4.2.4 Método de cuadratura Gaussiana
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Figura 14.4
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Método de coeficientes indeterminados
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en donde las c son constantes. Ahora, considerando que la regla
trapezoidal debe llevar a resultados exactos cuando la fun...
Figura 14.5
Dos integrales que la regla
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o) una constante y b) una línea
recta.
Estas son dos ecuaciones con dos incógnitas que pueden resolverse
por
las cuales, cuando se sustituyen de nuevo en la ecua...
Derivación de la fórmula de Gauss-Legendre basada en dos puntos
Como en el caso de la derivación anterior de la regla trap...
Al igual que con la regla trapezoidal, se pueden obtener dos de estas
condiciones suponiendo que la ecuación (14.12) ajust...
Las cuatro ecuaciones por resolver son:
Las ecuaciones (14.13) hasta la (14.16) se resuelven
simultáneamente,
FIGURA 14.6 Esquema gráfico de las variables incógnitas — y x2—
para integración usando cuadratura gaussiana.
las cuatro se pueden sustituir en la ecuación (14.12) y obtener la
fórmula de Gauss-Legendre de dos puntos
[14.17]
Por lo ...
Esto se lleva a cabo suponiendo que la nueva variable xd está dada
en función de la variable original x en una forma linea...
Las ecuaciones (14.19) y la (14.20) se resuelven simultáneamente,
generando:
[14.21]
[14.22]
que se sustituye en la ecuaci...
Esta ecuación se diferencia dando
[14.24]
Las ecuaciones (14.23) y (14.24) se pueden sustituir para x y dx,
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EJEMPLO
Fórmulas de Gauss-Legendre de dos puntos
Enunciado del problema: utilícese la ecuación (14.14) para evaluar la
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al calcular su derivada se tiene [Ec. (14.24)]
Estos dos valores se sustituyen en la ecuación original para obtener
Por lo...
/ = 0.516 740 55 + 1.305 837 23 = 1.822 577 78
que representa un error relativo porcentual del — 11.1%. Este
resultado es ...
[14.25]
En el cuadro 14.1 se resumen los valores de las c y de las x de las
fórmulas de hasta seis puntos, incluyendo a és...
Puntos Factores de peso Argumentos de la función
Error de trunca-
miento
2 _ 1.000 000 000 X.1 _ -0.577 350 269
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Solución: de acuerdo al cuadro 14.1, la fórmula de tres puntos es
/ = 0.555 555 556 /(-0.774 596 669) + 0.888 888 889 /(0)...
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4.2.4

  1. 1. 4.2.4 Método de cuadratura Gaussiana Como se puede ver en la figura 14.4a, la base de la regla trapezoidal es tomar el área bajo la línea recta que une los valores de la función evaluada en los extremos del intervalo. La fórmula usada para calcular esta área es [14.10]
  2. 2. Figura 14.4 a) Esquema gráfico de la regla trapezoidal dada por el área bajo la línea recta que une los puntos extremos, b) Se obtiene una aproximación mejorada a la integral tomando el área bajo la línea recta que pasa a través de dos puntos intermedios. Colocando adecuadamente estos puntos, los errores, positivo y negativo se equilibran y resulta una aproximación a la integral mejorada.
  3. 3. en donde a y b son los límites de integración y b — a es el ancho del intervalo de integración. Debido a que la regla trapezoidal debe pasar a través de los puntos límites, existen casos como el de la figura 14.4a en donde la fórmula genera un error muy grande. Ahora, supóngase que la restricción de fijar los puntos base se elimina y se va a evaluar libremente el área bajo la línea recta que une dos puntos cualesquiera de la curva. Colocando estos puntos de manera inteligente, se puede definir una línea recta que balancee los errores negativos y positivos. De ahí que, como en la figura 14.4b, se llegara a un valor más exacto de la integral.
  4. 4. La cuadratura gaussiana es el nombre de uno de estos métodos que implementa esta estrategia. Las fórmulas particulares de cuadratura gaussiana descritas en esta sección se llaman fórmulas de Gauss- Legendre. Antes de describir el método, se demuestra cómo las fórmulas de integración numérica tales como la regla trapezoidal se derivan usando el método de coeficientes indeterminados. Este método se emplea en el desarrollo de las fórmulas de Gauss- Legendre.
