Este documento describe una serie de problemas de matemáticas y sus soluciones. Incluye 13 problemas con sus respectivas soluciones detalladas. Los problemas involucran ecuaciones trigonométricas, geometría y álgebra. El documento está dividido en dos partes, la primera presenta los problemas y la segunda contiene las soluciones completas de cada uno.

1. Algunos problemas de la ONEM
Fase 2 - Nivel 3
Alvaro M. Naupay Gusukuma
16 Julio 2014

2. 2

3. ´Indice general
I Problemas 5
1. Problemas 7
II Soluciones 11
2. Soluciones 13
3

4. 4 ´INDICE GENERAL

5. Parte I
Problemas
5

7. Cap´ıtulo 1
Problemas
1.- Hallar la menor de las ra´ıces de las siguiente ecuaci´on
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) = −1
ONEM 2004 Fase II soluci´on
2.- El lado del cuadrado ABCD mide 24 unidades. el segmento CM es tangente
a la semicircunferencia de di´ametro AB y a la circunferencia peque˜na de
radio x unidades. Halla el valor de x.
ONEM 2004 Fase II soluci´on
3.- Si θ es un ´angulo del primer cuadrante tal que tan θ =
1
6
, halla el valor de
la siguiente expresi´on
√
37 =
tan θ + cot θ + 2
tan θ + cot θ
−
cos θ
2
ONEM 2004 Fase II soluci´on
4.- Se tiene un tri´angulo ABC recto en B. Si sumas las longitudes de los la-
dos BC y AC y el resultado lo elevas al cuadrado, obtienes nueve veces el
7

8. 8 CAP´ITULO 1. PROBLEMAS
producto de las longitudes de dichos lados. Calcula:
sen A + csc A
ONEM 2004 Fase II soluci´on
5.- Un motociclista entrena para una competencia. El primer d´ıa recorre 200
km, el segundo d´ıa 280 km, el tercer d´ıa 360 km y as´ı sucesivamente, cada d´ıa
80 km mas que el anterior. Si luego de cierta cantidad de d´ıas ha recorrido
un total de 4680 km, ¿Cu´antos d´ıas dur´o su entrenamiento?
6.- Juanito est´a en un helic´optero a 2100 m de altura sobre la superficie de un
lago. En un instante, ´el observa con un ´angulo de depresi´on α a la lancha
de Eduardo y con un ´angulo de depresi´on θ a la lancha de Henry. Calcula,
en metros la distancia que separa a las lanchas si se conoce que:
tan α =
4
3
tan θ =
7
24
y que la prolongaci´on del segmento que une las dos lanchas pasa por el pie
de la perpendicular bajada desde el helic´optero a la superficie del lago.
7.- Sea ABC un tri´angulo equil´atero. S2 ubican los puntos M, N y P sobre
los lados BC, CA y AB, respectivamente, de tal modo que AP = 2BP,
BM = 2CM y CN = 2AN. Si el ´area del tri´angulo ABC es 126, halla el
´area del tri´angulo encerrado por los segmentos AM, BN y CP.
8.- Hallar el valor de:
1
sen 10◦ sen 30◦ sen 50◦ sen 70◦
ONEM 2004 Fase II soluci´on
9.- Resuelve la siguiente ecuaci´on trigonom´etrica:
cos(12x) = 5 sen(3x) + 9(tan x)2
+ (cot x)2
Da como respuesta el n´umero de soluciones en el intervalo [0; 2π].
10.- Si a y b son n´umeros reales que
a4
+ a2
b2
+ b4
= 900
a2
+ ab + b2
= 45
Calcule el valor de (2a − 2b)2
. ONEM 2012 Fase II soluci´on

9. 9
11.- Sea x el ´angulo agudo tal que csc x + cot x =
√
3. Hallar sec2
x.
ONEM 2007 Fase II soluci´on
12.- El valor num´erico del ´area de un tri´angulo rect´angulo ABC, recto en B, es
igual a 18 sen A sen C. Calcular la hipotenusa.
ONEM 2009 Fase II soluci´on
13.- Sea x un n´umero real tal que tan5
x + tan x + 1 = 0, calcular tan x + csc2
x.
ONEM 2009 Fase II soluci´on
14.- Si
(1 + sec x)(1 + csc x) =
20
3
hallar 100(sec x − 1)(csc x − 1)
ONEM 2006 Fase II soluci´on

