1) El documento presenta 15 problemas de álgebra lineal y programación lineal resueltos entre junio de 2002 y julio de 2005. Los problemas incluyen hallar valores para que una matriz tenga inversa, resolver sistemas de ecuaciones matriciales, encontrar matrices que cumplan ciertas condiciones, y problemas de programación lineal que involucran funciones objetivo sujetas a restricciones.

1. MATRICES Y DETERMINANTES
1 2 m
 
1) ( junio 2002) Dada la matriz A= 0 3 5 ,
2 4 4
 
a) encontrar los valores de m para que exista matriz inversa.
b) Si m=1 es uno de esos valores, hallar A-1.
2) ( julio 2002) Juan y Pedro invierten 12.000 euros cada uno. Juan coloca una cantidad
A al 4% de interés ( anual), una cantidad B al 5%, y el resto C al 6%, mientras Pedro
invierte la cantidad A al 5 %, la B al 6% y la C al 4 %. Hallar las cantidades A, B y C,
sabiendo que Juan obtiene unos intereses anuales de 630 euros y Pedro obtiene 570
euros.
3) ( junio 2003) En la fabricación de cierta marca de chocolate se emplea leche, cacao y
almendras, siendo la proporción de leche doble que la de cacao y almendras juntas. Los
precios por cada kilogramo de los ingredientes son: leche, 0’8 euros; cacao, 4 euros;
almendras, 13 euros. En un día se fabrican 9000 kilos de ese chocolate, con un coste
toral de 25800 euros. ¿ Cuántos kg se utilizan de cada ingrediente?
4) ( junio 2003) Hallar la matriz X que cumple AXB=C, siendo
3 2 2 3 1 1
A= 
  , B= 
 1  y C= 
 1 
4 3  2  1

5) ( julio 2003) Resolver la ecuación matricial AX-B-2C=0, siendo
1 0 0 1 0 −1  1 1 1
     
A= 0 2 0  , B= 0 0 0  , C= 2 3 0 .
1 0 3 9 3 −3  3 4 5
     
6) ( junio 2004) Hallar la matriz X que cumple AXA = 2BA, siendo
2 1 1 0
A= 
  , B=  .
3 2

2
 3

7) ( julio 2004) Una empresa ha invertido 73000 euros en la compra de ordenadores
portátiles de tres clases A, B, y C, cuyos costes por unidad son de 2400 euros, 1200
euros y 1000euros, respectivamente. Sabiendo que, en total, ha adquirido 55
ordenadores y que la cantidad invertida en los de tipo A ha sido la misma que la
invertida en los de tipo B, averiguar cuántos aparatos ha comprado de cada clase.
8) ( junio 2005) Hallar la matriz X que cumple A-1XA = B, siendo
1 3 3 0 1 0
   
A= 1 4 3 , y B= 0 0 1.
1 3 4 1 0 0
   
9) ( julio 2005) Los 176 niños de una población rural están distribuidos en tres colegios:
a, B y C. Los matriculados en C suponen la cuarta parte de los matriculados en A, y la

2. diferencia entre el número de alumnos de A y el de alumnos de B es inferior en una
unidad al doble de los matriculados en C. Averiguar cuántos niños recibe cada colegio.
10) ( junio 2006) El sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas
 5x + 3 y = 1
 5u + 3v = 2


 3x + 2 y = − 1
 3u + 2v = 3

se puede expresar en la forma AX=B, donde A, X, y Bson matrices cuadradas 2x2.
Encontrar dicha expresión y resolver el sistema matricialmente.
11) ( julio 2006) Tenemos el triple de peras que de naranjas. Si decidimos dar 5 naranjas
y 8 peras a cada uno de los chicos de un grupo, nos sobrarán solamente 21 peras.
¿ Cuántas naranjas y peras tenemos?, ¿ cuántos chicos hay en el grupo?
12) ( junio 2007) El propietario de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino, por un
importe total de 3000 euros ( sin impuestos), siendo el valor de los refrescos igual al
valor conjunto de la cerveza y el vino. Tras añadir los impuestos, la factura asciende a
3260 euros. Hallar el valor inicial de cada una de las bebidas, sabiendo que los
impuestos sobre los refrescos, la cerveza y el vino eran el 6%, el 10%, y el 14%,
respectivamente.
1 1
13) ( julio 2007) Hallar A2, A3, A4, y A5, siendo A la matriz A= 
  . ¿ Se percibe
0 1

algún patrón que permita adivinar cuál es A50 y, en general An?
 1 1 m
 
14) ( Junio 2008) Dada la matriz A =  m 0 −1 ,
− 6 −1 0 
 
a) Hallar los valores de m para los cuales tiene inversa.
b) Cuando m=-2, encontrar la matriz X que cumpla XA = (1 0 −1) .
15) Para reunir los 860 euros que cuesta un regalo, 3 amigos A, B, y C deciden hacer
aportaciones de la manera siguiente: A pondrá el triple de lo que pongan B y C juntos, y
C pondrá 3 euros por cada 2 euros que ponga B. ¿ Qué cantidad aportará cada uno de
ellos?
16) Hallar la matriz X que cumple AXB=C, siendo
1 2 1   −1 2 
  2 −1  
A = 0 1 −1, B = 
1 , y C =  0 1 .
0  0 

 1 0 

1
 −3

17) Dadas las matrices
 1 −1
− 2 −1 1  
A =
 −1  y B = 2
 0 ,
 0 1 − 2
 0 


3. comprobar que la matriz AB tiene inversa y hallar la matriz X que cumple ABX=AAt,
siendo At la traspuesta de A.
18) En una caja hay 120 bolas de 3 colores: blanco, negro y rojo. El número de bolas
negras y rojas ( juntas) duplica el de blancas, y el número de blancas y rojas triplica el
de negras. ¿ Cuántas bolas hay de cada color?
19) En la exposición de un establecimiento de material de oficina hay 400 unidades,
entre lámparas, sillas y mesas, con un valor total de 15000 e. Si el valor de una
lámpara es de 16 e, el de una silla 50 e y el de una mesa 80 e, y, además, hay
tantas lámparas como sillas y mesas juntas, ¿cuántas lámparas, sillas y mesas hay
en la exposición?
20) Dadas las matrices
a 2 1 1 −1
A := 
  , B= 
 1  , C=   ,
 1 
1 b  2  
hallar:
(a) las matrices BAC y A t C (donde A t es la traspuesta de A);
(b) los valores que deben tener a y b para que se cumpla que BAC = A t C.
3 1
21) Dada la matriz A= 
 ,
1 2

