Miss Yanira Castro Lizana
ESTADISTICA
Objetivo:
- Leer e interpretar información de tablas y gráficos
- Recopilar y comunicar información utilizando...
Actividad Nº 1
“Información en la vida diaria”
 Trabajar en grupo, analizando la lámina entregada
a) ¿Qué título tiene la...
¿Qué es Estadística?
Es la ciencia encargada de recoger, clasificar, describir y analizar
datos numéricos que sirvan para ...
¿ Qué es una población?
Población o Universo: Es el conjunto de todos los individuos u
objetos que poseen alguna caracterí...
¿Qué es una muestra?
Muestra es un subconjunto de la población. Es una parte de ella.
Se dice que una muestra es represent...
¿Qué es una variable?
Una variable es la característica o atributo a observar.
El conjunto de valores asignados a la varia...
Variables discreta son aquellas que toman un valor entero
Ejemplo:
El número de hijos de una familia es discreta, porque p...
 Temperaturas registradas cada media hora en un observatorio.
Respt: Continua
 Período de duración de ampolletas produci...
 Alumnos matriculados en la Universidad Andrés Bello, en
los últimos cinco años.
Respt: Discreta
 Dar el dominio de cada...
 Suma de puntos obtenidos en el lanzamiento de un par de
dados
Dominio : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
Variable : Di...
Distribuciones de frecuencias
Toma de datos: Es la obtención de una colección de los mismos
que no han sido ordenados numé...
Al recoger información se obtiene un gran número de datos,
que conviene presentar en forma resumida en una tabla llamada
d...
Ejemplo:
Los siguientes datos son las calificaciones obtenidas, en la
asignatura de Matemática, por un grupo de 30 alumnos...
Frecuencia acumulada hasta un valor determinado: es el número
de observaciones menor o igual al valor considerado.
Se obti...
Frecuencia relativa: es el cuociente entre la frecuencia absoluta
y el número total de individuos de la muestra
Variable e...
Frecuencia relativa porcentual: Es la frecuencia relativa
expresada en porcentajes.
Variable estadística Frecuencia absolu...
Ejercicios
 Los siguientes datos son las calificaciones de un grupo de 27
alumnos en la asignatura de matemática:
5 6 5 7...
Respuesta
Calificación frecuencia Frecuencia
acumulada
Frecuencia
relativa
Frec. relat.
porcentual
2 1 1 1 / 27 = 0,037 3,...
 Una encuesta realizada a alumnos de Cuarto Medio acerca
de su futura profesión, indica lo siguiente:
Variable
profesión
...
Respuesta
Profesión Frecuencia F. acumulada F. relativa F. relat. %
Ingeniería 10 10 10 / 60 = 0,166 16,6
Medicina 6 16 6 ...
 En una muestra de 40 familias, el número de hijos se
distribuye según la tabla:
Variable F. absoluta
Nº de hijos Nº de f...
Respuesta
Nº hijos Frecuencia F. acumulada F, relativa Frec. Relat. %
1 2 2 2 / 40 = 0,05 5
2 8 10 8 / 40 = 0,20 20
3 12 2...
Medidas de tendencia central en
valores no agrupados.
Son valores representativos de la totalidad de los datos.
Su cálculo...
Media aritmética ( X )
 Media aritmética: corresponde al promedio de los valores.
Se simboliza por X
La media aritmética ...
Ejemplo:
Determinar el promedio de notas de un alumno, en la asignatura
de Lenguaje y comunicación.
Las notas son: 3- 5 - ...
La media aritmética ponderada es otra forma de calcular el
promedio, utilizando la tabla de distribución de frecuencias.
E...
Mediana ( Me )
Es el valor de la variable que deja igual número de valores antes y
después de él en una distribución de fr...
 Si el número de valores es par, la mediana es el promedio
aritmético de los dos valores centrales.
Ejemplo:
2 – 3 – 5 – ...
Moda ( Mo )
Es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia
Ejemplo:
Variable F. absoluta
Nº de hijos Nº de familias...
Ejercicios
 Las calificaciones de un estudiante de la USACH, en seis pruebas,
fueron 84, 91, 72, 68, 87 y 78. Hallar el p...
