Balance de Energía Mecánica. Ecuación de Bernoulli. Problemas Resueltos y Propuestos

1. Coordinación de Ciencia y Cultura de la Alimentación.
Unidad Curricular: Principios de Ingeniería Aplicada a los Alimentos I.
Prof. Mario Yovera Reyes
1
UNIDAD II: Mecánica de Fluidos
1.1. Balance de materia: Tomando como sistema o volumen de control, el volumen encerrado en
el tubo de corriente y considerando flujo permanente:
El fluido entra por el área 1A y sale por el área 2A con las velocidades 1 y 2 , y densidades 1
y 2 respectivamente. Aplicando el balance de materia, se obtiene:
  SE mm   21 mm   Ec.1
Por otro lado, se tiene que: Am   Ec.2
Sustituyendo la Ec.2 en la Ec.1: 222111 AA   Ec.3 Ecuación de continuidad
Donde: m : flujo másico;  : densidad del fluido; A: área del conducto
Se supone que el fluido es incompresible; es decir, la densidad del fluido permanece constante en
el paso por el conducto. La Ec.3 se puede simplificar:
  21  2211 AA    CtteAA  2211  Ec.4
El término de la Ec.4 es una constante conocida con el nombre de flujo volumétrico, gasto
volumétrico o caudal. Se denota con el símbolo Q ó

V , y sus unidades en el SI son segm3
y en
el Sistema Americano de Ingeniería son segft3
. AQ   mQ   Ec.5
1.2. Balance de energía: Una clase importante de operaciones en ingeniería son en los cuales los
flujos de calor y los cambios de energía interna tienen menor importancia que los cambios de
energía cinética y potencial y de trabajo externo. La mayoría de estas operaciones implican el
flujo de fluidos hacia, desde y entre tanques, reservas, pozos, unidades de proceso, depósitos de
transportes, tuberías y cañerías. Felder y Rousseau (1991).
En todas las plantas procesadoras de alimentos, el transporte de materias primas,
ingredientes, componentes, productos y otros fluidos desde un punto a otro en los procesos es una
operación esencial. El balance de energía se plantea a partir de la expresión matemática de la 1º
ley de la termodinámica, como se verá a continuación: Se considera un sistema abierto con un
flujo de entrada y uno de salida, cada uno con una velocidad de flujo másico m , el balance de
energía (1º ley de la termodinámica) en este proceso en estado estable (estacionario) queda de la
forma: EPK WQEEH   Ec.6-1
1
1
1A
2
2
2A

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2
EPK WQEEPVU  Ec.6-2
EWQzgm
m
PVmum 

 


2
ˆ
2

Ec.6-3
Se supone un solo fluido incompresible en un proceso en estado estable, el fluido de proceso
es un líquido, de manera que VˆVˆVˆ SE  . Si se reemplaza el volumen específico Vˆ por 1 ,
donde  es la densidad del fluido, y se ajusta con el factor cg para cumplir con el principio de
homogeneidad dimensional, entonces la Ec. 6-3 puede escribirse:
m
W
m
Q
z
g
g
g
P
u E
cc 


 




2
2
Ec.6-4
m
W
m
Q
uz
g
g
g
P E
cc












2
2


Ec.6-5
El trabajo externo EW es el trabajo de eje que las turbinas, compresores o bombas en la línea
del proceso realizaron sobre el fluido. En muchos casos, solo se transfiere una pequeña cantidad
de calor hacia o desde los alrededores y existe un cambio muy pequeño en la temperatura de la
entrada a la salida; no ocurren cambios de fase ni reacciones químicas. Aún bajo esta
circunstancia, una parte de la energía cinética y potencial siempre se convierte en energía térmica
como resultado de la fricción debida al movimiento del fluido a través del sistema. En
consecuencia, el término  mQu  de la Ec.6-5 siempre tiene una componente positiva,
llamada pérdida por fricción ó factor de fricción, cuyo símbolo es Rf . Luego la Ec.6-5 queda:
m
W
fz
g
g
g
P E
R
cc 





2
2


Ec.6-6
La Ec.6-6 se conoce como ecuación de balance de energía mecánica. Es válida para el
flujo de un fluido incompresible a través de un proceso en estado estable en un sistema abierto,
bajo condiciones donde las pérdidas de calor y los cambios de energía interna que se deben a
cualquier causa que no sea la fricción, son despreciables. Una forma simplificada de la Ec.6-6, se
obtiene para procesos que se llevan a cabo sin fricción 0Rf en los que no se efectúa trabajo de
eje 0EW :
0
2
2


 z
g
g
g
P
cc




Ec.6-7
La Ec.6-7, dimensionalmente correcta, se conoce como ecuación de Bernoulli; en honor a
Daniel Bernoulli (1700-1782) uno de los investigadores prominentes de la familia Bernoulli. Para
expresar las formas de energía en términos de longitud, se toma como factor común de la
ecuación, el término cgg , luego la Ec.6-7 queda:

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3
0
2
2




z
g
g
g
P
c




ó 0
2
2


 z
g
P




Ec.6-8
El término cgg conocido como peso específico  , es decir: cgg 
La ecuación de Bernoulli puede aplicarse a un fluido real  0 ó 0 ; pero debe
adicionarse el término Rf al lado izquierdo de la Ec.6-8, como en la Ec.6-6. Finalmente, la Ec.6-
9 se conoce como ecuación de Bernoulli para un fluido real
0
2
2


 Rfz
g
P




Ec.6-9
Análogamente, se puede obtener una forma de la Ec.6-6, donde el trabajo mecánico por
unidad de masa quede expresado en unidades de longitud, de esta forma:
BR Hfz
g
P


 



2
2
Ec.6-10
Donde BH representa específicamente la energía en términos de altura de la bomba
1.3. Pérdidas de energía por efectos de fricción: Al desplazarse el fluido a través de tuberías y
accesorios pierde energía por fricción, para vencer las fuerzas no conservativas que impiden el
movimiento, producto del efecto de rozamiento.
Se determina con la ecuación:
i
R
D
LF
f




2
2

Ec.6-11
El factor de fricción Rf en unidades de kgmN  ó mf LbftLb  , también en m ó ft
Para flujo en régimen laminar, se determina el factor de fricción por la relación:
Re
64
N
F  Ley de Poiseuille Ec.6-12
Si el régimen del fluido es turbulento se determina el factor de fricción empleando el diagrama de
Moody con el número de Reynolds y especificaciones de la tubería. (Ver gráfico anexo)

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4
GUÍA DE PROBLEMAS RESUELTOS
1. Se desea vaciar n-hexano ( 6590,r  ) desde un tanque; mediante una tubería de in,250 .
La pérdida por fricción en la tubería es de mf LbLbft, 80 . ¿Cuánto tiempo llevaría drenar gal5
de n-hexano?; sin tomar en cuenta el cambio en el nivel del líquido durante el proceso,
suponiendo que tanto el punto 1 (en la superficie del líquido del tanque) como el punto 2 (en el
tubo que está justo antes de la salida) están a la presión atmosférica
Solución:
 Condiciones iniciales:
Punto 1: ATMPP 1 segft01  ft,z 521 
Punto 2 : ATMPP 1 ?2 ftz 02 
 Balance de energía mecánica: Se aplica la Ec.6-6
m
W
fz
g
g
g
P E
R
cc 





2
2


 Datos y resultados preliminares:
0P 2
2
2
1
2
2
2
  ft,,zzz 5252012 
mfR LbLbft,f  80 mfc LbLbgg 1 2
17432 segLbftLb,g fmc 
Sustituyendo datos y resultados en la Ec.6-6, se tiene: 




 



m
f
Lb
Lbft
08,05,2
174,322
0
2
2
2222
2 410917432271 segft,segbLftbL,bLbLft, fmmf 
segft,segft, 46104109 22
2 
ft,52
1
2

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5
 Cálculo del caudal:
min
ft
,
min
ges
ges
ft
,
in
ft
in,
seg
ft
,AQ
33
3
2
222 2140
1
60
105653
12
1
250
4
4610 









 

 Cálculo del tiempo de drenaje:
min,
lag,
tf
min
tf
,
lag
Q
V
t
t
V
Q 123
487
1
2140
5 3
3







2. Se bombea agua desde un depósito muy grande a razón de mingal.0002 . Determina la
potencia mínima requerida de la bomba en hp
Solución: Condiciones iniciales:
Punto 1: psia,PP ATM 7141  segft01  ftz 101 
Punto 2 :   psia,psi,PPP ATMMan 734714202  ?2 ftz 402 
 Balance de energía mecánica: Se aplica la ecuación de Bernoulli Ec.6-10
BR Hfz
g
P


 



2
2
 Datos preliminares:
mfc LbLbgg 1 3
4362 ftLb, m 2
17432 segft,g  0Rf
ft40
ft10
ft1
ft2
psig20
1
2

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6
 Cálculo del peso específico del agua:
33
436214362 ftLb,bLLbftbL,gg fmfmc  
 Cálculo del caudal:
seg
ft
,
seg
nim
lag,
ft
nim
lag
.Q
33
4564
60
1
487
1
0002 







 Cálculo de la diferencia de presión:
2
2
212 02880
1
12
2020714734
ft
Lb
,
ft
in
in
Lb
psia,,PPP
ff







 Cálculo de la velocidad y de la diferencia de velocidad:
    seg
ft
,
ft
segft,
A
Q
6745
14
4564
2
3
2
2
2 



 2
2
2
2
2
1
2
2
2
19432
seg
ft
, 
 Cálculo de la diferencia de altura: ftzzz 30104012 
Sustituyendo los datos y resultados en la ecuación de Bernoulli, se obtiene:
B
f
f
Hft,ftft,ft,ft
ges
tf
,
ges
ft
,
ft
bL
,
ft
bL
,.