a) Hallar la matriz inversa de A-I, siendo I la matriz unidad de orden 2.
b) Hallar la matriz B tal que A+B= AB.
22) Un individuo invirtió un total de 60000 euros en tres empresas (A, B, C) y obtuvo
4500 euros de beneficio. Averiguar cuánto invirtió en cada una de ellas, sabiendo que la
cantidad invertida en A fue el doble que en B y C juntas y que las rentabilidades fueron:
el 5% (en A), el 10% (en B) y el 20% (en C).
23) Sean las matrices:
A= y B= .
a) Encuentra la matriz X que cumpla la ecuación .
b) Siendo la matriz traspuesta de A, calcula
24) a) Sea la matriz A= , y la ecuación , donde I es la
matriz unidad de orden 2 y O es la matriz nula del mismo orden. Calcular los valores de
x e y para que se verifique dicha ecuación.
b) Hallar la matriz X para que se verifique la siguiente ecuación matricial:

4. PROGRAMACIÓN LINEAL
1) ( junio 2002) Una empresa constructora dispone de 10.800.000 euros, para
edificar en una urbanización casa de dos tipos: las de tipo A, cada una de las
cuales tendría un coste ( para la empresa) de 180.000 euros, y dejaría, al
venderla, un beneficio de 24.000 euros, y las de tipo B, cuyos costes y
beneficios individuales serían de 120.000 euros y 18.000 euros, respectivamente.
Si las normas municipales no permiten construir más de 80 casa, hallar cuántas
de cada tipo debe construir la empresa para obtener el máximo beneficio.
2) ( julio 2002) Hallar el valor mínimo de la función z= x-y cuando las variables
están sujetas a las restricciones siguientes:
 2x + y ≤ 2
x ≤ 1


 2x − y + 2 ≥ 0
 x + 2y + 1 ≥ 0

3) ( julio 2003) Se dispone de 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar
bicicletas de paseo y de montaña, que luego se pondrán a la venta al precio de
200 y 150 euros respectivamente. Cada bici de paseo requiere 1 kg de acero y 3
de aluminio, y cada bici de montaña 2 kg de cada metal. ¿ Cuántas bicicletas de
cada tipo hay que fabricar para obtener el máximo beneficio?
4) ( junio 2004) Un camión de 9 Tm debe transportar mercancías de dos tipos: A y
B. La cantidad de A no puede ser inferior a 4 Tm ni superior al doble de la
cantidad de B. Si el transportista gana 0’03 euros por cada kg de A y 0’02 euros
por cada kg de B, ¿ cómo debe cargar el camión para obtener la máxima
ganancia? ¿ A cuánto ascenderá esa ganacia?
5) ( julio 2004) Describir mediante un sistema de desigualdades la región poligonal
cuyos vértices son ( 0,0), ( 0,4), ( 4,0) y ( 3,3), y hallar los valores máximo y
mínimo de la función F(x, y) = 7x+2y, cuando ( x,y) recorre dicha región.
6) ( junio 2005) A una persona que dispone de 30.000 euros se le ofrecen dos
fondos de inversión, A y B, con rentabilidades respectivas del 12% y del 8 %. El
A tiene unas limitaciones legales de 12000 euros de inversión máxima, mientras
que el de B no tiene limitación alguna, pero se aconseja no invertir en él más del
doble de lo que se invierta en A.
a) ¿ qué cantidad debe invertir en cada fondo para que el beneficio
sea máximo
b) ¿ A cuánto asciende ese beneficio máximo?

5. 7) ( julio 2005) Hallar los valores máximo y mínimo de la función f(x,y) = 4x+3y,
sujeta a las restricciones
 x + y ≤ 10
x ≥ 0


y≥ 0
 2 y ≥ 3x

8) ( junio 2006) Para cubrir un determinado trayecto, una compañía aérea tiene dos
aviones: A y B. Entre ambos deben hacer al menos 60 vuelos, pero no más de
200, y el avión A no puede sobrepasar los 120 vuelos, ni el B puede volar más
veces que el A. Si, en cada vuelo, A consume 900 litros de combustible y B
consume 700 litros, ¿ cuántos vuelos debe hacer cada avión para que el consumo
total de combustible sea mínimo?
9) ( julio 2006) Representar el recinto definido por las inecuaciones
 0 ≤ y ≤ 4x

y≤ x+ 3
 y + 2 x − 12 ≤ 0

, y hallar los valores máximo y mínimo de la función F ( x, y ) = y − 2 x .
10) ( junio 2007) Representar gráficamente la región del plano definida por las
desigualdades
 x − 2y ≤ 4

 2x + y + 2 ≥ 0
 3y ≤ 4 − x

y hallar los valores máximo y mínimo de la función F ( x, y ) = x + y cuando
( x,y) recorre dicha región.
11) ( julio 2007) Con 6 kg de un fármaco se desea elaborar pastillas grandes ( 40 gr.
Cada una) y pequeñas ( 20 gr cada una), de manera que el número de pastillas
grandes no sea inferior a 30 pero tampoco superior al doble del número de las
pequeñas. Si el beneficio que se obtiene en la venta es de 0’25 euros, por cada
pastilla grande, y 0’15 euros, por cada pequeña, ¿ cuántas pastillas hay que
vender de cada clase si se busca el máximo beneficio posible?
12) ( junio 2008) Un estudiante reparte propaganda publicitaria en su tiempo libre.
La empresa A le paga 0’05 euros por cada impreso repartido, mientras que la
empresa B le paga 0’07 euros por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una
para los impresos de A, en la que caben 120, y otra para los de B, en la que
caben 100. Por experiencia sabe también que cada día puede repartir, a lo sumo,
150 impresos. ¿ Cuántos impresos debe repartir de cada clase para que su
ganancia diaria sea máxima? ¿ A cuánto ascendería dicha ganancia?

