Nivelación de Física II

1. Profesor: Julio C. Barreto G. 1 Escuela: 73
NIVELACIÓN DE FÍSICA II
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS
Al intersectar una paralela por una recta llamada transversal o secante, se forman los
siguientes tipos de ángulo:
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES: Son los que están al mismo lado de las paralelas y
al mismo lado de la transversal.
ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS: Son los que están entre las paralelas a distinto
lado de ellas y a distinto lado de la transversal.
ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS: Son los que "fuera" de las paralelas a distinto
lado de ellas y a distinto lado de la transversal.
Las propiedades fundamentales de los ángulos entre paralelas son:
1) Los ángulos correspondientes son iguales entre sí.
2) Los ángulos alternos internos son iguales entre sí.
3) Los ángulos alternos externos son iguales entre sí.
Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.

2. Profesor: Julio C. Barreto G. 2 Escuela: 73
TIPOS DE ÁNGULOS FORMADOS
Ángulos correspondientes entre paralelas.
1 = 5
2 = 6
3 = 7
4 = 8
Ángulos alternos entre paralelas.
Externos 1 = 7
2 = 8
Internos 3 = 5
4 = 6
Son
suplementarios
(suman 180°)
Ángulos contrarios o
conjugados.
1 6
2 5
3 8
4 7
Ángulos colaterales.
1 8
2 7
3 6
4 5

3. Profesor: Julio C. Barreto G. 3 Escuela: 73
OPUESTOS POR EL VÉRTICE
Dos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semirrectas
opuestas a los lados del otro. En la figura los ángulos a, c y b, d son opuestos por el vértice.
Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
Realice las siguientes demostraciones:
1. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
2. Si dos ángulos alternos internos son congruentes entonces los otros dos ángulos
alternos internos también lo son.
3. Los ángulos internos a un mismo lado de la transversal de rectas paralelas, son
suplementarios. Los ángulos externos a un mismo lado de la transversal de rectas
paralelas, son suplementarios.
4. Toda transversal forma con dos paralelas ángulos alternos externos congruentes.
5. Toda transversal forma con dos paralelas ángulos alternos internos congruentes
6. La suma de los ángulos interiores de un triángulo, es igual a dos rectos (180º).
7. La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, es igual a 90º.
8. En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es la suma de las medidas de los
ángulos internos no contiguos.
9. En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es mayor que cualquier ángulo
interior no adyacente.
10. La suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo vale cuatro ángulos rectos
(360º).

4. Profesor: Julio C. Barreto G. 4 Escuela: 73
LEY DE LOS COSENOS
En todo triángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual
a la suma de los cuadrados de los otros dos lados MENOS el doble producto de estos lados
por el coseno del ángulo que forman, así:
Cos Acb-+ c= ba 2222
Cos Bca-+ c= ab 2222
Cos Cba-+ b= ac 2222
De las anteriores expresiones podemos despejar los ángulos y obtener:
ba
cba
CCos
ca
bca
BCos
cb
acb
ACos









222
222222222
Esta ley se aplica cuando: Se conocen dos lados y el ángulo entre ellos (L-A-L).
Se conocen los tres lados (L-L-L).
LEY DE LOS SENOS
En todo triángulo oblicuángulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos
de los ángulos opuestos así:
triángulodelladoscbayángulossonCBADonde
c
CSeno
b
BSeno
a
ASeno
,,,,,
Esta ley se aplica cuando se conocen: Dos ángulos y un lado (A - L–A).
Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (L–L–A).
Ejemplos:
1) Resuelve el siguiente triángulo: .60,3,2 0
 ba Según la figura:
Solución: Usando la ley del coseno

5. Profesor: Julio C. Barreto G. 5 Escuela: 73
        
7
7
613
2
1
1294
60cos32232cos2
2
2
2
222222
c =
=c
-=c
-+=c
°-+c)(ab-+ b= ac











Determinemos los ángulos  y .
   
       
  
 
  
 
°.=
=
=α
+
=α
+
=α
bc
- a+ cb
=ααbc+c=ba
940
7
2
cos
7
2
cos
732
479
cos
732
273
cos
2
coscos2:Para
1
222
222
222


















   
       
  
 
 
 
°.=
=
=
+
=
+
=
ac
- b+ ca
=ac+c=ab
179
72
1
cos
72
1
cos
74
974
cos
722
372
cos
2
coscos2:Para
1
222
222
222






















6. Profesor: Julio C. Barreto G. 6 Escuela: 73
Note que la suma de los tres ángulos es 180°.
.18060179940 °° =° +.° +.α+ β + γ =
2) Resuelva el triángulo presentado en la figura. Dado: α = 35°, β =15° y c = 5. Según la
figura:
Solución: De acá tenemos que:
°
°°
°°
°=° +° +°α+ β + γ =
130
50180
18050
1801535180








Luego, usando la ley del seno:
5
sinsinsin 

ba
De aquí, tenemos que:
 
  .74,3
130sin
35sin5
sin
sin5
5
sinsin
0
0
aaa
a



 
  .69,1
130sin
15sin5
sin
sin5
5
sinsin
0
0
bbb
b



Nota: La fórmula para la ley de senos es:
cba
 sinsinsin
 no hay
diferencia si la tomas así:
 sinsinsin
cba
 pero no las puedes mezclar.

