Este documento contiene información sobre geometría, trigonometría y geometría analítica. Se divide en secciones sobre geometría, trigonometría del triángulo rectángulo, ley de senos y cosenos, identidades y ecuaciones trigonométricas, y fórmulas trigonométricas. Incluye ejercicios de práctica con sus soluciones para cada tema.

1. Ing. Pablo Gandarilla Claure

2. Contenido
Geometría…………………………………………………………………….…...3
Trigonometría.
Trigonometría del triángulo rectángulo……………………………………..…..5
Ley de los Senos y ley de los Cosenos……………………………………..….7
Identidades y Ecuaciones Trigonométricas……………………………….…...9
Fórmulas trigonométricas…………………………………………….…………11
Geometría Analítica
Práctico de Geometría Analítica Nº 1………………………………………….13
Práctico de Geometría Analítica Nº 2………………………………………….14
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3. Geometría
1. Ángulos complementarios son aquellos que:
2. Dos ángulos adyacentes son:
3. La medida de un ángulo igual al triple de su suplemento es:
4. ¿Cuál es el ángulo que sumado al triple de su complemento da 210º?:
5. Calcular el valor del ángulo que disminuido en su suplemento es igual al triple de su
complemento.
6. La diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es 6 veces la medida del
ángulo, dicho ángulo es:
7. En la siguiente figura A + B – C es igual a:
A
70º
B C
8. El valor del ángulo x, en la siguiente figura es:
2x -10
2x+10
x
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4. 9. La medida del ángulo x en la siguiente figura es:
10. Se llama altura de un triángulo, a una recta:
11. Se llama triángulo escaleno a un triángulo que tiene:
12. El área del triángulo ABC, es:
C
40
30 B 50 A
13. Si el área de la circunferencia es de 25,13 cm2, el valor de la distancia d es:
14. Los valores de los ángulos x, y, z de la siguiente figura son:
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5. Trigonometría del triángulo rectángulo
1. El ángulo de elevación de una rampa de 80 pies que lleva a un puente sobre una
autopista mide 10,5º. Determine la altura de puente a la autopista. Exprese la altura en
metros.
2. Desde la parte superior de una casa, el ángulo de depresión, de cierto punto en el suelo
es de 25º. El punto está a 35 m de la base de la casa. ¿Qué tan alta es la casa?
3. La altura de la cima de una colina se eleva 40 m sobre el nivel de la pista de un
aeropuerto cercano, y la distancia horizontal desde el extremo final de una pista hasta un
punto que se encuentra directamente bajo la cima de la colina es de 325 m. Un avión
despega al final de la pista en dirección de la colina con un ángulo que permanece
constante hasta librarla. Si el piloto desea pasar a 30 m sobre la cima, ¿cuál debe ser el
ángulo con que debe elevarse, medido en grados?
4. El ángulo de elevación hasta la parte superior de un asta es de 35º, visto desde un punto
ubicado a 50 m de la base del asta. ¿Cuál es la altura del asta?
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6. 5. ¿Cuál es la altura de un edificio cuya sombra horizontal mide 50 m cuando el ángulo de
elevación del sol es de 60,4º?
6. En un punto que se encuentra a 100 pies de distancia de la base de un árbol de secoya
gigante, un topógrafo determina que el ángulo de elevación hasta la parte superior del
árbol es igual a 70º. ¿Cuál es la altura del árbol? Exprese la distancia en metros.
7. Desde la parte superior de un tanque de agua de 172 pies de altura, al ángulo de
depresión a una casa es de 13,3º. ¿A que distancia de la casa se encuentra el tanque de
agua? Exprese la distancia en metros.
8. Un puesto de observación, que está en la costa, se encuentra a una altura de 225 pies
sobre el nivel del mar. Si el ángulo de depresión desde este punto a un barco en el mar es
de 6,7º, ¿a qué distancia se encuentra el barco de la orilla del mar? Exprese la distancia
en metros.
9. Uno de los cables que sostienen un poste telefónico mide 82 pies de longitud y se fija al
piso a 14,5 pies de la base del poste. Determine el ángulo que forma el cable con el suelo.
10. Un topógrafo determina que desde el punto A en el suelo el ángulo de elevación hasta la
cima de una montaña mide 23º. Cuando él se encuentra en un punto ¼ de milla más
cerca de la base de la montaña, en ángulo de elevación es de 43º. ¿Cuál es la altura de la
montaña? Suponga que la base de la montaña y los dos puntos de observación está en la
misma recta.
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7. Ley de los Senos y ley de los Cosenos
Ley de los Senos:
Para cualquier  ABC con medidas angulares A, B, C y lados de longitud a, b, c,
a b c
 