6. 13) Representar gráficamente la región del plano definida por las desigualdades
 2 x + y ≥ 20

 2 x − y ≤ 20 . Hallar los valores máximo y mínimo de la función F ( x ) = x + 2 y
 0 ≤ y ≤ 20

cuando ( x,y) recorre dicha región.
14) Un empresario desea invertir 36000 euros, a lo sumo, en la fabricación de
ordenadores de dos tipos: los de tipo A, cuyo coste sería de 400 euros y que se
venderían a 430 euros la unidad, y los de tipo B, cuyo coste y precio de venta por
unidad serían de 300 y 400 euros, respectivamente. Si, por diversas razones, no puede
fabricar más de 100 aparatos, y no puede haber más de tipo B que de A, ¿ cuántos debe
fabricar de cada tipo para que el beneficio sea máximos?
15) (a) Representar gráficamente el recinto del plano definido por las desigualdades
siguientes
0 ≤ y ≤ _1, y − 1 ≤ x ≤ 2.
(b) Hallar los valores máximo y mínimo de la función F(x, y) := −x + 2 y en
dicho recinto, así como los puntos en los que alcanza tales valores.
16) Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la
temporada anterior. Para ello lanzan dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote
de una camisa y un pantalón, que se vende a 30 e; la oferta B consiste en un lote
de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 e. Se van a poner a la venta al
menos 20 lotes de la oferta A y al menos 10 lotes de la B. Averiguar cuántos lotes
debe vender de cada tipo para que la ganancia sea máxima.
17) Un hipermercado necesita, como mínimo, 6 cajas de manzanas, 8 de peras y 10 de
naranjas. Para abastecerse puede acudir a dos proveedores A y B que suministran fruta
en contenedores. Cada contenedor de A se compone de 1 caja de manzanas, 2 de peras y
1 de manzanas, y cuesta 60 euros, mientras que cada contenedor de B se compone de 1
caja de manzanas, 1 de peras y 5 de naranjas, y cuesta 75 euros. Averiguar cuántos
contenedores debe pedir el hipermercado a cada proveedor para cubrir sus necesidades
con el mínimo coste posible, y a cuanto ascendería dicho coste.
18) Se considera la región R del plano definida por las inecuaciones
−1 ≤ x + y ≤ 1, −1 ≤ x − y ≤ 1 .
a) Representar gráficamente dicha región.
b) Hallar los valores máximo y mínimo de la función F ( x, y ) = 2 x − y , cuando
(x,y) recorre R.
19) a) Representar gráficamente la región del plano definida por las inecuaciones:
b) Hallar los valores máximo y mínimo de la función en dicha
región y los puntos en los que se alcanzan.
20) a) Representar gráficamente la región del plano definida por las inecuaciones:

7. .
b) Hallar los valores máximo y mínimo de las funciones
en dicha región y los puntos en los que se
alcanzan.
DERIVADAS Y CONTINUIDAD
1) ( junio 2002) Se desea dividir un alambre de 5 metros de largo en dos partes, de
manera que la suma del cuadrado de una de ellas con el cuádruplo del cuadrado
de la otra sea la mínima posible. ¿ Dónde hay que dar el corte?
2) ( julio 2002) Hallar los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la curva
y = x 2 ( x − 3) . Con estos datos esbozar el trazado de la gráfica en el intervalo
[−1,4] .
3) ( junio 2003) Se desea enmarcar una ventana rectangular de 2 m2 de superficie.
Si cada metro de marco vertical cuesta 50 euros, y cada metro de marco
horizontal cuesta 64 euros, ¿ qué dimensiones habría que dar a la ventana para
que el coste total fuera mínimo?
4) ( julio 2003) De una función se conoce que la gráfica de su derivada es la
parábola con vértice en ( 1, -1) que pasa por los puntos ( 0, 0) y ( 2, 0). Sin
realizar cálculos, hallar razonadamente:
a) los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.
b) los intervalos de concavidad y convexidad de f.
c) las abcisas de los extremos relativos ( indicando si se trata de
máximos o mínimos) y los puntos de inflexión de f.
5) ( julio 2004) Sabiendo que la gráfica de la derivada de la función f es la
parábola con vértice en ( 0,-1) que pasa por los puntos ( -1, 0) y ( 1, 0),
estudiar razonadamente el crecimiento y decrecimiento, la concavidad, los
máximos, los mínimos y los puntos de inflexión de f.
6) ( junio 2005) La derivada de cierta función es f’(x) = x2-1.
a) Representar gráficamente f’ y deducir de esa gráfica los intervalos de
crecimiento y de concavidad de f.
b) Hallar f sabiendo que f(0) = 1 ( nota del profesor: hace falta saber
integrar)
7) ( julio 2005) Una hoja de papel debe contener 648 cm2 de texto impreso,
siendo los márgenes superior e inferior de 2 cm ( cada uno) y los laterales de 1
cm. Hallar las dimensiones que debe tener la hoja para que su superficie sea la
mínima posible.
8) ( junio 2006) Hallar el dominio de definición, los máximos y mínimos y los
puntos de inflexión de la función f ( x ) = x + 1 − x .

8. 9) ( julio 2006) Hallar el dominio de definición, los extremos relativos y los
x 2 +1
intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y =
x
10) ( junio 2007) Hallar los máximos y mínimos relativos, los puntos de
inflexión y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y = xe-x.
11) ( julio 2007) Encontrar el dominio de la función y = log(1 + x + x 2 ) y los
puntos en los que la tangente a la curva es paralela a la bisectriz del primer
cuadrante. ( nota: “log” significa “ logaritmo neperiano”)
12 ( junio 2008) Un artículo de consumo estuvo a la venta durante 8 años, y su
precio P(t ) ( en miles de euros) varió con el tiempo t ( en años) que llevaba en
el mercado, según la función siguiente:
 4t 2 + 4 si 0 ≤ t ≤ 2