Respuesta:
X = 3,88 + 4,09 + 3,92 + 3,97 + 4,02 + 3,95 + 4,03 + 3,92 +3,98 +4 ,06
10
= 39,82 = 3,98
10
Luego, la media ari...
Respuesta
Salario ( x) Frecuencia F • X
$ 55.000 8 $ 440.000
$ 65.000 10 $ 650.000
$ 75.000 16 $ 1.200.000
$ 85.000 14 $ 1...
 Las calificaciones de un estudiante de la USACH, en seis
pruebas, fueron 84, 91, 72, 68, 87 y 78. Hallar la mediana de
s...
Representación gráfica de la
información
 Gráfico lineal o de segmentos:
Se utiliza especialmente para representar datos ...
 gráfico de Barra : Permite hacer comparaciones mediante
barras paralelas colocadas en forma vertical u horizontal
entre ...
 Gráfico circular: Consiste en un círculo dividido en sectores
que representan las frecuencias relativas porcentuales de ...
Distribución de frecuencias con datos
agrupados
 Rango: Es la diferencia entre el mayor valor y el menor de ellos.
Ejempl...
Ejemplo:
En un grupo de 50 alumnos se registraron los siguientes
puntajes en una prueba:
61 76 66 77 70 83 88 63 77 67 68 ...
Si quisiéramos formar 6 intervalos, se tiene que dividir el rango
con la cantidad deseada.
27 : 6 = 4, 5 se aproxima a 5 (...
Los límites reales de una clase se obtienen calculando el
promedio entre el límite aparente superior de una clase y el
lím...
 Marca de clase: Es el punto medio de un intervalo de
clase.
Ejemplo.
7270 – 74
6765 – 69
6260 – 64
Marca de claseInterva...
Ejercicios
61 76 66 77 70 83 88 63 77 67 68 72 82
78 74 84 63 76 84 78 75 72 75 83 80 73
62 83 75 67 72 83 83 84 84 67 71 ...
Respuesta
Se debe determinar el rango: Pje mayor – Pje menor:
88 – 61 = 27
Luego, 27 : 6 = 4,5 se aproxima a 5 la amplitud...
 Ordena los siguientes datos de menor a mayor y calcula
su rango: 3,22 2,92 3,01 4,48 5,06 4,31 2,98 3,07
Respuesta:
Orde...
a) Calcula los límites reales del tercer intervalo
Respuesta:
Lri = 59.999 + 60.000 = 59.999,5
2
Lrs = 64.999 + 65.000 = 6...
d) Determina el límite real superior del segundo intervalo
Respuesta:
[55.000 – 59.999] Lrs = 59.999 + 60.000 = 59.999,5
2...
f) Determina la frecuencia acumulada.
20685.000 – 89.999
19880.000 – 84.999
18275.000 – 79.999
15470.000 – 74.999
10265.00...
g) Determinar la frecuencia relativa
8 / 206 = 0,03885.000 – 89.999
16 / 206 = 0,07780.000 – 84.999
28 / 206 = 0,13575.000...
h) Determinar la frecuencia relativa porcentual
3,885.000 – 89.999
7,780.000 – 84.999
13,575.000 – 79.999
25,270.000 – 74....
Ejercicio
Después de medir las alturas de 40 alumnos de un curso,
resultaron los siguientes valores de la variable:
154 17...
b) Determina 7 intervalos:
Respuesta: El rango es 32. Luego, 32 : 7= 4,5 (5 amplitud )
Intervalo
150 – 154
155 – 159
160 –...
d) Determinar la marca de clase de los intervalos
Respuesta:
180 – 184
175 – 179
170 – 174
165 – 169
160 – 164
155 – 159
1...
g) Determinar la frecuencia acumulada
Respuesta:
180 – 184
175 – 179
170 – 174
165 – 169
160 – 164
155 – 159
150 – 154
Int...
i) ¿Cuántos alumnos miden menos de 160 ?
Respuesta: 12 alumnos miden menos de 160
j) ¿Qué porcentaje de alumnos mide entre...
Medidas de tendencia central en datos
agrupados
Ejemplo:
85 – 89
80 – 84
75 – 79
70 – 74
65 – 69
60 – 64
Intervalo
4
16
12...
Mediana: Es calcular un valor que separa al conjunto en dos
grupos de igual cantidad.
