SESIONES 1 Y 2

1. Las Matemáticas y su enseñanza
en la escuela secundaria II
Forma, espacio y medida
TRAYECTO FORMATIVO
PRIMERA ETAPA
2012-2013

2. CALENDARIO
LUNES 3 DE DICIEMBRE 2012 1ª SESIÓN
MARTES 4 DE DICIEMBRE 2012 2ª SESIÓN
LUNES 10 DE DICIEMBRE 2012 3ª SESIÓN
MARTES 11 DE DICIEMBRE 2012 4ª SESIÓN
LUNES 7 DE ENERO 2013 5ª SESIÓN
MARTES 8 DE ENERO 2013 6ª SESIÓN
LUNES 14 DE ENERO 2013 7ª SESIÓN
MARTES 15 ENERO 2013 8ª SESIÓN

3. Evaluación
• Breve Descripción o de la estrategia de solución
para cada actividad
1. “Construcciones Geométricas” 10 actividades
2. Transformaciones en el plano 11 actividades
3. Semejanza Escalas y Trigonometría 6 actividades
4. “Medición” 9 actividades

4. Actividad Didáctica
• Un archivo electrónico que contenga la presentación
en diapositivas de la Actividad Didáctica diseñada por
equipos, que deberá presentarse al final del Curso.
• 3. El archivo electrónico de texto en donde se
describan las siguientes características de la Actividad
Didáctica diseñada:
a) Grado escolar al que está dirigido.
b) Competencias disciplinares que promueve.
c) Conceptos matemáticos que involucra.
d) Metodología propuesta para su instrumentación.
e) Materiales didácticos que requiere.

5. Sesión 1
Actividad 1
Construcción de estructuras
Materiales: palillos de dientes y bombones
miniatura
• En Equipo de 4 personas tiene 15 minutos
para construir la estructura más alta posible
que se pueda sostener por sí sola.
• Al término de los 15 minutos, mida la altura
de su estructura y conteste las siguientes
preguntas.

6. • Altura: _____________________
• ¿Qué características observan en su
estructura? (se mantiene rígida, se
bambolea, se ladea, alcanzó poca altura, etc.)
• ¿A qué creen que se deban esas
características?
• Realicemos la descripción de solución a la
actividad
• Sin destruir esta estructura, continúen con
las siguientes actividades

7. Actividad 2
Construcción de cuadriláteros dadas
las medidas de sus lados
• Recorte las tiras acoplables que le serán
entregadas por el instructor
• trate de construir cuadriláteros con las medidas
indicadas en la tabla de abajo y llene los
recuadros en blanco.
• Si puede construir el cuadrilátero, trate de
cambiar su forma sin cambiar la longitud de sus
lados y llene la sexta columna.
• En los renglones de abajo, experimente con
longitudes seleccionadas por usted mismo.

8. Lado A Lado B Lado C Lado D ¿Se puede construir el ¿Se puede deformar el
cuadrilátero? (Si/No) cuadrilátero? (Si/No)
10 10 10 10
10 7 5 4
10 5 6 4
7 6 3 4
8 6 4 4
6 4 1 2
8 3 3 2
9 2 3 3

9. • Considere las longitudes de los lados de los
cuadriláteros anteriores.
• ¿Podría unir los segmentos en un orden diferente para
hacer un cuadrilátero diferente? Si es así, ¿en cuáles?
• Escriba con sus propias palabras una regla que
describa cuándo se puede construir un cuadrilátero
dadas las longitudes de sus lados.
• Compare la regla que escribió, con la de sus
compañeros.
¿Se pueden construir dos cuadriláteros diferentes,
dadas las medidas de sus lados? Justifique su
respuesta
• En el cuadrilátero de medidas 8, 6, 4, 4, elimine uno
de los lados y cierre la figura, ¿Qué observa en cuanto
a la flexibilidad de la nueva figura?
• Redacte sus conclusiones sobre la realización de la
actividad.

10. Actividad 3
Construcción de triángulos dadas
las medidas de sus lados
• Utilice las tiras acoplables que le serán entregadas
por el instructor para tratar de construir triángulos
con las medidas indicadas en la tabla de abajo
• Llene los recuadros en blanco.
• Si puede construir el triángulo, trate de cambiar su
forma sin cambiar la longitud de sus lados para
llenar la quinta columna.
• En los renglones de abajo, experimente con
longitudes seleccionadas por usted mismo.