P( t ) =  5
 − t + 25 si 2 < t ≤ 8
 2
a) Representar gráficamente la función.
b) Averiguar en qué momentos se alcanzaron los precios máximo
y mínimo, y cuáles fueron esos precios.
14) Una entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad
R(x) ( en miles de euros) depende de la cantidad que se invierte, x ( en miles de
euros), según la función siguiente: R( x ) = −0'001x 2 + 0'4 x + 4 si 10 ≤ x ≤ 400 .
a) Representar gráficamente la función.
b) Averiguar cuál es la máxima rentabilidad posible y la cantidad
que hay que invertir para obtenerla.
15) Una empresa fue fundada hace 10 años, y la expresión
t2
C(t ) = − + 3t + 10, 0 ≤ t ≤ 10 ,
4
indica cómo ha evolucionado su capital C ( en millones de euros) en función del
tiempo t ( en años) transcurrido desde su formación. (a) Representar
gráficamente esa evolución. (b) ¿ Cuándo alcanzó el capital su valor máximo y a
cuánto ascendió? ¿ En qué periodos creció ( decreció) dicho capital? (c) ¿ Cuál
es el capital actual de la empresa? ¿ Hubo algún otro momento en el que el
capital de la empresa fuera el mismo que el actual?
16) Dada la función f ( x ) = x 3 − 3x 2 : a) Hallar los puntos de corte con los ejes, los
máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión. (b) Hallar los intervalos
de crecimiento y decrecimiento. (c) Con los elementos anteriores esbozar su
representación gráfica.
17) Representar gráficamente la función definida en el intervalo [ 0, 4 ]
t 3 3t 2
f(t) := − + 2t + 1; 0 ≤ t ≤ 4
3 2
especificando claramente los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los intervalos

9. de concavidad y convexidad, así como los extremos relativos y los puntos de inflexión,
si los hubiere.
18) Dada la función y = x 2 e −x , hallar:
(a) las dos primeras derivadas;
(b) los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los extremos relativos
y los puntos de inflexión si los hubiere;
(c) la gráfica de la curva en el intervalo [−2, 3 ].
19) Un fabricante vende su producto a S e por tonelada. La demanda mensual x (en
toneladas) viene dada por x = 8000−4 S. El coste (en euros) de la producción de x
toneladas es C(x) = 2,5 x 2 +50000, y los gastos adicionales generados son de 300 e
por tonelada.
(a) Expresar el beneficio mensual de la empresa como una función de S.
(b) Hallar el valor que debe tener S para que ese beneficio mensual sea máximo.
20) La función siguiente describe la evolución a lo largo del tiempo t (en meses) del
precio P(t) (en miles de euros) de cierto aparato electrónico, desde que se puso a la
venta (t=0):
t +2
P( t ) = , t ≥ 0.
t +1
a) Representar gráficamente esa función, hallando los intervalos de
crecimiento-decrecimiento y los de concavidad-convexidad, así como los
extremos relativos, los puntos de inflexión y las asíntotas (si los hubiere).
b) Hallar el precio inicial del aparato, y los que alcanzó el cabo de 9 meses y a
los 2 años de estar en el mercado. ¿Tiende a estabilizarse el precio alrededor
de alguna cantidad con el paso del tiempo?
21) Dadas las funciones
f ( x ) = x 2 , g ( x ) = (1 + x ) ,
2
Hallar:
a) Las funciones compuestas f  g y g  f , y sus correspondientes derivadas
primera y segunda.
b) Los extremos relativos y los puntos de inflexión de las funciones compuestas.
22) La función siguiente describe la evolución a lo largo del tiempo t (en años) del
volumen V(t) (en millones de metros cúbicos) de agua embalsada en un pantano,
durante los 7 primeros años transcurridos desde su inauguración (t=0):
V ( t ) = t ( t − 6) + 1, 0 ≤ t ≤ 7.
2
a) Representar gráficamente esa función, hallando los intervalos de
crecimiento-decrecimiento, los extremos relativos y los puntos de inflexión.
b) ¿En qué momento (o momentos) fue máximo el volumen de agua
embalsada?, ¿en qué momento (o momentos) fue mínimo?, ¿cuánta agua
había en cada uno de los casos?
23) El precio de venta de un Tablet es p=110 . Por razones técnicas, no se
pueden producir en un mes más de 2500 unidades. El coste mensual de fabricación de x
unidades viene dado por la función:

10. expresado en euros.
a) Sabiendo que el beneficio es la diferencia entre los ingresos producidos por
la venta de las x unidades fabricadas menos su coste de fabricación, calcular
¿cuál es el número de tablets que hay que fabricar para que el beneficio sea
máximo? ¿A cuánto asciende ese beneficio máximo?
b) Esboza la gráfica de la función beneficio. ¿Cuál es el mínimo número de
tablets mensual que hay que vender para no obtener pérdidas? ¿Cuál es la
máxima pérdida que se puede obtener en un determinado mes?
24) El gasto mensual de un fumador en tabaco viene determinado en función de su
salario mediante la siguiente función:
x=salario (en miles de euros), =gasto mensual en tabaco (en euros).
a) Determinar el salario para el cual el gasto en tabaco sea máximo. ¿A cuánto
asciende ese gasto?
b) Esbozar la gráfica de la función. ¿Para qué salarios es el gasto mensual en
tabaco inferior a 60 ?

11. INTEGRALES
1) ( Junio 2002) Representar y hallar el área del triángulo mixtilíneo
cuyos vértices son A ( -1,-1), B ( 1,0) y C ( 1,1), sabiendo que los
lados AB y BC son rectos, y que la línea AC es la curva de ecuación
Y=x3.
2) ( Julio 2002) Representar gráficamente y hallar el área del recinto
( finito) limitado por las líneas de ecuaciones y= x y y=x .
2
3) ( Junio 2003) Representar gráficamente y hallar el área del triángulo
mixtilíneo cuyos vértices son A ( -1,-1), B ( 1,0), y C ( 0,1), y en el
que los lados AB y AC son rectos, mientras que el lado BC es un arco
de parábola y = ( x −1) 2 .
4) ( Julio 2003) Representar gráficamente y hallar el área de la región
limitada por la curva y = −x 2 + 2 y la bisectriz de los cuadrantes 2º y
4º.
5) ( Junio 2004) Hacer la representación gráfica y calcular el área de la
región de vértices O ( 0,0), A ( 1,0), B ( 2,1) y C ( 0,2) en la que los
lados OA, OC y BC son segmentos rectilíneos y el AC es un arco de la
curva y = x −1 .
6) ( Junio 2004) Encontrar la función cuya segunda derivada es la
constante 2, y cuya gráfica presenta un mínimo en el punto ( 1, 2).
7) ( Julio 2004) Hacer la representación gráfica y calcular el área de la
región ( finita) limitada por las líneas de ecuaciones y = x , y = x 2 .
8) ( Junio 2005) La derivada de cierta función f es f ' ( x ) = x 2 +1 . a)
Representar gráficamente f’. b) Hallar f sabiendo que f ( 0) 01.
∫ x( x )
1
9) ( Junio 2005) a) Calcular 2
−1 dx b) Explicar mediante un
−1
gráfico el significado geométrico del valor obtenido.