Para calcular la mediana se ocupa la...
Ejemplo
Hallar la mediana de los pesos de 40 estudiantes, dado en la
siguiente tabla de distribución
402172 – 180
384163 –...
Ejemplo 2
Las edades de los obreros que trabajan en una empresa constructora,
se distribuyen como sigue:
Edad Frecuencia
1...
Moda
Cuando los datos están agrupados en intervalos, la moda
corresponde a la marca de clase del intervalo de mayor
frecue...
Representación gráfica en datos
agrupados
Histograma: Es un gráfico de barras verticales que sirve para
representar los da...
Ejemplo:
Esta tabla de distribución de frecuencias indica las edades de los
alumnos que asisten a clases de Inglés.
Edad f...
Polígono de frecuencia
Es la modalidad de un gráfico de datos que se origina al unir
los puntos medios de los lados superi...
Ejercicio
Dada la tabla de distribución de edades de un grupo de padres
cuyos hijos están en primer año de universidad.
Ha...
b) Mediana
32561 – 64
27857 – 60
191253 – 56
7549 – 52
2245 – 48
F acumfEdad
n = 32
n / 2 = 32 / 2 = 16
L i m = 52 + 53 = ...
* Construye una tabla de distribución de frecuencias de datos
agrupados en intervalos de clase. Considera como limite
infe...
Respuesta:
Intervalo
10 – 19
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 – 89
90 - 99
M. de Clase
14,5
24,5
34,5
44...
De acuerdo con la tabla anterior, responder las siguientes
preguntas:
a) ¿Cuántos alumnos obtuvieron entre 30 y 49 puntos?...
d) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvieron entre 30 y 49 puntos?
Respuesta: El 20,7 % de los alumnos
e) ¿Qué porcentaje de a...
g) ¿Cuántos alumnos obtuvieron menos de 30 puntos?
Respuesta: 10 alumnos
h) ¿Cuántos alumnos obtuvieron 50 o más puntos?
R...
k) ¿Cuál es la marca de clase que representa al intervalo de
mayor frecuencia?
Respuesta: la marca de clase de mayor frecu...
n) Calcula la media aritmética:
Respuesta:
Intervalo
10 – 19
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 – 89
90 - ...
ñ) Calcula la mediana:
Respuesta:
Intervalo
10 – 19
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 – 89
90 - 99 17
17
...
o) Calcular el intervalo modal y la moda :
Respuesta:
El intervalo modal es [50 - 59] porque tiene la mayor
frecuencia , q...
a + b = c
Ejercicios
 Calcular el rango entre. 3,22 2,93 3.01 4,48 5,06 4.31
2,98 3,07
Repuesta: 5,06 - 2,98 = 2,08
 El ...
b) Calcular el consumo promedio de los 10 años?
Respuesta: X = 1678 = 16,78
10
 La siguiente tabla representa las medidas...
Respuesta:
f
104,5 114,5 124,5 134,5 144,5 154,5 164,5
4
18
29
10
•
•
•
•
•
•
•
Marca de clase
 Dado las siguientes frecuencias, calcular la mediana,
la moda y la media aritmética
6 - 7 - 7 - 3 - 4 - 1 - 7 - 5
Respue...
 Las notas obtenidas por 45 alumnos en una prueba de
Estadística son:
Notas Frecuencia
1 1
2 4
3 5
4 6
5 9
6 12
7 8
Deter...
Percentiles, Deciles y Cuartiles
La mediana de un conjunto de datos ordenados, es el valor que
los separa en dos partes ig...
Percentiles
Los percentiles de una distribución de datos numéricos son
los 99 valores que la dividen en 100 partes iguales...
El cálculo de percentiles se hace de la misma forma como se
obtiene la mediana, en una distribución.
Ejemplo: Considerar l...
L r i p = 599 + 600 = 599,5
2
f (acum. ant) = 70
c = 50 f p = 80
P45 = L r i p + [ % - f (acum. ant)] • c
f p
P45 = 599,5 ...
 Considerar la misma distribución anterior para calcular
P8.
Respuesta:
Calcular el 8 % de 212: 212 = 100 % x = 212 • 8 =...
Ejercicio de percentil
Puntaje frecuencia Frec. Acum.