11. Lado A Lado B Lado C ¿Se puede construir el ¿Se puede deformar el
triángulo? (Si/No) triángulo? (Si/No)
8 8 8
8 7 4
5 4 2
7 4 3
8 6 4
6 3 2

12. 2. Si se le pide construir triángulos en los que un lado mide
16 unidades, y los otros dos se dan en la lista de abajo, ¿en
qué casos cree que podría construirlo? Justifique su
respuesta sin tratar de construir el triángulo
Lado A Lado B Lado C ¿Se puede construir el ¿Por qué?
triángulo? (Si/No)
16 6 6
16 7 8
16 9 10
16 6 10
16 8 9
16 10 4
16 14 6
16 14 1

13. • ¿Qué condición considera deben cumplir las
longitudes de tres segmentos para poder construir un
triángulo?
• Escriba con sus propias palabras una regla que
describa la relación entre las medidas de los lados de
un triángulo.
• Compare la regla que escribió, con la de sus
compañeros.
• Suponga que se le pide construir un triángulo cuyos
lados miden 14.5, 21.4 y 17.3 cms. ¿Cree que podrá
hacerlo? Justifique su respuesta.
• 6. ¿Se pueden construir dos triángulos diferentes,
dadas las tres medidas de sus lados? Justifique su
respuesta
• ¿Es diferente construir triángulos a construir
cuadriláteros? ¿En qué sentido?
• Escriba sus conclusiones sobre la actividad.

14. Actividad 4
Construcción de estructuras
• Para esta actividad de nuevo su equipo utilizará la
estructura construida en la actividad 1.
• Observen su estructura y contesten las siguientes preguntas.
• Altura: _____________________
• 1. ¿Qué tipo de figuras usaron en su estructura?
• 2. ¿Qué tipo de figuras la hicieron más fuerte?
• 3. ¿Qué tipo de figuras la hicieron más débil?
• 4. Si tuvieran la oportunidad de construir la estructura otra
vez, ¿qué cambiarían?
• Construyan una nueva en 10 minutos.
• El propósito es construir una estructura más alta que la
anterior.
• Escriba su descripción de la estrategia de construcción

15. ACTIVIDAD 5
Doblando papel; trazos notables
• Material: hojas transparentes para doblar.
• Es importante que tan sólo trabaje con sus manos, la
hoja que esté doblando y el lápiz con el que resaltará,
en algún doblez, el trazo requerido.
• ¿Tiene a la mano su primera hoja para doblar? Si es así
ya está usted listo(a) para realizar algunas de las
construcciones geométricas más prácticas en una gran
cantidad de ámbitos: costura, arquitectura, albañilería,
deporte, ingeniería, arte, cocina, etc.
• Tome la hoja y exprese qué hacer para trazar un
segmento de recta:
• ¡Trace el segmento en su hoja!

16. • Ahora ¿Cómo encuentra exactamente el punto medio de ese
segmento?
• Después de marcarlo en el segmento comente con su pareja
cómo es que con toda seguridad puede afirmar que es
exactamente el punto requerido.
• Escriba a continuación en forma breve su principal argumento
para tal afirmación:
• Coméntenlo con el resto del grupo.
• Si ahora traza usted una línea perpendicular al segmento que
pase por ese punto medio, obtendrá la mediatriz del segmento.
• La mediatriz tiene la propiedad de que cada uno de sus puntos
equidistan de los extremos de segmento.
• Trace la mediatriz y verifique la propiedad mencionada en el
párrafo anterior, tomando cualquier punto de ella (menos el de
intersección con el segmento).
• Comente con sus compañeros estas respuestas y discuta con
ellos cómo es que llevó a cabo la verificación sobre esta
propiedad de la mediatriz.

17. • Tome otra hoja y trace de nuevo un segmento como el
anterior.
• Seleccione un punto cualquiera en su hoja que esté
sobre o bajo el segmento, pero no alineado con él.
• Márquelo con la punta de su lápiz y ahora trace una
línea que sea perpendicular al segmento (o a su
prolongación) y que pase por ese punto.
• Ahora trace en una hoja limpia un segmento como en
las anteriores y seleccione de nuevo un punto
cualquiera –con las mismas restricciones que antes –
• Construya una paralela al segmento que pase por el
punto.
• Describa brevemente cómo realizó los trazo y por qué
puede asegurar que efectivamente las línea son
perpendicular y paralela respectivamente.
• Entregue las descripciones realizadas al coordinador.