12. 10) ( Julio 2005) Hallar el área del recinto limitado por el eje de abcisas, la
parábola y = x2 y la recta tangente a esta parábola en el punto de abcisa
x=2.
11) ( Junio 2006) El área del recinto limitado por la curva y = a 2 − x 2 y el
eje de abcisas es 32 . Hallar el valor de a.
3
12) ( Julio 2006) Representar gráficamente y hallar el área del recinto
( finito) limitado por la curva y = 2 − x 2 y las bisectrices de los
cuadrantes primero y segundo.
13) ( Junio 2007) Representar gráficamente la función dada por
 4 − x si − 2 ≤ x < 0
2
f ( x) =  , y hallar el área de la región limitada por la
 4 − x si 0 ≤ x ≤ 4
gráfica de f y el eje de abcisas.
14) ( Julio 2007) Hallar el área de la figura OAB, en la que O es el origen
de coordenadas, A = ( -1,1), B = ( 2,1), los lados OB y AB son
segmentos rectilíneos y OA es un arco de la curva y = x 2 .
15) Hallar el valor de a>0 para el cual son iguales las áreas
A1 = ∫ 0 xdx y A2 = ∫ 0 x 2 dx , y representar gráficamente los recintos
a a
correspondientes a dichas áreas.
16) Hallar la función f(x) cuya gráfica corta al eje de abcisas en x=3 y que
tiene por derivada f ' ( x ) = 1 − x − x 2 .
17) Representar gráficamente el recinto limitado por las curvas de
ecuaciones
 2x 0 ≤ x ≤ 1
y=
x2
( 0 ≤ x ≤ 2) y=  ,
 − x+ 3 1< x ≤ 2
4
y hallar el área de dicho recinto.
18) Representar sobre unos mismos ejes de coordenadas las curvas de
ecuaciones y = x 2 , y = −x 2 + 2 x , y comprobar que esas curvas
dividen al cuadrado de vértices (0,0), (1,0), (1,1) y ( 0,1) en tres pares
que tienen el mismo área.
19) Se considera la función

13.  x2 0 ≤ x ≤ 1

f ( x) = 
 ax + 2 1 < x ≤ 2

(a) Hallar el valor que debe tener a para que f sea continua en x = 1, y hacer
la representación gráfica en ese caso.
(b) Hallar el área del recinto limitado por la curva y el eje x.
20) Se considera el recinto OAB, donde O=(0,0) es el origen de coordenadas,
A=(1,1), B=(-1,1), OA y OB son segmentos rectilíneos y AB es un arco de la curva
y = 2 − x2.
a) Representar gráficamente dicho recinto.
b) Hallar su área.
21) a) Calcular el valor de los parámetros p y q para que la función
presente un mínimo en x=3 y pase por el punto (-1, 12).
b) Esbozar la gráfica de la función f(x) y hallar el área de la región finita
limitada por la gráfica de dicha función y el eje OX.
22) a) Sea la curva de ecuación . Calcular los valores de a, b y c,
para los que la curva pasa por el punto (0, 0) y tiene un máximo relativo en el punto (2,
8). Hallar, si los hubiere, otros puntos extremos de la función indicano si son máximos o
mínimos.
b) Dada la curva , hallar los cortes de dicha curva con el eje OX
y calcular el área encerrada por la curva y el eje OX.

14. Probabilidad
- Se tienen tres urnas, A, B y C, y en cada una de las cuales hay 4 bolas
numeradas del 1 al 4. Si se extrae una bola al azar de cada urna, ¿ qué
probabilidad hay de que la suma de los tres números sea un número par?
- En un bombo hay 100 bolas, numeradas del 1 al 100. Si se extrae una bola al
azar, ¿ cuál será la probabilidad de que alguna de las cifras de su número sea un
5? Y de que el número sea múltiplo de 11?
- De una urna en la que hay 5 bolas blancas, 3 rojas y 2 negras se extraen al azar
dos bolas ( simultáneamente). Hallar la probabilidad de que : a) una sea blanca y
la otra no. b) alguna de las dos sea blanca o roja.
- Si se hacen tres lanzamientos de un dado, ¿ cuál es la probabilidad de que la
suma de las tres puntuaciones sea superior a 5?
- De una urna en la que hay 3 bolas blancas y 2 negras se retiran dos bolas, sin
mirar su color. A continuaciones extrae una nueva bola, que resulta ser blanca.
¿ Cuál es la probabilidad de que las bolas retiradas fueran negras?
- La probabilidad de existencia de radiación en cierto lugar es 0’2, y se dispone de
sistema de alarma que suena el 95% de las ocasiones en las que hay radiación, y
el 1% de s veces que no hay radiación. Cierto día suena la alarma. ¿ Cuál es la
probabilidad de que haya radiación?
- En una ciudad, el 45 % de las personas son varones, el 80% son mayores de
edad, y el 30% son varones mayores de edad. Si se elige una persona al azar,
hallar la probabilidad de que : a) sea mujer menor de edad. b) sea mayor de edad
supuesto que es mujer. c ) sea varón o menor de edad.

