xxx
ε<−+− 312
xx
ε<−− 22
xx ε<++− 22
xx
022
<−−− εxx 022
>+−− εxx
Iván Collantes Vásconez
Docente UFA – ESPE

4. Números críticos: Números críticos:
( )
2
2411 ε−−−±
=x
( )
2
2411 ε+−−±
=x
2
491
1
ε++
=x Descartado porque x→ –1
2
491
3
ε−+
=x Descartado porque x→ –1
2
491
2
ε+−
=x
2
491
4
ε−−
=x
Por lógica
2
491
2
491 εε +−
>
−−
, por lo tanto 4x está a la derecha de –1 y 2x a la izquierda.
2
491
2
491 εε −−
<<
+−
x
Ahora podemos calcular la distancia δ sabiendo que el valor absoluto δ<− cx , donde 1−=c :
cx −=δ ⇒ ( )1
2
491
−−
−−
=
ε
δ
1
2
491
+
−−
=
ε
δ 1
2
491
+
+−
=
ε
δ
2
2491 +−−
=
ε
δ
2
2491 ++−
=
ε
δ
2
493 ε
δ
−−
=
2
493 ε
δ
+−
=
Cualquiera de los dos valores δ es el mismo ya que se trata de un valor absoluto, así para 1.0=ε
033.0
2
1.0493
=
⋅−−
=δ ∧ 033.0033.0
2
1.0493
=−=
⋅+−
=δ (valor absoluto)
Preservemos el medioambiente. Antes de imprimir un documento piense bien si es necesario hacerlo.
Iván Collantes Vásconez
Docente UFA – ESPE
δ δ
2
491
2
ε+−
=x
2
491
4
ε−−
=x