  5. 5. Método de coeficientes indeterminados En el capítulo 13 se deriva la regla trapezoidal integrando un polinomio lineal mediante un razonamiento geométrico. El método de coeficientes indeterminados ofrece una tercera alternativa que tiene también utilidad en la derivación de otros métodos tales como la cuadratura gaussiana. Para ilustrar el método, la ecuación (14.10) se expresa como [14.11]
  6. 6. en donde las c son constantes. Ahora, considerando que la regla trapezoidal debe llevar a resultados exactos cuando la función a integrarse sea una constante o una línea recta. Dos ecuaciones simples que representan este caso son y = 1 y y = x. Ambas se ilustran en la figura 14.5. Por lo tanto, se deben cumplir las siguientes igualdades:
  7. 7. Figura 14.5 Dos integrales que la regla trapezoidal evaluará exactamente: o) una constante y b) una línea recta.
  8. 8. Estas son dos ecuaciones con dos incógnitas que pueden resolverse por las cuales, cuando se sustituyen de nuevo en la ecuación (14.11) dan la cual es equivalente a la regla trapezoidal.
  9. 9. Derivación de la fórmula de Gauss-Legendre basada en dos puntos Como en el caso de la derivación anterior de la regla trapezoidal, la cuadratura gaussiana determina los coeficientes de una ecuación de la forma [14.12] en donde las c son los coeficientes incógnitas. Sin embargo, en contraste a la regla trapezoidal que usa puntos extremos a y b, los argumentos de la función x1 y x2 ahora no están fijos a los puntos extremos, sino que son incógnitas (Fig. 14.6). Por lo tanto, ahora se tiene un total de cuatro incógnitas que se deben evaluar, y por consiguiente, se requieren de cuatro condiciones para determinarlos exactamente.
  10. 10. Al igual que con la regla trapezoidal, se pueden obtener dos de estas condiciones suponiendo que la ecuación (14.12) ajusta exactamente la integral de una constante y de una función lineal. Entonces, para llegar a las otras dos condiciones, se extiende este razonamiento al suponer que también se ajusta la integral a una función parabólica (y = x2) y a una función cúbica (y = x3). Haciendo esto, se determinan las cuatro incógnitas conviniendo en derivar una fórmula desintegración de doble punto que sea exacta para cúbicas.
  11. 11. Las cuatro ecuaciones por resolver son:
  12. 12. Las ecuaciones (14.13) hasta la (14.16) se resuelven simultáneamente,
  13. 13. FIGURA 14.6 Esquema gráfico de las variables incógnitas — y x2— para integración usando cuadratura gaussiana.
  14. 14. las cuatro se pueden sustituir en la ecuación (14.12) y obtener la fórmula de Gauss-Legendre de dos puntos [14.17] Por lo tanto, se llega al resultado interesante de que la suma simple de los valores de la función en x = l/√3 y — 1/ √ 3 lleva a una estimación de la integral con una exactitud de tercer orden. Nótese que los límites de integración de las ecuaciones (14.13) a la (14.16) van desde — 1 a 1. Esto se hizo para simplificar la aritmética y hacer la formulación tan general como sea posible. Un simple cambio de la variable se puede usar para trasladar otros límites de integración en esta forma.
  15. 15. Esto se lleva a cabo suponiendo que la nueva variable xd está dada en función de la variable original x en una forma lineal como en [14.18] Si el límite inferior, x = a, corresponde a xd = — 1, estos valores se sustituyen en la ecuación (14.18) y se obtiene: [14.19] De manera similar el límite superior, x = b, corresponde a xd = 1, y obtener [14.20]
  16. 16. Las ecuaciones (14.19) y la (14.20) se resuelven simultáneamente, generando: [14.21] [14.22] que se sustituye en la ecuación (14.18) para obtener: [14.23]
  17. 17. Esta ecuación se diferencia dando [14.24] Las ecuaciones (14.23) y (14.24) se pueden sustituir para x y dx, respectivamente, en la ecuación por integrar. Estas sustituciones transforman efectivamente el intervalo de integración sin cambiar los valores de la integral. El ejemplo siguiente ilustra cómo se hace esto en la práctica.