15. - En una población en la que hay un 15% de paro, son mujeres el 60% de los
parados y el 45 % de las personas con trabajo. Si se elige al azar una persona y
resulta ser mujer, ¿ cuál es la probabilidad de que tenga trabajo?
- En la urna U1 hay 4 bolas blancas, numeradas de 1 a 4, y 2 bolas negras,
numeradas de 1 a 2, mientras que en la urna U2 hay dos bolas blancas numeradas
de 1 a 2, y 4 bolas negras, numeradas de 1 a 4. Si se extraen al azar dos bolas,
una de cada urna, hallar: a) la probabilidad de que tengan el mismo número. b)
la probabilidad de que sean del mismo color.
- Para ir al trabajo un individuo toma el bus, el 30% de las veces, o el metro( el
70% restante), y llega tarde el 40% de las veces que va en bus y el 20% de las
que va en metro. Cierto día llegó taqrde. ¿ Cuál es la probabilidad de que tomara
el bus?
- Al hacer tres lanzamientos de un dado se alcanzó una puntuación total de 12.
¿ Cuál es la probabilidad de que en el primer lanzamiento se obtuviera un 6?
- En una pequeña ciudad, el 40% de los vecinos llama a Tomás para los trabajos
de fontanería. El 30% de los vecinos están insatisfechos con sus fontaneros,
pero, de los clientes de Tomás, los insatisfechos son el 50%. Un vecino elegido
al azar declaró estar insatisfecho con su fontanero. ¿ Con qué probabilidad se
trataba de un cliente de Tomás?
- Se hacen tres lanzamientos de un dado. Si en el primer lanzamiento sale un 2,
¿ qué es más probable, que la suma de las puntuaciones sea un número par o que
tal suma sea impar?
- De dos sucesos A y B se sabe que son independientes, que la probabilidad de
que ocurra alguno de ellos es 5/6 y la probabilidad de que ocurran ambos
simultáneamente es 1/3. Hallar las probabilidades de A y de B.
- Se dispone de dos urnas, en cada una de las cuales hay 40 bolas. En la urna A la
mitad son blancas, mientras que la urna B sólo contiene bolas negras. Se
intercambian al azar una bola de A y otra de B. Si a continuación se extrae una
bola de A, ¿ cuál es la probabilidad de que no sea blanca?
- Un estudiante solicita plaza en dos universidades: A y B. Él piensa que la
probabilidad de ser admitido en B es 0’5 y la de ser admitido en A es 0’3. Cree,
además, que la probabilidad de ser admitido en ambas es 0’2. a) ¿ Cuál es la
probabilidad de ser admitido en alguna de las dos? B) Cierto día recibe la
notificación de que ha sido admitido en A. ¿ Cuál es la probabilidad de ser
admitido en B? c) ¿ Son independientes los sucesos ser admitido en A y ser
admitido en B?
- En una caja hay 10 bombillas, dos de las cuales son defectuosas. Con el fin de
detectarlas las vamos probando una tras otra. ¿ Cuál es la probabilidad de que la
tarea finalice exactamente en el tercer intento?

16. - De dos sucesos A y B se sabe que son independientes, que la probabilidad de
que ocurra A es 2/3 y que la probabilidad de que ocurra A pero no B es 1/3.
¿ Cuál es la probabilidad de B? ¿ Y la de que ocurra alguno de los dos?
- En una residencia universitaria hay estudiantes franceses ( 50%), ingleses ( 30%)
y alemanes ( 20%). El 20% de los franceses, el 30% de los ingleses y el 40% de
los alemanes están matriculados en el curso de Estadística Avanzada. Elegido
uno de los residentes al azar resultó ser uno de dicho curso. ¿ Cuál es su
nacionalidad más probable?
- Se hacen dos lanzamientos de un dado ( equilibrado). Determinar si los dos
sucesos siguientes son independientes o no:
o A: el número total de puntos es 8.
o B: las dos puntuaciones son números pares.
- Se hacen 5 lanzamientos de una moneda equilibrada. Hallar la probabilidad de
que el número total de caras en los tres primeros lanzamientos sea el mismo que
en los dos últimos.
- En la urna A hay 15 bolas, numeradas de 1 a 15, y en la urna B hay 10 bolas,
numeradas de 1 a 10. Si al extraer una bola al azar de cada urna la suma de los
números es 12 ¿ cuál es la probabilidad de que el número extraído de A fuera
par?
- Se lanza una moneda equilibrada 4 veces. Hallar la probabilidad de obtener un
número impar de caras.
- En una asociación, en la que el el 60% de sus miembros son mujeres, la mitad de
éstas y el 20% de los varones asistieron a cierta reunión. Si se elige al azar un
miembro de dicha asociación ¿ cuál es la probabilidad de que sea uno de los
asistentes? Si la persona elegida no asistió a la reunión ¿ cuál es la probabilidad
de que se trate de una mujer?
- En una caja hay 10 bolas, cinco de las cuales están marcadas con números
positivos y las otras 5 con números negativos. Si se extraen, al azar y
simultáneamente, 2 bolas y se multiplican los números que aparecen en ellas
¿ qué es más probable, un resultado positivo o negativo?
- Se hacen tres lanzamientos de un dado equilibrado. Si la suma de las dos
primeras puntuaciones es un número par, ¿ cuál es la probabilidad de que la
suma de las tres puntuaciones sea 15?
- Si se hacen 2 lanzamientos de un dado equilibrado ¿ cuál es la probabilidad de
que la suma de las puntuaciones sea un número múltiplo de 3?
- A una reunión asisten 100 varones, de los que 25 son rubios, así como 300
mujeres, de las que 125 son rubias. Se elige una persona al azar.
o Si tal persona es rubia, ¿ cuál es la probabilidad de que sea varón?

