1) El documento explica las diferencias entre desplazamiento y espacio recorrido, así como las componentes intrínsecas de la velocidad y la aceleración. 2) Se definen conceptos como velocidad, aceleración, velocidad media e instantánea, aceleración tangencial y normal. 3) Se explican diversos problemas y ejercicios sobre movimiento rectilíneo y curvilíneo uniforme y acelerado.

1. Eric CalvoLorente Física y Química
1º Bachillerato

2. θ
r distancia que separa un punto con el orígen de coordenada s
θ
Aclarémoslo con un ejemplo:
A
r
θ
En Coordenadas Cartesianas:
A (4,4)
En Coordenadas Cartesianas:
r 42 42 32
4
θ arctg arctg1 45º
4 4
Luego:
A ( 32 , )
4
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3. x r. cos y r.sen y y
tg arctg
y r.sen x r. cos x x
Además :
r x2 y2
La representación de las coordenadas, expresadas en coordenadas
cartesianas, puede representarse por medio de vectores:
A
r
j
i
r ( x, y ) xi yj
, donde i , j son los vectores unitarios en las direcciones de los
ejes.
La unidad de medida de la posición en S.I, como bien puede suponerse, es el
metro.
OBSERVACIÓN: Coordenadas en el espacio tridimensional
Es obvio que en esta circunstancia se necesitará una nueva
coordenada.
En coordenada s cartesiana s :
r xi yj zk ( x, y , z )
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4. Por su parte, en coordenadas polares:
El cambio de posición de un móvil en función del tiempo (movimiento),
puede expresarse matemáticamente mediante una ecuación, llamada
.
x f (t ).i
r y f (t ). j
z f (t ).z
La representación gráfica de la posición en el transcurso del tiempo dará
lugar a la del móvil, sin más que unir tales posiciones mediante una
línea.
Los siguientes conceptos son muy importantes en cinemática. Se trata de
definiciones muy simples pero que, si no son correctamente asimiladas, serán
confundidas entre sí. Veamos:
Vector Desplazamiento:
r r2 r1
Trayectoria: Línea geométrica descrita por el móvil
Espacio Recorrido: Espacio medido sobre la trayectoria
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5. De estas definiciones se desprende que para una trayectoria cerrada (aquella
en la que se regresa al punto de partida), el espacio recorrido será la longitud de tal
trayectoria, pero el desplazamiento será nulo
Se define como la rapidez con la que un móvil cambia su posición.
Se trata de una magnitud que necesita, además de un valor (módulo), una
dirección y un sentido. Podemos considerar, pues, que la velocidad es una
.
Podremos definir entonces un vector que llamaremos :
r r2 r1
v
t t2 t1
, cuya dirección y sentido serán los del movimiento.
El módulo de este vector se conoce como
Por último, decir, que la unidad usada en S.I es el m/ s, como de sobra sabemos
El vector velocidad media se define como la relación existente entre el
desplazamiento realizado por el móvil y el tiempo empleado en ello.
Matemáticamente:
r2 r1
vm
t2 t1
A medida que los disminuyen, también lo harán los
, hasta que, en el límite, es decir, cuando los primeros
tiendan a cero, los segundos serán los correspondientes a un instante temporal. Así,
podremos definir a:
r dr
v i Lim Lim v m vi
t 0 t t 0 dt
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6. Si además tenemos en cuenta que:
r xi yj zk
dr dx dy dz
vi i j k
dt dt dt dt
ó
dx dy dz
vi , ,
dt dt dt
Para conocer el módulo de la velocidad de un móvil:
r xi yj zk ( x , y , z ) , y puesto que :
dr dx dy dz
v i j k (v x , v y , v z )
dt dt dt dt
cuyo módulo será :
2 2 2
v v vx vy vz
Magnitud física que mide la rapidez con la que un móvil varía su vector
velocidad.