senA senB senC
Ley de los Cosenos:
Para cualquier  ABC con medidas angulares A, B, C y lados de longitud a, b, c,
a 2  b 2  c 2  2bc cos A
b 2  a 2  c 2  2ac cos B
c 2  a 2  b 2  2ab cos C
1. Resuelva el  ABC si B = 75º, a = 5 y C = 41º
B
75º 5
 41º
A C
2. Dos cables que sostienen un poste de teléfono están unidos a la parte superior del poste
y anclados en el piso, en lados opuestos al poste, en los puntos A y B. Si AB = 120 pies y
los ángulos de elevación en A y B miden 72º y 56º respectivamente, determine la longitud
de los cables. Exprese el resultado en metros.
3. Un avión vuela en línea recta hacia una pista a una altitud fija. En cierto punto, el ángulo
de depresión hacia la pista es de 32º y después de 2 millas de vuelo mide 74º. ¿Cuál es
la distancia entre el avión y la pista cuando el ángulo de depresión mide 74º? Exprese el
resultado en kilómetros.
4. Desde la parte superior de una colina de 250 pies de altura, los ángulos de depresión
hacia dos cabañas, A y B, situadas a la orilla de un lago miden 15,5º y 29,2º,
respectivamente. Si las cabañas están hacia el norte del punto de observación, determine
la distancia entre ellas.
5. Un bote de motor parte de la orilla sur de un río con dirección norte hacia la orilla opuesta.
La velocidad del bote (en aguas tranquilas) es de 15 millas por hora y el río corre hacia el
este a 4 millas por hora. ¿Cuál es la velocidad real del bote y su rumbo final?
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8. 6. Determine c y los ángulos A y B en el  ABC si a = 4 cm., b = 7 cm. y C = 130º.
B
c
4
130º
A
7 C
7. Un faro mar adentro está a dos kilómetros de la estación de la guardia costera C y a 2,5
Km. De un hospital H cercano a la costa. Si el ángulo formado por el haz de luz emitido
por el faro hacia C y H mide 143º, ¿cuál es la distancia CH (en línea recta) entre la
estación de la guardia costera y el hospital?
8. Dos puntos A y B están señalados en la orilla de un lago. Un topógrafo se encuentra en
un punto C tal que AC = 180 m y BC = 120 m, y determina que el ángulo ACB mide 56,3º.
¿Cuál es la distancia entre A y B?
9. La diagonal de un paralelogramo mide 80 cm. y forma un ángulo de 20º con uno de los
lados. Si ese lado mide 34 cm., determine la longitud del otro lado del paralelogramo.
10. En la siguiente figura determine la distancia AB :
B
30
C
A 20
26
11. Un hombre a 100 m de la base de un risco suspendido mide un ángulo de elevación de
28º desde ese punto hacia la punta del risco. Si el risco forma un ángulo de 65º con el
suelo, determine su altura aproximada h.
12. Un cohete es lanzado desde el nivel del piso con un ángulo de elevación de 43º. Si el
cohete le pega a un avión que vuela a 20.000 pies, encuentre la distancia horizontal entre
el punto de lanzamiento y el punto situado directamente debajo del avión. ¿Cuál es la
distancia en línea recta entre el lanzacohetes y el avión?
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9. Identidades y Ecuaciones Trigonométricas
a) Verifique cada identidad utilizando identidades trigonométricas:
1  secβ 1  tan 2θ
1.  senβ  tgβ 6.  sec 2θ  1
cscβ 1  ctg θ
2
sec 2θ secθ
2.  csc 2θ 7. tanθ sec 2θ 
sec θ  1
2
cscθ  senθ
1 1 2  ctg 2β
3.   2csc 2α 8.  1  sen 2β
1  cosα 1  cosα csc β
2
4.
tanα senα
 cosα 1  sen β cos β
sec 2 α 9. 
cos β 1  sen β
secβ  cscβ tgβ  1
5.  tg3β  cot 3β
cscβ  secβ tgβ  1 10.  tg2β  csc 2β
tgβ  cotβ
b) Resuelva las siguientes ecuaciones:
1. cos 2 x 
1
sen x 
1 6. sen(2x) tg(x)  1
2 2
7. sen(x) sen(x)  2  1
2. 3  3cos x  2sen 2 x
3 3 4
 sen x  cos 2 x
3. cos x tg x  0,5 8.
4 4 3
4. sen x sec x  1 9. cos 2 2x   3sen2x   3  0
5. sen x 
tg x
10. 2cos x  - 3 tg x
cos x
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10. c) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:
cos x cos y  1 / 2 2sen x  1  cos y
 
sen x sen y  1 / 2 2 cos x  1  cos y
1. 2.
sen x  sen y  1 / 2 sen x  sen y  3 / 2
 