10. 10 CAP´ITULO 1. PROBLEMAS

11. Parte II
Soluciones
11

13. Cap´ıtulo 2
Soluciones
1.- Haciendo y = x − 2 con el fin de hacer menos complicada la ecuaci´on, luego
reemplazando en la ecuaci´on tenemos
(y + 1)y(y − 1)(y − 2) + 1 = 0
(y2
− 1)(y2
− 2y) + 1 = 0
y4
− 2y3
− y2
+ 2y + 1 = 0
la idea a partir de aqu´ı es buscar trinomios cuadrados perfectos
y4
− 2y3
+ y2
− y2
− y2
+ 2y + 1 = 0
y4
− 2y3
+ y2
− 2y2
+ 2y + 1 = 0
(y2
− y)2
− 2(y2
− y) + 1 = 0
[(y2
− y) − 1]2
= 0
luego tenemos que resolver y2
− y − 1 = 0, aplicando la f´ormula obtenemos
y1 =
1 +
√
5
2
y2 =
1 −
√
5
2
pero como x = y + 2, entonces
x1 =
1 +
√
5
2
+ 2 x2 =
1 −
√
5
2
+ 2
x1 =
5 +
√
5
2
x2 =
5 −
√
5
2
finalmente la mayor raiz es x1 problema
2.- Denotemos por 2a el lado del cuadrado, luego realizando trazos auxiliares
y aprovechando la simetr´ıa del gr´afico tenemos la siguiente figura
13

14. 14 CAP´ITULO 2. SOLUCIONES
luego como AD = BC tenemos que
x + x cot θ + a tan θ = 2a (1)
por otra parte en el tri´angulo rect´angulo CDM
cot 2θ =
x + x cot θ
2a
ahora trabajando esto ´ultimo tenemos que
cot2
θ − 1
2 cot θ
=
x + x cot θ
2a
(cot θ − 1)$$$$$$$
(cot θ + 1)
2 cot θ
=
x$$$$$$$
(1 + cot θ)
2a
cot θ − 1
cot θ
=
x
a
cot θ =
a
a − x
(2)
de esto ´ultimo tambi´en tenemos que tan θ =
a − x
a
, reemplazando esto y
(2) en (1) tenemos
x +
xa
a − x
+
a(a − x)
a
= 2a
x +
xa
a − x
+ a − x = 2a
xa
a − x
= a
x =
a
2
.

15. 15
Finalmente como el lado del cuadrado es 24, tenemos que 2a = 24, es decir
a
2
= 6 por lo tanto
x = 6.
problema
3.- Como θ est´a en el primer cuadrante y tenemos que tan θ =
1
6
, todo esto
podemos representarlo en un tri´angulo rect´angulo de catetos 1 y 6 como se
ve en la siguiente figura.
Figura 2.1: Donde la hipotenusa resulta del teorema de Pit´agoras.
Luego la expresi´on que nos piden hallar queda reescrita de la siguiente forma,
con la informaci´on obtenida de la figura anterior,
√
37
1
6 + 6 + 2
1
6 + 6
−
6√
37
2
luego de operar la expresi´on se reduce a 4. problema
4.- Tenemos la siguiente figura:
del enunciado del problema:
(b + a)2
= 9ba
b2
+ a2
+ 2ba = 9ba
b2
+ a2
= 7ba
b2
+ a2
ba
= 7. (1)
Por otra parte nos piden sen A + csc A, esto de la figura es igual a
sen A + csc A =
a
b
+
b
a
=
a2
+ b2
ab
finalmente por (1) tenemos que
sen A + csc A = 7
problema