 


63763050134630
174322
19432
4362
08802
2
2
2
3
2
 Cálculo de la potencia de la bomba: Para una potencia mínima de la bomba se utiliza una
eficiencia de la bomba del %100 ; es decir, 1B
seg
ftLb
,.
seg
tf,
tf
lb
,ft,
QHQggH
W
f
f
B
B
B
cB
B









 031821
1
456443626376
3
3





hp,
ttaW,
hp
ges
tfbL
,
ttaW
ges
tfbL
,.W
f
f
B 7638
7745
1
7375620
1
031821 









3. En la elaboración de frutas en almíbar se requiere una corriente de ácido cítrico al mm%5 . El
ácido, que está almacenado en un tanque cilíndrico de diámetro m,251 y capacidad 3
52 m, , se
encuentra elevado a cierta altura del suelo; luego, se abre la válvula y se deja fluir minm, 3
750 a
través de una tubería de inDi 2 , por efecto de la gravedad hacia el tanque acidificador, donde
se mezcla con la fruta y el azúcar; La densidad relativa del ácido cítrico es 021,r  . Calcula la
presión en el tanque de mezclado si el tanque de almacenamiento está abierto a la atmósfera.
Desprecia las pérdidas de energía por fricción.

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7
Solución: Balance de energía mecánica: Se aplica la ecuación de Bernoulli Ec.6-8
0
2
2


 z
g
P




 Datos preliminares:
mc kgN,gg 80669 3
0001 mkg. m 2
80669 segm,g  2
325101 mN.PATM 
 Cálculo del área transversal de la tubería: 2
2
2
002030
3739
1
2
44
m,
ni,
m
niDA it 








 Cálculo de la velocidad lineal:
seg
m
m
seg
m
m
seg
m
A
Q
167,6
00203,0
013,0
00203,0
60
nim1
nim
75,0
2
3
2
3
2
2
2 



 


 Cálculo de energía cinética: 2
22
2
2
2
1
2
2
2
035381676
seg
m
,
seg
m
, 





 
 Cálculo del área transversal del tanque superior:   222
2271251
44
m,m,ATS 



 Cálculo de la altura del tanque superior: m,
m,
m,
A
V
h
TS
TS
TS 0372
2271
52
2
3
 

 Cálculo de la altura del tanque superior 1z : m,m,mhhz TSTotal 96370372101 
 Cálculo de la diferencia de altura: m,m,mzzz 96379637012 
 Cálculo del peso específico del agua:
33
7300210806690001021 mN,.gkN,mgk.,gg mmcREFr  
mhTotal 10
1
2

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8
 Cálculo de la presión en el tanque superior 1P :
2321 3570212103727300210325101
m
N
,.m,
m
N
,.
m
N
.hPP TSATM  

Sustituyendo los datos y resultados en la ecuación de Bernoulli, se obtiene:
096379391
7300210
09637
806692
03538
7300210 32
2
2
3







m,m,
m
N
,.
P
m,
ges
m
,
ges
m
,
m
N
,.
P 
3
33
730021002460246
7300210
00246
7300210


m
N
,.m,Pm,
m
N
,.
P
m,
m
N
,.
P


2122122
122526012252601225260
m
N
,.PP
m
N
,.PP
m
N
,.P 
atm,P
m
N
,.
m
N
,.
m
N
,.P 796147954181122526035072121 22222 
4. Se bombea agua desde un depósito muy grande a razón de min200 gal . Determina la
potencia requerida de la bomba en hp
 mingal
Cap Eficiencia
 %BE
80 20
100 40
150 60
200 80
250 60
300 40
ft40
ft10
ftLong
STDCodo
Catin
45:
90:
40:4


ftLong
ftnContracció
Catin
1:
4:
40:6
psig20
1
2

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9
Solución: Condiciones iniciales:
Punto 1: psia,PP ATM 7141  segft01  ftz 101 
Punto 2 :   psia,psi,PPP ATMMan 734714202  ?2 ftz 402 
 Balance de energía mecánica: Se aplica la ecuación de Bernoulli Ec.6-10
BR Hfz
g
P


 