18. Actividad 6
Trazo de las mediatrices, bisectrices
y medianas en un triángulo
• Material hojas de papel transparente
• En primer término tomen 3 hojas. Dibuje en cada
hoja, en la parte central, un triángulo diferente.
• En un triángulo trace las mediatrices, tomando en
cuenta que:
a) Un triángulo tiene tres mediatrices.
b) La mediatriz de cada lado del triángulo es la recta
perpendicular a dicho lado y que pasa por su punto
medio.
• Comente brevemente cómo llevó a cabo la
construcción de cada mediatriz

19. • En otro Triángulo tracen las medianas considerando que:
a) Un triángulo tiene tres medianas.
b) Cada mediana es un segmento de línea cuyos extremos son
el punto medio de un lado del triángulo y el vértice opuesto
a él.
• Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de
cada mediana
• En el último triángulo trace las bisectrices, tomando en
cuenta que:
a) Un triángulo tiene tres bisectrices.
b) Cada bisectriz es un segmento de línea que biseca (divide
en dos partes iguales) cada uno de sus tres ángulos, y por
lo tanto parte de un vértice hasta el lado opuesto.
• Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de
cada bisectriz.

20. Responda brevemente a las siguientes cuestiones y
luego compare sus respuestas con las de sus
compañeros.
• ¿Cuál trazo se le dificultó menos?
• ¿Cuál se le dificultó más?
• ¿En todos los triángulos se mantiene la misma
dificultad?
• ¿Hay algunas características que usted haya
observado y quiera resaltar?
• ¿Qué particularidad tomarán esas características en
un triángulo isósceles?
• Coméntelo con sus compañeros
• Escriba sus conclusiones y entréguelas al coordinador.

21. Actividad 7
Trazo de las alturas en un triángulo
• Material: hojas de papel translúcido.
• Dibuje un triángulo acutángulo, un triángulo
obtusángulo y un triángulo rectángulo
respectivamente en cada hoja
• En cada triángulo trace las alturas, tomando en
cuenta que:
a) Un triángulo tiene tres alturas.
b) Cada altura es un segmento de línea que parte
desde un vértice hasta el lado opuesto -o su
prolongación-, con una dirección perpendicular a
ese lado opuesto.
Comente brevemente cómo llevó a cabo la
construcción de cada altura.

22. • Responda brevemente a las siguientes cuestiones y
luego compare sus respuestas con las de sus
compañeros.
• ¿En cuál triángulo el trazo de las alturas se le dificultó
menos?
• ¿En cuál se le dificultó más?
• ¿Hay algunas características que usted haya
observado y quiera resaltar?
• ¿Qué particularidad cree que tomarán esas
características en un triángulo isósceles?
• Comente con sus compañeros lo que haya conjeturado
y registre en sus notas lo que le parezca importante,
con el propósito de verificarlo posteriormente
mediante construcciones con software de geometría
dinámica.

23. • Observe los triángulos dibujados entre líneas paralelas de
la siguiente figura y responda a las cuestiones que se
plantean, sin hacer mediciones, solamente reflexionando
en las propiedades de lo que se observa:
¿Qué características tienen en común los tres triángulos?
¿Cómo podría usted argumentar la validez de su
respuesta? Escriba brevemente su argumento y luego
comente con sus compañeros.
Escriba sus conclusiones y entréguelas al coordinador

24. Actividad 8
Trazos notables con regla y compás
• Material: hojas blancas, regla y copmás
• Tome la hoja y trace en ella un segmento de recta.
• Ahora, haciendo uso únicamente de la regla no
graduada y el compás ¿Cómo encuentra exactamente
el punto medio de ese segmento?
• ¡Trace el punto medio del segmento!
• Después de marcarlo en el segmento comente con
sus compañeros de equipo cómo es que con toda
seguridad puede afirmar que es exactamente el
punto requerido.
• Escriba a continuación en forma breve su principal
argumento para tal afirmación.
• Coméntelo con el resto del grupo.

25. • Trace la mediatriz del segmento y verifique la propiedad
mencionada en el punto 3 de la actividad 5, tomando un
punto de ella (menos el de intersección con el segmento).
• Describa brevemente los trazos necesarios para obtener
la mediatriz
• ¿Qué es lo que le permite asegurar que la línea trazada
por ese punto medio es perpendicular al segmento?
• Comente con sus compañeros estas respuestas y discuta
con ellos cómo es que llevó a cabo la verificación sobre la
propiedad solicitada.
• Tome otra hoja y trace de nuevo un segmento como el
anterior. Seleccione un punto cualquiera en su hoja que
esté sobre o bajo el segmento, pero no alineado con él.
Márquelo con la punta de su lápiz y ahora trace una línea
que sea perpendicular al segmento (o a su prolongación)
y pase por ese punto.
• Describa brevemente cómo realizó el trazo y por qué
puede asegurar que efectivamente la línea es
perpendicular.