16. 16 CAP´ITULO 2. SOLUCIONES
5.- Recordemos que sen 50◦
= cos 40◦
y sen 70◦
= cos 20◦
, luego el problema se
puede transforma
1
sen 10◦ sen 30◦ sen 50◦ sen 70◦
=
1
sen 10◦ sen 30◦ cos 40◦ cos 20◦
multiplicando por 4 en el numerador y el denominador, reordenando el de-
nominador convenientemente y aplicando la propiedad del ´angulo doble,
=
4 × 1
2 × sen 10◦ cos 40◦ 2 × sen 30◦ cos 20◦
=
4
sen 50◦ sen 50◦
pero sen 50◦
= cos 40◦
, luego multiplicando por 2 en el denominador y el
denominador tenemos
=
2 × 4
2 × sen 50◦ cos 40◦
1
sen 10◦ sen 30◦ sen 50◦ sen 70◦
=
8
sen 90◦
=
8
1
= 8
con lo que tenemos la respuesta. problema
6.- Tenemos que
a4
+ a2
b2
+ b4
= 900 (1)
a2
+ ab + b2
= 45 (2)
De (1) observe que a4
+ a2
b2
+ b4
= (a2
+ b2
)2
− a2
b2
= 900, en esto ´ultimo
reemplazamos a2
+ b2
= 45 − ab que es de (2), luego tenemos que
(45 − ab)2
− a2
b2
= 900
2025 + ¨¨¨
a2
b2
− 90ab − ¨¨¨
a2
b2
= 900
1125 = 90ab
75
6
= ab, (3)
ahora reemplazando (3) en (2) tenemos que
a2
+
75
6
+ b2
= 45
a2
+ b2
= 45 −
75
6
= 3 × 15 −
5 × 15
6
a2
+ b2
= 15 × 3 −
5
6
= 15 ×
13
6
. (4)

17. 17
Finalmente, nos piden (2a − 2b)2
= 4a2
+ 4b2
− 8ab = 4(a2
+ b2
) − 8ab,
reemplazando en esto ´ultimo (3) y (4) tenemos
(2a − 2b)2
= 4(a2
+ b2
) − 8ab
= 4 × 15 ×
13
6
− 8 ×
15 × 5
6
= 4 × 15
13
6
− 2 ×
5
6
= 4 × 15
13
6
−
10
6
= 4 × 15 ×
3
6
(2a − 2b)2
= 30.
problema
7.- Tenemos que csc x + cot x =
√
3 en funci´on de los lados es:
c
a
+
b
a
=
c + b
a
=
√
3 (1)
elevando al cuadrado tenemos que
c2
+ b2
+ 2bc
a2
= 3
c2
−b2
+ b2
+ b2
+ 2bc
a2
= 3
c2
− b2
a2
+
2b2
+ 2bc
a2
= 3
del tri´angulo note que c2
− b2
= a2
luego
a2
a2
+
2b × (b + c)
a × a
= 3
1 +
2b
a
×
b + c
a
= 3
reemplazando (1) tenemos
1 +
2b
a
×
√
3 = 3
luego despejando
b
a
tenemos
b
a
=
1
√
3

18. 18 CAP´ITULO 2. SOLUCIONES
luego en el tri´angulo tenemos que
Figura 2.2: El valor de c es por Pit´agoras.
Finalmente tenemos que sec x =
2
1
= 2 entonces sec2
x = 4
problema
8.- Rpt.- 6 problema
9.- Del enunciado
tan5
x− tan2
x + tan2
x + tan x + 1 = 0
tan2
x(tan3
x − 1) + tan2
x + tan x + 1 = 0
de la diferencia de cubos tenemos que (tan3
−13
= (tan x − 1)(tan2
x +
tan x + 1)), luego
tan2
x(tan x − 1)(tan2
x + tan x + 1) + tan2
x + tan x + 1 = 0
factorizando tan2
x + tan x + 1 tenemos
(tan2
x + tan x + 1)(tan2
x(tan x − 1) + 1) = 0
(tan2
x + tan x + 1)(tan3
x − tan2
x + 1) = 0
de esto ´ultimo tenemos que, si tan2
x + tan x + 1 = 0 entonces tan x ser´ıa
un valor complejo, ya que la ecuaci´on tiene discriminante negativo. Por lo
tanto la ´unica opci´on es que
tan3
x − tan2
x + 1 = 0