 2  x y 3
3.
 x y  4.
cos 
 3  2 2
Recuerde que:
1) sen (α  β)  sen α cos β  cos α sen β 1  cos 2α
10) sen 2 α 
2
2) sen (α  β)  sen α cos β  cos α sen β
1  cos 2α
11) cos 2 α 
3) cos (α  β)  cos α cos β  sen α sen β 2
4) cos (α  β)  cos α cos β  sen α sen β 1  cos 2α
12) tg2 α 
1  cos 2α
tg α  tg β
5) tg (α  β) 
1  tg α tg β α 1  cos α
13) sen 
2 2
tg α  tg β
6) tg (α  β) 
1  tg α tg β α 1  cos α
7) sen 2α  2sen α cos α 14) cos 
2 2
8) cos 2α  cos 2α  sen 2α α sen α 1  cos α
15) tg  
2 1  cos α sen α
2tg α
9) tg 2α 
1  tg2 α
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11. Fórmulas trigonométricas
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
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12. 2
Tabla Trigonométrica de Ángulos Ordinarios
Angulo 0 30 45 60 90
Sen2 (a) 0/4 1/4 2/4 3/4 4/4
Cos2 (a) 4/4 3/4 2/4 1/4 0/4
Tan2 (a) 0/4 1/3 2/2 3/1 4/0
Dado un triángulo a, b, c, con ángulos A, B, C; a está opuesto a A; b opuesto a B; c opuesto
a C,
a b c
  Ley de los
Senos
senA senB senC
a 2  b 2  c 2  2bc cos A
Ley de los
b 2  a 2  c 2  2ac cos B Cosenos
c 2  a 2  b 2  2ab cos C
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13. Práctico de Geometría Analítica Nº 1
1. Demostrar que es rectángulo el triángulo ubicado entre los puntos (1, 5); (4, 4); (3, 1).
2. Demostrar que es isósceles el triángulo ubicado entre los puntos (1, 5); (6, 2); (5, 6).
3. Hallar los ángulos formados por las rectas:
a) 3x – 2y – 12 = 0 5x + 3y – 17 = 0
b) 2x + y – 4 = 0 3x – 4y + 12 = 0
4. Hallar las ecuaciones de la recta paralela y perpendicular a las siguientes rectas que
pasan por el punto indicado:
a) 3x + 2y – 6 = 0; P(3, 2)
b) x –2y –2 = 0; P(4, 3)
5. Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro en el punto (5, -2) y de radio
igual a 3.
6. Hallar la longitud de la circunferencia, cuya ecuación es:
25x 2  25 y 2  30 x  20 y  62  0
7. Hallar la ecuación general de la circunferencia que tiene centro en el punto (3, 4) y es
tangente a la recta: x  2 y  3  0
8. Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x 2  y 2  2 x  2 y  39  0
en el punto (4, 5)
9. Hallar la ecuación general de la circunferencia de radio igual a 4; concéntrica a la
circunferencia: x 2  y 2  10 x  6 y  9  0
10. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro (1, 1) y que pasa por el punto (4, 5).
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14. Práctico de Geometría Analítica Nº 2
1. Dadas las siguientes ecuaciones cuadráticas identificar las cónicas que representan,
determinar todos sus elementos y realizar los gráficos.
a) 4 x 2 + 9 y 2 = 36
b) x 2 + 3 y 2 = 6
2. Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (4, 0) y (–4, 0), y cuyos
focos se encuentran en los puntos (3, 0) y (–3, 0).
3. Los vértices de una elipse son los puntos (0, 6) y (0, –6), y sus focos se encuentran en
los puntos (0, 4) y (0, –4). Hallar su ecuación.
4. Dadas las siguientes ecuaciones cuadráticas identificar las cónicas que representan,
determinar todos sus elementos y realizar los gráficos.
a) y 2 = 12 x
b) y 2 + 8 x = 0
c) x 2 + 2 y = 0
5. Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y directriz la recta: x + 5 = 0.
6. Hallar las ecuaciones de las parábolas a partir de los siguientes datos:
a) Foco (3, 4); directriz: x – 1 = 0
b) Foco (3, –5); directriz: y – 1 =0
7. Dadas las siguientes ecuaciones cuadráticas identificar las cónicas que representan,
determinar todos sus elementos y realizar los gráficos.
a) 9 y 2 – 4 x 2 = 36
b) x 2 – 4 y 2 = 4
8. Los vértices de una hipérbola son los puntos (2, 0) y (–2, 0), y sus focos se encuentran
en los puntos (3, 0) y (–3, 0). Hallar su ecuación.
9. Hallar las ecuaciones de las hipérbolas a partir de los siguientes datos:
a) Focos (–7, 3), (–1, 3); longitud del eje transverso = 4
b) Vértices (1, 4), (5, 4); longitud del lado recto = 5
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