Matemáticamente, se trata de una magnitud vectorial cuya ecuación viene
dada por:
Δv
am , cuya unidad en S.I es el
Δt
A partir de la definición debe desprenderse que se producirá un cambio en el
vetor a siempre que:
a) Se produzca una variación en el módulo de la velocidad. En este
sentido, si la velocidad aumenta, la aceleración resultará positiva. Por
el contrario, si la velocidad disminuye paulatinamente, el valor del
módulo de la aceleración será negativo (lo que se traducirá en una
deceleración o frenado),
b) Si varía la dirección de v . Así, si por ejemplo tratamos un movimiento
curvilíneo, aparecerá un tipo de aceleración asociado al cambio de
dirección de dicho vector.
dv d
a vxi vy j vz k a axi ay j az k
dt dt
Si consideramos, además, que:
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7. dr
v
dt d dr d 2r
a a
dv dt dt dt 2
a
dt
Ya hemos dicho que a la aceleración surge
como consecuencia, bien de cambios en el módulo de
la velocidad, bien a causa de cambios en la dirección
del vector v .
Es lógico, pues, diferenciar dos tipos de
aceleración, la y la
La aceleración tangencial, atg está asociada a
d d 2 2 2
atg v vx vy vz (1)
dt dt
d d 2 2 2
atg v vx vy vz .u tg (2)
dt dt
Su módulo viene dado por la expresión (1)
La dirección, tangente a la trayectoria
El sentido, el mismo que el del movimiento para aceleraciones
positivas, o sentido contrario para aceleraciones negativas
En la expresión (2), el vector u tg representa un vector unitario en la
dirección tangente a la trayectoria
También llamada o , surge como
consecuencia de la curvatura de ciertos movimientos.
Se caracteriza por:
2
v
a) Su módulo viene dado por: ac
R
, donde R es el radio del arco de curvatura
b) Tiene dirección radial
c) Su sentido se dirige hacia el interior de la curva (concretamente, hacia el
centro del arco de curvatura)
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8. 2
v
Es decir: ac .u R
R
, indicando el signo negativo que se dirige
en sentido contrario al radio (es decir, hacia el
centro).
Estas dos componentes de la aceleración se
denominan
. Con estas premisas, podemos
decir que:
a a c atg
2 2
a ac atg
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9. 1. ¿Qué diferencia existe entre desplazamiento y espacio recorrido?
2. ¿Pueden ser iguales en todo momento la velocidad media y la instantánea en algún movimiento?
3. ¿Cuál es el significado físico de las componentes intrínsecas de la aceleración?
4. Explica el tipo de movimiento que seguiría un móvil, si
a. atg cte y a c 0
b. atg 0 y ac cte
c. atg 0 y ac 0
5. Si la aceleración tiene componentes intrínsecas, ¿por qué no se habla de componentes intrínsecas de la
velocidad?
6. ¿Puede un cuerpo tener velocidad cero, y sin embargo estar acelerado? razona la respuesta
7. ¿Puede un cuerpo tener celeridad constante y velocidad variable?
8. ¿Puede un cuerpo tener celeridad constante y velocidad constante?
9. ¿Puede cambiar la dirección de la velocidad de un cuerpo si su aceleración es constante?
10. ¿Puede un cuerpo aumentar su velocidad si su aceleración disminuye?
11. ¿Podría moverse un cuerpo hacia la derecha si su aceleración se dirige hacia la izquierda?
12. ¿Qué tipo de movimiento describiría un objeto cuya aceleración fuese en todo momento perpendicular a
la trayectoria y aumentase, además, de manera constante? ¿y si la aceleración se mantuviese constante?
13. ¿Crees que la velocidad media de un móvil puede ser cero en cierto intervalo de tiempo?
14. ¿Puede ser negativo el módulo de la velocidad? ¿y el de la aceleración?
15. Indica cuál de las siguientes ecuaciones representa a un móvil que se desplaza en una única dirección
con aceleración constante, razonando la respuesta:
1 2
a) x 5t d) x t
29´8
b) x 3t 3 t e) y 2t - 4t 2
2
c) y 2t
¿Qué forma tendrían las gráficas posición-tiempo en los casos elegidos? ¿Qué te sugiere?
16. En la siguiente gráfica posición-tiempo se
representa el movimiento efectuado por un móvil:
a) Describir el movimiento
b) ¿Cuánto vale la velocidad media en
cada tramo? (Sol: 4; 0; -3 m/ s)
c) ¿Y la velocidad media total?
(Sol: 0m/ s)
17. La siguiente figura muestra las posiciones que
ocupa una bola en movimiento.