2
2
Datos preliminares: mfc LbLbgg 1 3
4362 ftLb, m 2
17432 segft,g 
 Cálculo del peso específico del agua:
33
436214362 ftLb,bLLbftbL,gg fmfmc  
 Cálculo del caudal:
seg
ft
seglag
ftlag
Q
33
446,0
60
nim1
48,7
1
nim
200 







 Cálculo de la diferencia de presión:
2
2
212 02880
1
12
2020714734
ft
Lb
,
ft
in
in
Lb
psia,,PPP
ff







 Cálculo de la velocidad y de la diferencia de velocidad:

  seg
ft
ft
segft
A
Q
42,6
0884,04
446,0
2
3
2
2
2 



 2
2
2
2
2
1
2
2
2
2,41
seg
ft
 
 Cálculo de la diferencia de altura: ftzzz 30104012 
 Cálculo de la pérdidas por fricción:     ftftftL 505404´1:  , en la Ec. 6-11
  ft
D
LF
f
i
R 14,79
4167,02
5042,6032,0
2
22













 ft
in
ft
inDCon i 4166,0
12
1
5
2
46
630.177
104,9
43,6242,64166,0
4Re 






iD
N Flujo en régimen turbulento desarrollado
Tomado del diagrama de Moody, rugosidad relativa de la tubería: 032,0004,0  FD
Sustituyendo los datos y resultados en la ecuación de Bernoulli, se obtiene:
B
f
f
Hftftftftftftft
ges
tf
ges
ft
ft
bL
ft
bL






 


15614,793064,013,4668,1830
174,322
2,41
43,62
0,880.2
2
2
2
3
2

10. Coordinación de Ciencia y Cultura de la Alimentación.
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10
 Cálculo de la potencia de la bomba: Para la potencia de la bomba con caudal de , se toma la
eficiencia en la tabla de datos del4; es decir, 4,0B
seg
ftLbseg
tf
tf
lb
ft
QHQggH
W
f
f
B
B
B
cB
B









 430.5
8,0
446,043,62156
3
3




hphp
ttaW
hp
ges
tfbL
ttaW
ges
tfbL
W
f
f
B 109,9
7,745
1
737562,0
1
430.5 








PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Fluye aceite de oliva ( 920,r  ) a una velocidad de flujo de minL200 por una tubería de
in3 de diámetro interno como se muestra en la figura. Si el diámetro de la tubería se reduce a la
mitad y las pérdidas por fricción son mf LbLbft, 52 , calcular la nueva presión del fluido en psi
2. A través del sistema que se muestra en la figura, fluye agua a una velocidad volumétrica de
minLt20 . Los diámetros internos de las tuberías son cm,50 y cm,01 respectivamente.
a. Calcula la caída de presión, si las pérdidas de energía por fricción son despreciables
b. Calcula la presión en el punto 1, si se sabe que ATMPP 2
3. En la producción de aceite de semillas oleaginosas se alimenta un tanque agitado con las
semillas trituradas suspendidas en n-hexano líquido 6590,r  . Un tanque de almacenamiento
completamente lleno, de área rectangular mm 24  , que contiene kg.00011 de n-hexano líquido,
está elevado a cierta altura. Luego, se abre la válvula y se deja fluir el n-hexano líquido por
m50
ft50
bar,53
1
2

11. Coordinación de Ciencia y Cultura de la Alimentación.
Unidad Curricular: Principios de Ingeniería Aplicada a los Alimentos I.
Prof. Mario Yovera Reyes
11
gravedad, a través de una tubería de cmDi 3 . Al cabo de min10 , se reduce a la mitad el
volumen de n-hexano líquido del tanque superior. Calcula la diferencia de presión, si las pérdidas
por fricción son despreciables
4. Un tanque grande contiene etanol a una presión de
(absoluta). Cuando se abre la válvula en la parte inferior del
tanque, el etanol drena a través de un tubo de diámetro
interno, cuya salida se encuentra a por debajo de la superficie
del etanol. Calcula la velocidad de descarga del etanol y la
velocidad de flujo en cuando la válvula de salida está abierta
completamente. Desprecie las pérdidas por fricción y la
velocidad de caída del nivel de etanol en el tanque
5. Agua a C20 se bombea desde un tanque con una altura de caída constante y abierto a la
atmósfera hasta un tanque elevado que se tiene a presión constante de kPa.1501 en el
experimento que se muestra en la figura. Si el agua fluye por la tubería de diámetro interno
cmDi 5 a una velocidad de sm,40 . Calcula la potencia de la bomba en hp ; si se sabe que la
bomba tiene una eficiencia global de %70 y puede determinarse que las pérdidas de energía por
fricción en la tubería es kgFluidoJoule60
fthTotal 30
bar5,3
m7
cmDi 5 cmDi 5
m10