17. o ¿ son independientes los sucesos “ ser rubio” y “ ser varón”?
- En una de las dos oficinas de una pequeña empresa trabajan 2 hombres y tres
mujeres y en la otra trabajan 3 hombres y 4 mujeres. Si se eligen al azar dos
personas de esa empresa, ¿ cuál es la probabilidad de que trabajen en la misma
oficina? ¿ y de que sean del mismo sexo?
- En un grupo de estudiantes el número de chicas es el doble que el de chicos, y se
sabe que a 4 de cada 5 chicos les gusta el fútbol pero a 3 de cada 4 chicas no les
gusta. Se elige al azar una persona de ese grupo. (a) ¿ Cuál es la probabilidad de
que le guste el fútbol? (b) Si a la persona elegida le gusta el fútbol ¿cuál es la
probabilidad de que se trate de una chica?
- De dos sucesos A y B se sabe que P ( A) = 2 , P ( B ) = 1 y P( A ∩ B ) = 1 .
3 2 4
Hallar: (a) La probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos. (b) La
probabilidad de que ocurra A pero no B.
- Una urna contiene 10 bolas, numeradas de 1 a 10, y otra contioene 5 bolas,
numeradas del 1 al 5. Se lanza una moneda y si sale cara se extrae una bola de la
primera urna, mientras que si sale cruz se extrae una bola de la segunda urna. (a)
¿Cuál es la probabilidad de extraer un número par? (b) Si el número extraído ha
resultado ser par ¿cuál es la probabilidad de que saliera cara al lanzar la
moneda?
- Tres cartas distintas van a ser enviadas a tres destinatarios diferentes cuyos
nombres están escritos en los sobres correspondientes. Si se introducen al azar las
cartas en los sobres (una carta en cada sobre), hallar:
(a) la probabilidad de que una y solo una de las cartas llegue a su verdadero
destinatario;
(b) la probabilidad de que ninguna de las cartas llegue a su verdadero destinatario.
- Una moneda ha sido trucada de forma que la probabilidad de ‘cara’ es el doble de
la probabilidad de ‘cruz’. Si se lanzan a la vez la moneda trucada y una moneda
equilibrada, hallar:
(a) la probabilidad de obtener una cara y una cruz;
(b) la probabilidad de obtener al menos una cruz.
- En una residencia conviven 90 estudiantes, de los que 50 son franceses, 30 son
ingleses, y el resto son rusos. Son varones 30 de los estudiantes franceses, 10 de los
ingleses y 5 de los rusos.
(a) Si se elige al azar un estudiante de esa residencia ¿cuál es la probabilidad de
que se trate de una chica?
(b) En caso de haber resultado elegida una chica ¿cuál es la probabilidad de que
sea inglesa?
- Se ordenan al azar, en una fila, dos chicos y dos chicas. Hallar:
(a) la probabilidad de que las dos chicas queden por delante de los dos chicos;
(b) la probabilidad de que ninguno de los dos chicos quede el último.

18. - Se hacen dos lanzamientos de un dado equilibrado y se consideran los sucesos
A=”la suma de las dos puntuaciones es par” y B=”la primera de las puntuaciones
es impar”.
o Hallar P( A), P ( B ), P( A ∩ B ) y P( A ∪ B ).
o ¿Son independientes los sucesos A y B?
- En una urna hay 2 bolas blancas y 3 bolas negras. Se extrae una bola al azar y se
retira sin mirar su color. A continuación se extraen de la urna dos bolas
simultáneamente.
o ¿Cuál es la probabilidad de que esas dos bolas sean de distinto color?
o Si, realizado el experimento, las dos bolas resultaron ser de distinto
color, ¿cuál es la probabilidad de que la bola retirada fuera balnca?
- Un profesor olvida poner el despertador 3 de cada 10 días. Por otra parte, 1 de
cada 10 días en los que pone el despertador llega tarde a su primera clase,
mientras que llega a tiempo 2 de cada 10 días en los que olvida poner el
despertador.
o ¿Cuál es la probabilidad de que el profesor llegue a tiempo de dar su
primera clase?
o Si cierto día llegó tarde, ¿qué probabilidad hay de que olvidara poner el
despertador?
- En una urna hay 5 bolas numeradas consecutivamente de 1 a 5. Se extraen al
azar dos bolas, sucesivamente y sin reemplazamiento.
o Hallar la probabilidad de que la suma de los números extraídos sea par.
o Si, realizado el experimento, la suma de los números ha sido par, ¿cuál es
la probabilidad de que el primer número extraído haya sido impar?
- En cierto hospital, los enfermos que acuden al servicio de urgencias son
catalogados en dos grupos mutuamente excluyentes: traumatología o
enfermedades de tipo general. Se sabe que el 20% del total de los enfermos
pertenecen a la categoría de traumatología; se sabe también, que un 40% de los
enfermos pertenecen a la categoría de enfermedades de tipo general y un 65% de
los de traumatología son ingresados en el hospital; el resto son dados de alta sin
ingresar en el hospital.
o ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar y que ha
acudido al servidio de urgencias del hospital sea ingresada?
o Si se sabe que una persona que ha sido ingresada en el hospital después
de haber pasado por el servicio de urgencias, ¿cuál es la probabilidad de
que proceda de la categoría de enfermedades de tipo general?

19. - Las probabilidades de que el metro, el tren o el autobús de una ciudad lleguen a
la hora son 0’9, 0’8 y 0’6 respectivamente. Calcula la probabilidad de que en un
determinado viaje en el que los tres medios salen a la vez, cumplan el horario:
o Los tres medios de transporte.
o Sólo uno de ellos.
o Ninguno de ellos.
o Al menos, dos de los tres.
- En un dado trucado la probabilidad de obtener 1 es doble que la de obtener
cualquiera de los otros números.
o Calcular las probabilidades de los sucesos elementales.
o Si lanzamos el dado 4 veces, calcula la probabilidad de obtener:
 Cuatro unos.
 Ningún uno.
 Al menos un cinco.
- En una universidad el 4% de los hombres y el 1% de las mujeres miden más de
1’95m de altura. Se sabe que el 60% de los estudiantes son mujeres. Si se
selecciona un estudiante al azar, hallar:
o La probabilidad de que mida más de 1’95m.
o Si el estudiante seleccionado mide más de 1’95m, hallar la probabilidad
de que sea mujer.
Estadística
- En un examen, al que se presentaron 2000 estudiantes, las puntuaciones se
distribuyeron normalmente, con media 72 y desviación típica 9. a) ¿ Cuántos
estudiantes obtuvieron una puntuación entre 60 y 80? B) Si el 10% superior de
los alumnos recibió la calificación de sobresaliente, ¿ qué puntuación mínima
había que tener para recibir tal calificación?
- Un examen tipo test consta de 100 preguntas, cada una de las cuales se
acompaña de cuatro respuestas, una de ellas correcta y erróneas las otras tres. Si