A partir de ella deducir:
a) Ecuación de la posición en función del tiempo (Sol: 2t2 m)
b) La velocidad media en el intervalo de tiempo
considerado (Sol: 4m/ s)
c) La velocidad instantánea en los tiempos
señalados (Sol: 0;2;4;6;8 m/ s)
d) La aceleración del móvil (Sol: 4m/ s2)
e) ¿Cuál será su velocidad a los 5 segundos? (Sol: 20 m/ s)
18. La siguiente tabla muestra las coordenadas (en metros) de un móvil en función del tiempo
(en segundos)
a) Determinar su vector posición en función del tiempo (Sol: 10 j 25k m)
b) ¿Cuál es el vector desplazamiento
correspondiente a los 5 segundos?
c) ¿Cuántos metros ha recorrido en esos
5 segundos? (Sol: 26´92 m)
d) Representa las gráficas v-t y a-t en ese
intervalo de tiempo
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10. 19. La siguiente figura representa la aceleración total, en un instante dado, de una partícula que
describe círculos de 3 m de radio. Calcular en ese instante:
a) Aceleración centrípeta (Sol: 12´99m/ s2)
b) Valor de la velocidad (Sol: 6´24m/ s)
c) Aceleración tangencial (Sol: 7´5m/ s2)
20. Dado el vector velocidad v 3ti 4tj , calcula:
a) Aceleración tangencial (Sol: 5m/ s)
b) Aceleración normal (Sol: 0 m/ s2)
c) Radio de curvatura ( Sol: 0 m )
21. El movimiento de una partícula viene dado por la expresión:
8 3
r 2t 2 2i t 1 j t 3k
3
, donde la posición viene dada en metros y el tiempo en segundos
Calcular, para t= 1 sg:
a) Vector velocidad
b) Módulo de la velocidad
c) Vector aceleración
d) Módulo de la aceleración
e) Aceleración normal
f) Aceleración tangencial
g) Radio de curvatura
22. Un móvil se desplaza en el plano XY siguiendo la siguiente trayectoria, expresada en
paramétricas:
1 2
x 3t 3 t 6
2
y 6t 2 sen2t , expresados en metros y en segundos.
z 0
Calcular la velocidad y la velocidad del móvil en cualquier instante. Concreta el resultado
para t=15 segundos
23. El movimiento rectilíneo de un móvil viene descrito
por la siguiente gráfica.
a) Indicar el tipo de movimiento en cada tramo
b) Calcular el espacio recorrido en cada tramo
c) Calcular la velocidad media en los 35
primeros segundos
24. El vector velocidad de un movimiento viene expresado a través de la ecuación:
v t 2 ,2t
. Determinar:
a) Velocidad para t= 1 y t= 3 s
b) Calcular también la aceleración media y su módulo durante ese intervalo de tiempo
25. Un móvil describe una trayectoria dada por.
x= t2-4t
a) Construir y analizar el gráfico x-t
b) Indicar si existe cambio de sentido y en qué momento
c) Determinar el tiempo que tarda el móvil en retornar la punto de partida
26. La siguiente ecuación nos define el movimiento de una partícula en el plano OXY,
r 5t ,10 3t 5t 2 , en SI. Determinar:
a) Ecuación de la trayectoria. Representación gráfica
b) Ecuaciones de v y a
c) Módulos de las componentes intrínsecas de la aceleración para t= 1 s
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11. 27. Una partícula se mueve en trayectoria plana. Las componentes del radio-vector que define en
cualquier momento su posición son:
x 2t 2 3
, (en SI)
y t3 2t 1
Determinar:
a) v, a
b) Módulo, para t= 1 s, de las componentes intrínsecas de la aceleración
c) Radio de curvatura en dicho instante
d) Velocidad de la partícula en el punto A(5,5)
28. La posición de una partícula varía con el tiempo según r= (4t+ 2)i expresada en SI. Calcular la
velocidad media en los intervalos 1s y 3s, y 2s y 4s. ¿Qué tipo de movimiento es?.
29. La posición de una partícula viene dada por r= (3t 2+ 1)i en el SI. Calcular:
a) La velocidad en cualquier instante.
b) La velocidad en los instantes t=2s y t= 5s.
30. Una partícula se mueve con una velocidad v= (2t-1)j m/ s. Determinar la aceleración media entre
los instantes 1s y 3s y entre los instantes 2s y 4s.
31. Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria (componentes cartesianas en función de t de la
posición) de una partícula son x= t 2+ 2; y= 2t2-1 donde x e y están dados en m y t está en s.
Calcular:
a) La velocidad instantánea.
b) La aceleración media
c) La aceleración instantánea.
32. La posición de una partícula viene dada por r= 3t 2i + (2t+ 4)j en el SI. D etermina:
a) La ecuación de la trayectoria
b) La posición en los instantes t= 0; t= 2s y t= 5s.
c) Velocidad instantánea en los instantes t= 2s y t= 5s.
d) Aceleración instantánea
33. Las componentes cartesianas de la posición de una partícula son x= 4.cos(π / 4 t); y= 4sen(π / 4 t).
Determinar:
a) Posiciones en los instantes 0s, 2s, 4s y 6s.
b) Ecuaciones del movimiento r (t), v (t) y a (t).
c) Desplazamiento en el intervalo 0s y 8s.
d) Ecuación cartesiana [y= f(x)] de la trayectoria.
e) Valor de la velocidad en cualquier instante
34. El vector posición de una partícula es el siguiente: r= (t-1)i+ (t 2+ 2t-1)j (m/ s)
a) Escribir la ecuación de la trayectoria.
b) ¿A qué distancia del origen se encuentra a los 3 s?.
(Sol: y= x2+ 4x+ 2; 14,14 m)
35. Un móvil tiene una velocidad de v= 3t 2i+ 4t2j m/ s. Calcular las componentes tangencial y normal
de la aceleración.
(Sol: 10t m/ s2; 0)
36. Una partícula se mueve con una velocidad dada por v= 8t-7, estando expresada v en metros por
segundo y t en segundos.
a) Hallar la aceleración media para los intervalos de 1 s. que empiezan en t= 3 y t= 4,
segundos, respectivamente
b) Calcular la aceleración instantánea en dicho intervalo
c) Repetir los apartados anteriores para calcular la velocidad media e instantánea y (d)
Dibujar e, v y a en función del tiempo (e es el espacio recorrido por el móvil y a su
aceleración).
(Solución: (a) 8 m/ s2, (b) 8 m/ s2, (c) vm= 21 m/ s2, v= 8t-7.)
37. El vector posición de un punto, en función del tiempo, viene dado por:
r (t) t·i (t 2 2) j (S.I.)
Calcular:
a) La posición, velocidad y aceleración en el instante t= 2 s.;
b) El ángulo que forman el vector velocidad y aceleración en el instante t= 2 s.;
c) La aceleración media entre 0 y 2 segundos.
(Sol:
r( 2 ) 2i 6 j m; v ( 2 ) i 4 j m/s;a( 2 ) 2 j m/s 2 , 14º;a 2 j m/s 2
)
38. El vector posición de un móvil viene dado por: r 2t 2 i 4j (S.I.). Calcular:
a) La velocidad media entre 3 y 6 segundos;
b) La velocidad instantánea;
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12. c) La aceleración a los 2 segundos y
d) El módulo de la aceleración tangencial.
2 2
(Sol: 18i m/s, 4ti m/s, 4i m/s , 4 m/s )
39. La velocidad de un móvil viene dada por las ecuaciones :
vx 3 2t 2 y v y 3t (S.I.).
Calcular:
a) La velocidad al cabo de 1 segundo
b) La aceleración instantánea y su módulo.
2 2 1/ 2 2
(Sol: 5i 3 j m/s, 4ti 3 j m/s , ( 16t 9 ) m/s )
2
40. La posición de un móvil viene dada por: x = 2t ; y = 2t – 1 , en el S.I.. Calcular:
a) La ecuación de la trayectoria;
b) La velocidad instantánea;
c) La aceleración a los 10 segundos.
1 2
(Sol: y x -1 m , 2i 4tj m/s, 4 j m/s 2
2
41. La velocidad de un móvil que sigue una trayectoria rectilínea viene dada por la ecuación:
v (t) (t 2 -8t)j
, en unidades del S.I.
Calcular:
a) La aceleración media entre los instantes t = 2 s y t = 4 s
b) La aceleración instantánea en t = 3 s.
c) Las componentes intrínsecas de la aceleración en cualquier instante.
(Sol: -2 j m/s 2 , -2 j m/s 2 , a N 0 , atg 2t- 8 m/s 2 )
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