7. Profesor: Julio C. Barreto G. 7 Escuela: 73
Ejercicio:
I. A partir de la figura dada determine los elementos restantes del triángulo
teniendo en cuenta las condiciones de cada caso y una de las leyes conocidas:
a)  65 ,  50 , 12b
b)  60 , 7a , 7c
c) a=7, b=9, c=12
d) '3056 , 10b , 5c
e) 120 , 4a , 8c
f) 5c , 3b , 6a
TEOREMA DE PITÁGORAS
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados las longitudes de los catetos.
Inversamente: si en un triángulo cuyos lados miden a, b y c se verifica que
Entonces el triángulo es rectángulo.
APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
1. Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa:
Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto
mide la hipotenusa?
 

ab
cA B
C

8. Profesor: Julio C. Barreto G. 8 Escuela: 73
2. Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto:
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto
mide otro cateto?
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Sea el triángulo rectángulo ABC, en donde A y B son ángulos agudos y el ángulo C
es recto, y además los lados “a” y “b” Se llaman catetos y el lado “c” se llama hipotenusa.
En función del ángulo A, el lado “a” se llama cateto opuesto y el lado “b” cateto
adyacente. Veamos la figura:

9. Profesor: Julio C. Barreto G. 9 Escuela: 73
Luego:
El Seno del ángulo x (sen x) en un triángulo rectángulo, es la razón que existe entre
el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).
c
a
ahipotyenus
esto a xCat. opu
sen x 
El Coseno del ángulo x (cos x) en un triángulo rectángulo, es la razón entre el cateto
adyacente al ángulo x (b) y la hipotenusa (c) de dicho triángulo.
c
b
hipotenusa
acente a xCat. ady
x cos
La Tangente del ángulo x en un triángulo rectángulo, es la razón existente entre el
cateto adyacente (b) y el opuesto (a) al ángulo.
b
a
nte a xCat.adyace
puestoa xCat. o
tag x 
La Cotangente del ángulo x en un triángulo rectángulo es la razón existente entre el
cateto adyacente (b) y el apuesto (a) al ángulo x.
a
b
to a xCat. opues
acente a xCat. ady
ctg x 
La Secante del ángulo x (Sec x) es la razón que existe entre la hipotenusa (c) y el
cateto adyacente (b) a x en un triángulo rectángulo.
b
c
ente a xCat. adyac
tenusahipo
x sec
La Cosecante del ángulo x (Csc x) en un triángulo rectángulo es la razón entre la
hipotenusa (c) y el cateto opuesto a x.
a
c
to a xCat. opues
tenusahipo
x csc

10. Profesor: Julio C. Barreto G. 10 Escuela: 73
COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR EN EL PLANO.
Todo vector se puede expresar como la suma de otros dos vectores a los cuales se
les denomina componentes.
.
Cuando las componentes forman un ángulo recto, se les llama componentes
rectangulares. En la figura 2 se ilustran las componentes rectangulares del vector rojo.
Las componentes rectangulares cumplen las siguientes relaciones


asena
aa
y
x

 cos
Teniendo en cuenta que:
x
y
yx
a
a
aaa


tan
22
Las 2 primeras ecuaciones son para hallar las componentes rectangulares del vector
a. y Las 2 últimas son para hallar el vector a (Teorema de Pitágoras a partir de sus
componentes rectangulares. La última ecuación es para hallar la dirección del vector a
(ángulo) con la función trigonométrica tangente.

11. Profesor: Julio C. Barreto G. 11 Escuela: 73
Ejemplo: Una fuerza tiene magnitud igual a 10.0 N y dirección igual a 240º.
Encuentre las componentes rectangulares y represéntelas en un plano cartesiano.
 
  NsenF
NF
y
x
6.82400.10
0.5240cos0.10
0
0


El resultado nos lleva a concluir que la componente de la fuerza en X tiene módulo
igual a 5.00 N y apunta en dirección negativa del eje X. La componente en Y tiene módulo
igual a 8.66 y apunta en el sentido negativo del eje Y.
Esto se ilustra en la figura:
Y la dirección es 00001
8.2391808.59180
0.5
6.8
tan 







 
 en sentido Oeste-
Sur.
EJERCICIOS RESUELTOS DE LEY DE COULOMB Y CAMPO ELÉCTRICO
1) Suponga que se tiene tres cargas puntuales localizadas en los vértices de un triángulo
recto, como se muestra en la figura, donde q1 = -80 C, q2 = 50 C y q3 = 70 C,
distancia AC = 30 cm, distancia AB = 40 cm. Calcular la fuerza sobre la carga q3 debida
a las cargas q1 y q2.
Solución:
Teniendo las transformaciones: AC =30 cm=0.3 m y AB = 40 cm=0.4 m. Hallemos
la separación entre q3 y q1 se obtiene usando el Teorema de Pitágoras:
(CB)2
= (AC)2
+ (AB)2
= (0.3 m)2
+ (0.4 m)2
, de donde CB = 0.5 m.