19. 19
luego llevando a senos y cosenos tenemos
sen3
x
cos3 x
−
sen2
x
cos2 x
+ 1 = 0
sen3
x
cos3 x
=
sen2
x
cos2 x
− 1
sen3
x
cos3 x
=
sen2
x − cos2
x
cos2 x
sen3
x
cos x
= sen2
x − cos2
x
sen3
x = cos x sen2
x − cos3
x. (1)
Por otra parte llevando a senos y cosenos lo que nos piden, es decir
tan x + csc2
x =
sen x
cos x
+
1
sen2 x
=
sen3
x + cos x
cos x sen2 x
luego reemplazando (1) en la ´ultima expresi´on tenemos
tan x + csc2
x =
cos x sen2
x − cos3
x + cos x
cos x sen2 x
=
cos x sen2
x + cos x(1 − cos2
x)
cos x sen2 x
=
cos x sen2
x + cos x sen2
x
cos x sen2 x
finalmente tenemos la respuesta
tan x + csc2
x = 2
Comentario: Inicialmente se trabaj´o ´unicamente con el dato del problema,
despu´es de varios intentos fallidos, se intent´o transformar un poco lo que
nos ped´ıan, lo que nos llev´o con la respuesta.
Se debe observar la t´ecnica que se utiliza al inicio de la soluci´on para dis-
minuir el grado del de la ecuaci´on.
problema
10.- Pasando a senos y cosenos el enunciado, es decir
1 +
1
cos x
1 +
1
sen x
=
20
3

20. 20 CAP´ITULO 2. SOLUCIONES
Luego multiplicando en ambos miembros por
1
cos x
− 1 , luego tenemos
1
cos x
− 1 1 +
1
cos x
1 +
1
sen x
=
20
3
1
cos x
− 1
1
cos2 x
− 1 1 +
1
sen x
=
20
3
1
cos x
− 1
an´alogamente m´ultiplicamos en ambos miembros por
1
sen x
− 1 , luego
tenemos
1
cos2 x
− 1 1 +
1
sen x
1
sen x
− 1 =
20
3
1
cos x
− 1
1
sen x
− 1
1
cos2 x
− 1
1
sen2 x
− 1 =
20
3
1
cos x
− 1
1
sen x
− 1
1 − cos2
x
cos2 x
1 − sen2
x
sen2 x
=
20
3
1
cos x
− 1
1
sen x
− 1
sen2
x
cos2 x
cos2
x
sen2 x
=
20
3
1
cos x
− 1
1
sen x
− 1
1 =
20
3
1
cos x
− 1
1
sen x
− 1
3
20
= (sec x − 1)(csc x − 1).
Finalmente multiplicando por 100 a esta ´ultima expresi´on tenemos que
15 = 100(sec x − 1)(csc x − 1).
Comentario: La idea que ayudo aqu´ı fue buscar una relaci´on entre el dato
y lo que se pide.
Otra soluci´on: Denotemos por M lo que nos piden, de esta manera ingre-
samos una variable auxiliar, con lo tenemos
M = 100(sec x − 1)(csc x − 1)
a esto le multiplicamos la condici´on del problema, con lo que tenemos
20M
3
= 100(sec x − 1)(sec x + 1)(csc x − 1)(csc +1)
= 100(sec2
x − 1)(csc2
x − 1)
= 100
1 − cos2
x
cos2 x
1 − sen2
x
sen2 x

21. 21
recuerde la identidad pitag´orica sen2
x + cos2
x = 1, luego
20M
3
= 100
$$$$
cos2
x
$$$$
cos2
x
$$$$
sen2
x
$$$$
sen2
x
20M
3
= 100.
Por lo tanto M = 15.
Comentario: Note como el reemplazar lo que nos piden por una variable
auxiliar M facilit´o las cosas.
problema