El documento presenta varios problemas de geometría analítica y álgebra lineal. En la primera sección, se piden demostrar dos identidades relacionadas con vectores ortogonales. La segunda sección analiza tres triángulos, encontrando ecuaciones de líneas y puntos notables. La tercera sección describe ecuaciones de rectas en el plano y en el espacio. La cuarta sección calcula distancias entre lugares geométricos. La quinta sección clasifica conjuntos de vectores. Las secciones siguientes involucran combinaciones lineales y tangentes a

1. Geometr´ıa Anal´ıtica II
Tarea 1
1. Sean ¯x, ¯y ∈ Rn.
a) Si ¯x y ¯y son ortogonales, demostrar que
¯x − ¯y 2
= ¯x 2
+ ¯y 2
.
b) Si α es el ´angulo entre ¯x y ¯y, usar la Ley de Cosenos para demostrar que
cos α =
¯x · ¯y
¯x ¯y
.
2. Dados los tri´angulos con v´ertices en A, B y C encuentra en cada caso:
las ecuaciones de las medianas
el baricentro
las ecuaciones de las mediatrices
el circuncentro
la ecuaci´on de la recta de Euler
las alturas
el ´area
a) A = (−1, 0), B = (1, 4), C = (−1, 5)
b) A = (2, −1), B = (3, 1), C = (0, 2)
c) A = (1, 0), B = (3, 1), C = (2, 3)
3. En cada caso, dar la ecuaci´on vectorial, la ecuaci´on general (cuando sea posible) y hacer un bosquejo de la gr´afica.
a) la recta que pasa por (1, 3) con pendiente 1/2.
b) la recta que pasa por (−1, 5) y (3, 2).
c) la recta que pasa por (3, 1, 1) y (0, 4, 2).
d) la recta que pasa por (4, 1, 1) y (0, −1, −1).
e) el plano que contiene a (2, −2, 0), (2, 0, 1) y (0, −2, 1).
f ) el plano que contiene a (1, −3, 0), (−1 − 1, 2) y (1, 1, 3).
4. En cada caso, calcular la distancia entre los lugares geom´etricos correspondientes.
a) ¯x = (3, 2), → 5x − 4y + 5 = 0.
b) ¯x = (1, 3, 3), π → 2x − y + 2z − 4 = 0.
c) ¯x = (6, 2, 0), π → x − 3y + z − 3 = 0.
5. Decidir cuales de los siguientes conjuntos de vectores son:
linealmente independientes
ortogonales
ortonormales
a) {(3, −1), (−9, 3)}.
b) {(3/4,
√
3/4, 1/2), (−
√
3/4, −1/4,
√
3/2), (1/2, −
√
3/2, 0)}.
c) {(1, 1, 2), (1, 1, −1), (1, −1, 0)}.
1

2. d) {(0, 3, 0), (2, 1, 1), (4, 3, 2)}.
e) {(2/
√
5, 1/
√
5, 0, 0), (−1/
√
5, 2/
√
5, 0, 0), (0, 0,
√
3/2, 1/2), (0, 0, 1/2,
√
3/2)}.
6. En cada caso, escribir el vector como combinaci´on lineal de los elementos de B.
a) ¯x = (2, 7), B = {(2, 3), (−1, 1)}.
b) ¯x = (1, 1, 2), B = {(3/4,
√
3/4, 1/2), (−
√
3/4, −1/4,
√
3/2), (1/2, −
√
3/2, 0)}.
c) ¯x = (1, −1, 5), B = {(1/2, 1/2, 1/
√
2), (−1/2, −1/2, 1/
√
2), (1/
√
2, −1/
√
2, 0)}.
7. Dar la forma general de la ecuaci´on la recta que es tangente a la circunferencia con centro en (2, 1) y radio 1.
Hint: Basta encontrar las rectas que distan en 1 del punto (2, 1).
8. La compa˜n´ıa Reddy Mikks produce pinturas para interiores y exteriores. Para la elaboraci´on de ambos tipos de pintura se
puede ocupar la materia prima M1 o bien la materia prima M2.
En la siguiente tabla se muestra la cantidad de materia prima requerida para poder fabricar una tonelada de cada pintura,
el m´aximo disponible diario de cada materia prima y la ganancia obtenida por la compa˜n´ıa por cada tonelada de pintura
fabricada.
M1 M2 Ganancia
Pinturas interiores 6 toneladas 1 tonelada $5 mil
Pinturas exteriores 4 toneladas 2 toneladas $4 mil
Disponibilidad 24 toneladas 6 toneladas
Nos interesa maximizar la ganancia diaria. Denotamos al lote de pintura interior generado en un d´ıa con x1 y al de pintura
exterior con x2. Entonces tenemos las siguientes restricciones:
6x1 + 4x2 ≤ 24
x1 + 2x2 ≤ 6
x1, x2 ≥ 0
y nuestra funci´on objetivo es
G(x1, x2) = 5x1 + 4x2.
Graficar el conjunto de soluciones factibles y encontrar la soluci´on ´optima.
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