20. un estudiante contesta al azar ¿ cuál es la probabilidad de que acierte más de 30
preguntas? ¿ y menos de 15?
- Averiguar cuál de los dos sucesos es más probable:
o A= salir más de 220 caras cuando se hacen 400 lanzamientos de una
moneda.
o B= salir menos de 130 seises cuando se hacen 900 lanzamientos de un
dado.
- Una fábrica de cementos suministra su producto en sacos de 50 kg. Las
deficiencias del empaquetado mecánico provocan, sin embargo, fluctuaciones en
el contenido de los sacos, de manera que esta cantidad sigue en realidad una
distribución normal de media 51 kg. ¿ cuál debe ser la desviación típica para que
los sacos con menos de 50 kg sean sólo el 5% del total?
- El jugador ( de baloncesto) A encesta un 60% de los tiros libres que lanza,
mientras que B encesta el 70%. Si cada uno de ellos hace 300 lanzamientos
¿ qué es más probable: que A consiga más de 193 canastas o que B consiga
menos de 196?
- En un test que mide ciertas habilidades específicas, las puntuaciones se
distribuyen normalmente, con media 100 y desviación típica 25. El 20% de
puntuaciones más altas corresponde al grupo de los superdotados, y el 20% de
puntuaciones más bajas al de los infradotados. Calcular las puntuaciones que
delimitan los distintos grupos.
- La talla de los recién nacidos se distribuye normalmente, pero mientras que en la
Comunidad Autónoma A la media es de 52 cm y la desviación típica 3 cm, en la
B la media es de 53 cm y la desviación típica de 5 cm.a) Hallar, en el primero de
los casos, entre qué valores simétricos respecto a la media está el 50% ( central)
de las tallas de los recién nacidos. b) Determinar en cuál de las dos comunidades
es mayor la proporción de recién nacidos con talla superior a 50 cm.
- La edad de los habitantes de cierta ciudad se distribuye normalmente, con una
media de 40 años. Se sabe además que el 2’28% de los habitantes tiene más de
60 años. b) ¿ Cuál es la desviación típica? a) ¿ Cuál es el porcentaje de
habitantes con menos de 35 años?
- En las empresas multinacionales A y B, que tienen 50000 y 60000 empleados
respectivamente, el sueldo mensual de dichos empleados se ajusta a una
distribución normal, con media de 1800 euros y desviación típica de 650 euros,
en el caso A, y con media de 2000 euros y desviación típica de 500 euros, en el
caso de B. ¿ Cuál de las dos empresas tiene más empleados con sueldo mensual
superior a 3000 euros?
- En un país en el que la estatura de sus habitantes sigue una distribución normal
de media 1’75 m, los individuos que miden más de 1’90 m representan el 6’68%

21. del total. ¿ Cuál es la desviación típica? ¿ Cuál es la proporción de individuos
con estatura superior a 1’60m?
- El peso de los huevos de gallina producidos por cierta granja sigue una
distribución normal de media 65 g y desviación típica 6 g. Los huevos se
clasifican ( según el peso) en tres categorías: P ( pequeños), M ( medianos) y G (
grandes). Si los pequeños suponen el 10% del total y los grandes otro 10%
¿ cuáles son los pesos que marcan los límites de cada categoría?
- En una ciudad en la que la edad de sus habitantes se ajusta a una distribución
normal de media 35 años ¿ qué grupo es más numeroso: el de los mayores de 65
años o el de los menores de 18 años? Justifica la respuesta.
- Una compañía de autobuses sabe que el retraso en la llegada sigue una ley
normal de media 5’, y que el 68’26% de los autobuses llega con un retraso
comprendido entre los 2 y los 8 minutos. Hallar la desviación típica de la ley
normal y la probabilidad de que un autobús se retrase más de 10’.
- Cierto mes, la granja A produjo 500000 huevos y la granja B 600000. Los pesos
de los huevos se ajustaron a sendas distribuciones normales con la misma
desviación típica de 6 g, pero distinta media: 67 g para la granja A, y 64 g pasra
la granja B. ¿ Cuál de las dos granjas produjo mayor cantidad de huevos de la
clase XL ( más de 73 g)?
- Se desea clasificar a los habitantes adultos de cierto país en tres grupos: El grupo
de los altos, formado por el 15% del total, el de los bajos, formado por el 20%, y
el de los intermedios. Si la estatura sigue una distribución normal de media 1’7
m y desviación típica 10 cm, ¿qué estauras delimitan cada uno de dichos grupos?
- La edad de los habitantes de una gran ciudad sigue una distribución normal de
media 34 años y desviación típica 10 años. ¿cuál es el grupo de habitantes más
numeroso: el de los mayores de 40 años, el de los menores de 30 años, o el de
los comprendidos entre esas edades?
- Según un estudio realizado con los tíquets de compra de un hipermercado, el gasto
que hicieron los clientes un día determinado se ajustaba a una distribución normal
de media 35 e y desviación típica 10 e. Hallar:
(a) la proporción de clientes que gastaron entre 20 y 40 e;
(b) el gasto que realizó el cliente C, si solo hubo un 10% de clientes que gastaron
más que él.
- Un examen de tipo test consta de 100 preguntas, cada una de las cuales va
acompañada por 5 respuestas de las que solo una es correcta. Si un estudiante
contesta al azar ¿qué es más probable, que el número de respuestas acertadas sea
menor que 15, o que esté entre 20 y 30?
- Según un estudio de la Asociación de Autoescuelas, el número de horas
prácticas necesarias para la obtención del permiso de conducir sigue una
distribución normal, de media 24h y desviación típica 3h.

22. o ¿Qué probabilidad hay de obtener el permiso de conducir con 20 horas
de prácticas o menos?
o ¿Cuántas horas de prácticas ha necesitado un conductor para obtener el
permiso, si el 84’13% de los conductores ha necesitado más horas que
él?
- Según un estudio, el tiempo que los estudiantes de cierta titulación universitaria
tardan en completar la carrera sigue una distribución normal, de media 6’6 años
y desviación típica 0’5 años.
o ¿Qué proporción de estudiantes completa la carrera en 6 años o menos?
o ¿Cuánto tiempo ha tardado un titulado en completar la carrera, si el
91’92% de los titulados ha necesitado menos tiempo que él?
- Las puntuaciones obtenidad en un test se distribuyen normalmente con media
76 y desviación típica 15. Calcular la puntuación por debajo de la cual se situan
el 10% de los peores resultados y aquella por encima de la cual se sitúan el 15%
de los mejores.
- Una conocida marca de televisores afirma que la duración de sus aparatos sin
efectuar reparaciones, sigue una distribución normal de media 9 años y
desviación típica 1’2 años.
o Calcular la probabilidad de que un aparato de televisión dure entre 8 y 11
años.
o El fabricante garantiza el buen funcionamiento de los televisores durante
5’5 años. ¿Qué porcentaje de televisores se espera que no cumplan las
garantías?