problema de cálculo.

1. EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICAS I 3-2-2006
(Tiempo de realización: 3 horas)
GRUPO……
NOMBRE……………………………………………… NUMERO____
NOTA
No calculadora, ni lápiz ni móvil.
Empezar la resolución de cada ejercicio en la hoja de enunciados respectiva.
Entregar todas las hojas (incluidos los enunciados y las hojas en sucio).
Entregar cada problema por separado.
Los alumnos que no pongan sus datos completos no tendrán su nota publicada.
La subida de nota solo se aplicará a aquellas que superan el 4. (Máxima subida = 0,8 p)
PREGUNTA 0
Derivar dando el resultado simplificado cuando sea posible:
a1) 3 5 2
ln 2x y y y x y+ = − 0,8 p a2) ( ) ( ) ( )
ln 23
3
x
f x e x x= + + − 0,8 p
a3) ( )
( )
( )2
ln 1
1
x
f x
x
+
=
+
a4)
1 sin
ln
1 sin
x
y
x
+
=
−
a5) ( )
1 cos
arctan
1 cos
x
f x
x
−
=
+
0,8 p 1,2 p 1,4 p
Se valorarán los cálculos y simplificaciones.
Puntuación: 5.
Es necesario obtener al menos un 2.
Representa un 1 en el total del examen.
1

2. EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICAS I 3-2-2006
(Tiempo de realización: 3 horas)
GRUPO……
NOMBRE……………………………………………… NUMERO____
NOTA
PREGUNTA 1
a) Estudio de la monotonia de una función utilizando el teorema de Taylor. 1 p
b. Dada la función ( )
( )
2
ln 2 1 1
1
ln 1
x x
f x x
x
x
 − − <

=  + 
≥  ÷
 
1,5 p
b1) Demuestra que tiene por lo menos un cero sin calcularlo.
b2) Estudia las hipótesis del teorema de Lagrange en el intervalo [0,2] (solo las hipótesis) y
expresa la conclusión (sin realizar los cálculos).
Opcional 1: Estudia la función ( )
1
ln
x
f x
x
+ 
=  ÷
 
2

3. EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICAS I 3-2-2006
(Tiempo de realización: 3 horas)
GRUPO……
NOMBRE……………………………………………… NUMERO____
NOTA
PREGUNTA 2
a) ¿Cuál es la interpretación geométrica del concepto de derivada?.
Sin calcular la expresión analítica de ( )f x obtener la representación gráfica de ( )f x′ en el
intervalo (-4,6), si ( )f x tiene la siguiente representación gráfica. 1 p
Cada unidad es un cuadrito
b.- Calcular los siguientes límites
b1)
2
lim 2
x
x
→
− b2) 32
1
lim
2x x→ −
b3)
3
1
1
lim
1x
x
x→
−
−
b4)
2
0
lim
x
x x
x x→
+
−
b5) 30
lim
x
tgx senx
sen x→
−
1,7 p
Opcional 2: Demuestra la interpretación geométrica de la derivada
3

4. EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICAS I 3-2-2006
(Tiempo de realización: 3 horas)
GRUPO……
NOMBRE……………………………………………… NUMERO____
NOTA
PREGUNTA 3
a.- Un campesino tiene 400 m de cerca y desea cerrar una superficie rectangular. Determinar
las dimensiones del rectángulo para que el recorrido entre dos esquinas opuestas sea mínimo.
0,7 p
b.- Sea la función ( ) 2
0ax
f x x e a−
= >
b1) Estudiar máximos, mínimos y puntos de inflexión.
b2) Estudiar las asíntotas
b3) Utilizando la información ya obtenida represéntala para a=1 1,5 p
Opcional 3: Calcular aproximadamente 3
11 utilizando el teorema adecuado (u otra estrategia).
4

5. EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICAS I 3-2-2006
(Tiempo de realización: 3 horas)
GRUPO……
NOMBRE……………………………………………… NUMERO____
NOTA
PREGUNTA 4
a) Resolver las integrales 1)
4
1
x
dx
x+∫ 2)
3
2
4
1
x x
dx
xx
 
− ÷ ÷− 
∫ 0,6 p
b) Sabiendo que el coste marginal para producir x unidades de un producto viene dado por la
función ( ) lnf x x x= y que el coste total de producir la primera unidad es 0,75 unidades
monetarias, ¿cuál será el coste de producir 6 unidades?. 0,75 p
c) Calcular el área de la región limitada por la parábola
2
2 2y x= − , el eje de abcisas y la recta
tangente a la función y de pendiente 1/4. 1,25 p
5

6. EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICAS I 3-2-2006
(Tiempo de realización: 3 horas)
GRUPO……
NOMBRE……………………………………………… NUMERO____
NOTA
PREGUNTA 4
a) Resolver las integrales 1)
4
1
x
dx
x+∫ 2)
3
2
4
1
x x
dx
xx
 
− ÷ ÷− 
∫ 0,6 p
b) Sabiendo que el coste marginal para producir x unidades de un producto viene dado por la
función ( ) lnf x x x= y que el coste total de producir la primera unidad es 0,75 unidades
monetarias, ¿cuál será el coste de producir 6 unidades?. 0,75 p
c) Calcular el área de la región limitada por la parábola
2
2 2y x= − , el eje de abcisas y la recta
tangente a la función y de pendiente 1/4. 1,25 p
5