  18. 18. EJEMPLO Fórmulas de Gauss-Legendre de dos puntos Enunciado del problema: utilícese la ecuación (14.14) para evaluar la integral entre los límites x = O y x = 0.8. Recuérdese que éste fue el mismo problema resuelto en el capítulo 13 usando una variedad de formulaciones de Newton-Cotes. El valor exacto de la integral es 1.640 533 34. Solución: antes de integrar la función, se debe realizar un cambio de variable de tal forma que los límites sean desde — 1 hasta 1. Para hacerlo, se sustituye a = 0 y b = 0.8 en la ecuación (14.23) y se obtiene:
  19. 19. al calcular su derivada se tiene [Ec. (14.24)] Estos dos valores se sustituyen en la ecuación original para obtener Por lo tanto, el lado derecho está en la forma que es adaptable para la evaluación mediante la cuadratura gaussiana. La función transformada se puede evaluar en — l/√3 siendo igual a 0.516 740 55 y en l/ √ 3 siendo igual a 1.305 837 23. Por lo tanto, de acuerdo a la ecuación (14.17). la integral es
  20. 20. / = 0.516 740 55 + 1.305 837 23 = 1.822 577 78 que representa un error relativo porcentual del — 11.1%. Este resultado es comparable en magnitud a la aplicación de la regla trapezoidal de cuatro segmentos (cuadro 13.1) o a una aplicación de la regla de Simpson de 1/3 y la de 3/8 (ejemplos 13.4 y 13.6). Este último resultado ya se esperaba porque las reglas de Simpson tienen también exactitud de tercer orden. Sin embargo, debido a la forma hábil de escoger los puntos, la cuadratura gaussiana obtiene esta exactitud en base a sólo dos evaluaciones de la función. Fórmulas de más de dos puntos Además de la fórmula de dos puntos, analizada en la sección previa, se pueden desarrollar también versiones de más de dos puntos, las cuales se presentan en la forma general:
  21. 21. [14.25] En el cuadro 14.1 se resumen los valores de las c y de las x de las fórmulas de hasta seis puntos, incluyendo a éstas. EJEMPLO Fórmula de Gauss-Legendre de tres puntos Enunciado del problema: utilícese la fórmula de tres puntos del cuadro 14.1 para calcular la integral de la misma función del ejemplo 14.3.
  22. 22. Puntos Factores de peso Argumentos de la función Error de trunca- miento 2 _ 1.000 000 000 X.1 _ -0.577 350 269 = f(%) c2 = 1.000 000 000 *2 - 0.577 350 269 3 Cl = 1.555 555 556 *1 -0.774 596 669 = f(6)(í) c2 = 0.888 888 889 x2 = 0.0 C3 = 0.555 555 556 *3 = 0.774 596 669 4 Cl = 0.347 854 845 *1 = -0.861 136 312 = 0.652 145 155 x2 = -0.339 981 044 c3 = 0.652 145 155 *3 = 0.339 981 044 c4 = 0.347 854 845 X4 = 0.861 136 312 5 Cl 0.236 926 885 *i _ -0.906 179 846 = f(10>(£) C2 = 0.478 628 670 X2 = -0.538 469 310 C3 = 0.568 888 889 *3 = 0.0 c4 = 0.478 628 670 X4 = 0.538 469 310 c5 = 0.236 926 885 x5 = 0.906 179 846 6 Cl - 0.171 324 492 xl = -0.932 469 514 = f(12,(?) C2 = 0.360 761 573 x2 = -0.661 209 386 C3 = 0.467 913 935 *3 = -0.238 619 186 <=4 = 0.467 913 935 X4 = 0.238 619 186 c5 == 0.360 761 573 *5 = 0.661 209 386 c6 = 0.171 324 492 *6 = 0.932 469 514 Factores de peso c y argumentos x de la función usados en las fórmulas de Gauss- Legendre
  23. 23. Solución: de acuerdo al cuadro 14.1, la fórmula de tres puntos es / = 0.555 555 556 /(-0.774 596 669) + 0.888 888 889 /(0) + 0.555 555 556 /(0.774 596 669) que es igual a / = 0.281 301 290 + 0.873 244444 + 0.485 987 599 = 1.640 533 34 la cual es exacta. Debido a que la cuadratura gaussiana requiere de evaluaciones de la función en puntos que no están uniformemente espaciados dentro del intervalo de integración, no es aplicable a los casos en que la función se desconoce. Por lo tanto, no se adapta a muchos problemas de la inge-

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