12. Profesor: Julio C. Barreto G. 12 Escuela: 73
Las direcciones de las fuerzas sabemos coinciden con las líneas que unen a cada par
de cargas puntuales. La fuerza que q1 ejerce sobre q3, F13, es de atracción. La fuerza que q2
ejerce sobre q3, F23, es de repulsión. Así, las fuerzas F13 y F23 tienen las direcciones que se
indican en el análisis vectorial de la figura de abajo:
Las magnitudes de tales fuerzas son:
F13 = [(9x109
Nm2
/C2
)(80x10-6
C)(70x10-6
C)]/ (0.5 m)2
= 201.6 N
F23 = [(9x109
Nm2
/C2
)(5 0x10-6
C)(70x10-6
C)]/ (0.3 m)2
= 350 N
Conviene disponer ejes coordenados xy tal como se indica en la figura, con el origen
en la carga donde deseamos calcular la fuerza resultante, en este caso en q3.
Llamando F3 a la fuerza resultante sobre q3, entonces F3 = F13 + F23. Luego, en
términos de componentes x e y:
F3x = F13x + F23x
F3y = F23y -F13y
De acuerdo con la figura:

13. Profesor: Julio C. Barreto G. 13 Escuela: 73
Luego:
F13x = F13cosθ = (201.6 N)x(0.4/0.5) = 161.3 N;
F13y = F13senθ = (201.6)x(0.3/0.5) = 121 N
F23x = 0;
F23y = F23 = 350 N
De acá tenemos:
F3x = 161.3 N + 0 N = 161.3 N;
F3y = 350 N -121 N = 229 N
La magnitud de la fuerza neta F3 se obtiene de (F3)2
= (F3x)2
+ (F3y)2
, resultando
F3 = 280 N.
El ángulo de esta fuerza se obtiene de tgθ = F3y/ F3x= (229/161.3) = 1.42 => θ= 54.8º
CAMPO ELÉCTRICO
Donde:
E=Campo eléctrico, intensidad del
F=Fuerza
q=Carga magnitud colocada en el campo
Se dice que existe un campo eléctrico en una región del espacio en la cual una carga
eléctrica experimentará una fuerza eléctrica. La magnitud de la intensidad del campo
eléctrico (E) se da por la fuerza (F) por unidad de carga (q).
Si q es (+): E y F tendrán Si q` es (-) la fuerza (F) estará
la misma dirección. dirigida opuestamente a E.

14. Profesor: Julio C. Barreto G. 14 Escuela: 73
Ejercicios:
1) ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico a una distancia de 2m de una carga de -12
C?
Datos e incógnitas
E=?
r=2m
Q=-12 C
Análisis vectorial
Luego:
2) Dos cargas puntuales Q1=-6nC y Q2=+6nC, están separadas 12 cm, como se muestra
en la figura. Determínese el campo eléctrico en el punto A y en el punto B.
Solución: En punto A El campo en A debido a q1
  
 
CNx
m
CxCNmx
r
kQ
E /1038.3
04.0
106/109 4
2
29229
2
1
1 



(Izquierda)
Y en punto A El campo en A debido a q2

15. Profesor: Julio C. Barreto G. 15 Escuela: 73
  
 
CNx
m
CxCNmx
r
kQ
E /1043.8
08.0
106/109 34
2
29229
2
1
1 



Puesto que los vectores tienen la misma dirección y sentido, la intensidad resultante
en A es:
El campo B ejercido por q1
La ∑ vectorial del campo eléctrico E
De donde se puede comprobar que: y así:
 Módulo:
 Dirección:

16. Profesor: Julio C. Barreto G. 16 Escuela: 73
VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS
0° - 90° - 180° - 270° y 360°
Ángulos
Funciones
0° 90° 180° 270° 360°
Seno 0 1 0 -1 0
Coseno 1 0 -1 0 1
Tangente 0 No 0 No 0
Cotangente No 0 No 0 No
Secante 1 No -1 No 1
Cosecante No 1 No -1 0
VALORES NOTABLES
Ángulos
Razones
30º 45º 60º
Seno
2
1
2
2
2
3
Coseno
2
3
2
2
2
1
Tangente
3
3 1 3
Cotangente 3 1
3
3
Secante
3
32 2 2
Cosecante 2 2
3
32
SISTEMA SEXAGESIMAL (DEG): Es el sistema cuyas unidades de medidas van de 60 en
60. La unidad del sistema sexagesimal en la medida de ángulos, es el grado (° sexagesimal),
el cual se define como la medida central del ángulo subtendido por un arco de círculo igual
a 1
/3600 ava parte de la circunferencia de un círculo. Un minuto (‘) es la
60
1
ava parte de un
grado; un segundo (“) es la
60
1
ava parte de un minuto, o sea
3600
1
ava parte de un grado.