26. • Ahora trace en una hoja limpia un segmento
como en las anteriores y seleccione de nuevo un
punto cualquiera –con las mismas restricciones
que antes – Construya una paralela al segmento
que pase por el punto.
• Describa brevemente cómo realizó el trazo y por
qué puede asegurar que efectivamente la línea
es paralela.
• Argumenten en plenaria sus afirmaciones.
• Entregue sus Argumentaciones y descripciones al
coordinador.

27. Actividad 9
Trazo de las mediatrices, bisectrices y medianas en
un triángulo con regla y compás
• Material: hojas de papel, regla y compás
• Tracen tres triángulo acutángulo, obtusángulo y rectángulo
respectivamente.
• Utilizando regla y compás, trace en cada triángulo las tres mediatrices.
• Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de cada
mediatriz
• Tome otras tres hojas y repita el dibujo de los triángulos diferentes.
• En cada uno trace las tres medianas
• Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de cada
mediana
• Tome otras tres hojas y repita el dibujo de los triángulos diferentes.
• En cada uno trace las bisectrices
• Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de cada
bisectriz.

28. • Responda brevemente a las siguientes cuestiones y
luego compare sus respuestas con las de sus
compañeros.
• ¿Cuál trazo se le dificultó menos?
• ¿Cuál se le dificultó más?
• ¿En todos los triángulos se mantiene la misma
dificultad?
• ¿Hay algunas características que usted haya observado
y quiera resaltar?
• ¿Qué particularidad tomarán esas características en un
triángulo isósceles?
• Coméntelo con sus compañeros y a juicio del instructor
verifique su conjetura.
• Escriba sus conclusiones y entréguelas a sucoordinador

29. Aactividad 10
Explorando “Software de Geogebra”
• Con el fin de familiarizarse con los comandos
del software de geometría dinámica que
vamos a utilizar a lo largo de esta actividad,
realice las siguientes acciones guiado por su
instructor:
• 1. Construya un segmento de recta, determine
su longitud dinámica y deslice
alternativamente sus puntos extremos para
observar lo que sucede.

30. • 2. Construya un ángulo, determine su medida dinámica y varíe su abertura.
• 3. Construya un triángulo, etiquete sus vértices y sus lados, determine las
medidas de sus lados y de sus ángulos, obtenga su perímetro y su área.
• 4. Dado un segmento de recta y un punto exterior a él, construir una recta
paralela y otra perpendicular a dicho segmento que pasen por el punto dado.
• 5. Construir un rectángulo arbitrario.
• 6. Construir un cuadrado dado un lado.
• 7. Construir un hexágono regular.
• 8. Exprese sus primeras impresiones acerca del uso de un software de este tipo.
• Ahora, mediante las acciones que a continuación se enumeran, se propone
consolidar, y de alguna manera validar, algunas de las conjeturas surgidas en
sesiones anteriores; vistas ahora con la potencialidad y recursos de este
software computacional.
• 9. Construir un triángulo y trazarle sus mediatrices y pintarlas de color azul.
• Deslice cualquiera de los vértices del triángulo y analice las posibles
intersecciones de las mediatrices.
• ¿Se intersecan siempre las tres mediatrices en un punto? Argumente
• ¿Cuáles son las posibles posiciones del punto de intersección con respecto al
triángulo?

31. • 10. Desarrollar, en el mismo triángulo, los pasos
correspondientes al punto1, pero en relación a las
medianas, las cuales serán pintadas de rojo.
• Contestar las respectivas preguntas del punto anterior.
• 11. Desarrollar, en el mismo triángulo, los pasos
correspondientes al punto1, pero en relación a las
bisectrices, las cuales serán pintadas de negro.
• Contestar las respectivas preguntas.
• 12. Desarrollar, en el mismo triángulo, los pasos
correspondientes al punto1, pero en relación a las
alturas, las cuales serán pintadas de verde. Contestar
las respectivas preguntas
• 13. Desliza uno de los vértices hasta que el triángulo,
con todas las líneas especiales trazadas, se aproxime
mucho a un triángulo isósceles.
• Describa lo que observa.

32. • 14. Desliza uno de los vértices hasta que el
triángulo, con todas las líneas especiales trazadas,
se aproxime mucho a un triángulo equilátero.
• Describa lo que observa.
• Tarea
• Lectura 1: “Pensamiento Geométrico y Conceptos
Geométricos”
Van de Walle, John A.