Este documento presenta conceptos básicos sobre desigualdades e inecuaciones lineales. Explica qué son las desigualdades y cómo se representan con símbolos como >, <, ≥, ≤. También define intervalos en los números reales y cómo se pueden representar gráficamente y con notación. Finalmente, proporciona ejemplos de cómo calcular la unión e intersección de conjuntos e intervalos.

1. Clase 1
Desigualdades e Inecuaciones
Desigualdades e Inecuaciones.
Mister Samuel Pereira M.
Septiembre 2011

2. Unidad: Inecuaciones Lineales
Contenido: Desigualdades e Inecuaciones.
Capacidades: Razonamiento Lógico
Destreza: Conocer, Identificar, razonar, Inferir, calcular, graficar.

3. • Desigualdades
• Denominaremos desigualdades a toda relación que se establece entre
números reales mediante una comparación establecida. Esta puede estar
definida con los siguientes símbolos de desigualdades conocidos:
> Mayor − que...
< Menor − que...
≥ Mayor − o − igual − que...
≤ Menor − que...
• Si la relación establecida es verdades diremos que la desigualdad indicada
se cumple.

4. • Un Ejemplo
• Muchos ejemplos podemos encontrar en lo cotidiano que muestran la utilización
de intervalos de posibilidades o valores posibles de obtener ante un determinado
evento. Un ejemplo de ello es cuando una carretera establece un límite máximo
de velocidad:
VEL. MAX: 120 k/h
• Este caso lo que indica es que los vehículos pueden llegar a tener una velocidad de
hasta 120 k/h, incluido los 120. O sea, si es sorprendido a una velocidad de 120,01
k/h será infraccionado. Luego esta relación la podemos escribir como una relación
de posibles velocidades quedando definida como:
Velocidad
v ≤ 120 menor o
iguala
120

5. • Veracidad de las desigualdades:
• Un elemento fundamental en estas desigualdades es la verificación de veracidad
sobre ellas mismas.
(7 + 2) 2
≤7 11,57 ≤ 7
• Ej: 7
• Al resolver el siguiente ejemplo llegaremos a un resultado ilógico lo que nos
indicará que la desigualdad, esta relación definida no es cierta.
• Además podemos darnos cuenta de que para que la desigualdad fuera verdades al
7 del numerador tendríamos que no sumarle nada para que la división fuera 7, o
restar un número positivo cualquiera, así nos aseguraríamos que la división
planteada por el problema será siempre menor o igual que 7.

6. • Intervalos en los números reales:
• Como indicamos anteriormente para el caso de las desigualdades podemos obtener
un grupo o conjunto de valores o resultados que cumplan en confirmar la veracidad
de dicha desigualdad. Para ello estableceremos un concepto conocido el cual es
Intervalo, el cual será “..un conjunto de puntos que cumplen una condición dada,
teniendo este un valor límite superior y otro inferior, ambos considerados o no en el
conjunto según se definan las características del mismo”.
• Estos Intervalos se pueden representar gráficamente en ¨La recta numérica”
¿recuerda que hablamos de números reales?, como de forma simbólica. También
pueden ser de tipo cerrado o abierto.
−5 ≤ x < 5 [ −5,5[
-5 0 5

7. • Es importante recordar: Debemos tener en consideración que cuando hablamos de
conjuntos o intervalos existen algunos elementos propios de la teoría de conjuntos útiles y
presentes en la interacción de diversos problemas planteados con desigualdades.
• Recordar:
∪ Unión entre conjuntos ∅ Conjuntos Vacío
∩ Intersección entre conjuntos ∈ ∧ ∉ Pertenece y no pertenece
• Ejemplo: Sea el conjunto A: Todos los números Reales de 0 al 10, y sea el conjunto B: todos
los número primos entre el 1 y el 12. Según los conjuntos dados tenemos:
A ∪ B = { 0,1, 2,3,...,10,11,12}
A ∩ B = { 1,3,5, 7}

8. • Algunas consideraciones sobre la representación gráfica:
• * En la representación gráfica el punto ennegrecido indica que se incluye el valor límite. Si no
está ennegrecido indicará que ese valor límite no se incluye dentro del intervalo
• * La flechas indican hacia donde se dirigen los valores del conjunto o subconjunto.
• Algunas consideraciones sobre la Notación:
• * El corchete se abrirá hacia el número cuando el intervalo incluya ese valor límite y se abrirá
hacia fuera cuando el intervalo no le incluya dentro de los posibles resultados.
* Ejemplo: Sena los intervalos A= [ 1,5] y B= ] 7, +∞[ Determinar A ∪ B y A∩ B

9. • Como podemos ver el intervalo A es cerrado en el 1 y el 5 e incluye todos los valores entre
estos límites incluyéndolos. En cambio el Intervalo B es abierto en ambos límites y considera
los valores comprendidos entre 7 e infinito positivo, sin considerar los límites. Luego:
A ∪ B = [ 1,5] ∪ ] 7, +∞[
1 5 7
A ∩ B = [ 1,5] ∩ ] 7, +∞[ = ∅(vacio)
Si observas veras que
no existen valores
que pertenezcan a
ambos intervalos

10. • Resumen sobre la representación de intervalos: Sean a y b dos números reales
con a < b, se definen los siguientes intervalos
Representación
Conjunto Notación Tipo Intervalo
Gráfica
Intervalo
{ x∈¡ / a ≤ x ≤ b} [ a, b ] a b
Cerrado
Intervalo
{ x∈¡ / a < x < b} ] a, b[ a b
abierto
Intervalo Semi
{ x∈¡ / a ≤ x < b} [ a, b[ a b
abierto
{ x∈¡ / a < x ≤ b} ] a, b ] a b
Intervalo Semi
abierto

11. • d) Desarrolla los siguientes casos faltantes, indicando Notación,
Representación gráfica y tipo de intervalo:
{ x∈¡ / x ≥ a}
{ x∈¡ / x > a}
{ x∈¡ / x ≤ b}
{ x∈¡ / x < b}

12. • Por hoy hemos terminado.
• Debes estar muy atento a la publicación de la clase 2.
• Revisar la Guía de ejercicios para esta clase.
Suerte¡¡¡¡¡