350 – 399 4 4
400 – 449 6 10
450 – 499 9 19
500 – 549 20 39
550 – 59...
El % buscado es: x •
100
212
F(acum. ant) = 4
f p = 6 c = 50
Px = 399,5 +
6
4
100
212
. x
• 50
400 = 399,5 + 50.
6
412,2 ...
600 puntos corresponde a un percentil desconocido, por lo
que se simboliza por Py
Además se sabe que está ubicado en el se...
Calcular qué porcentaje de los 212 alumnos tuvieron
resultados entre 620 y 680 puntos.
Respuesta:
620 puntos corresponde ...
680 puntos corresponde a un percentil que se desconoce y se
designa por Py.
Py = 649,5 +
680 = 649,5 +
x = 82,8 %( 680 – 6...
Deciles
Los deciles de una distribución de datos numéricos son los 9
valores que la dividen en 10 partes iguales.
Los deci...
Para calcular deciles, se hace de la misma forma que los
percentiles.
Ejemplo: Considerar la siguiente tabla de distribuci...
Se calcula el 30% de 212 212 = 100%
x 30% x = 63,6
Esta cantidad de datos corresponde a la clase 550 – 599
L r i = 549 + 5...
 Calcular el D7
Respuesta:
El 70% de 212 = 148,4
El límite real inferior de la clase 600 – 649 es 599,5
f(acum. ant) = 70...
Cuartiles
Los Cuartiles de una distribución de datos numéricos son los
tres valores que la dividen en 4 partes iguales
Los...
 Calcular el tercer cuartil, de la siguiente distribución
Puntaje frecuencia Frec. Acum.
350 – 399 4 4
400 – 449 6 10
450...
 Un curso rindió una prueba de Matemática, ¿Qué se puede
decir del resultado, si se sabe que en la distribución de las
no...
Medidas de dispersión
Al grado en que los datos numéricos tienden a extenderse
alrededor de un valor medio se le llama var...
Rango
El rango de un conjunto de datos numéricos es la diferencia
entre el mayor y el menor de ellos.
Ejemplo:
Un alumno o...
Desviación Media
La desviación de un puntaje x con respecto a la media
aritmética x está dada por la diferencia d = x - x
...
Ahora se calcula la diferencia de cada nota con el promedio
d = 3,9 – 4,6 = - 0,7 d = 2 – 4,6 = - 2,6
d = 5 – 4,6 = 0,4 d ...
La desviación media de n datos numéricos x1, x2, ......xn
es la media aritmética de los valores absolutos de las
desviacio...
 Un alumno obtuvo las siguientes calificaciones en la
asignatura de Inglés: 3,2 - 6 - 6,8 - 4,3 - 2,9 - 5,7
Calcular la d...
Materia Carlos Pedro Juan
1 2 7 5
2 9 2 6
3 10 2 5
4 2 6 5
5 3 6 5
6 1 3 5
7 9 6 4
8 9 7 5
9 1 6 6
10 4 5 4
Ejemplo: Desvi...
SOLUCIÓN
Lo primero que analizaremos es la media de los puntajes para cada uno de
los alumnos, con el fin de determinar el...
Desviación media en datos agrupados
La siguiente tabla muestra los puntajes obtenidos en P.A.A.
con un promedio de 614 pun...
Con todos los datos se aplica la fórmula de la desviación media
DM =  f • | x – x |
n
DM = 12556 = 59,2 puntos
212
Se pue...
Calcular la DM de la siguiente distribución que representa
las horas diarias dedicadas al estudio de 20 alumnos
Horas Fre...
 Calcula la desviación media de las medidas de una pieza
de motores, dada por la siguiente tabla:
x
104,5
114,5
124,5
134...
Desviación típica o estándar
La desviación típica o estándar expresa el grado de dispersión
de los datos con respecto al p...
Ejercicios
 Calcular la desviación típica de las siguientes notas de
Matemática: 2,0 - 3,9 - 5,0 - 5,9 - 6,2
Respuesta:
*...
S = 5
5,26,11,04,07,6 
5
3,11
=
2,2= = 1,4
Luego, la desviación típica de las notas es 1,4 con respecto
al promedio
Si...
 Calcular la desviación típica de las siguientes notas:
5,2 - 4,9 - 5 - 5,1 - 5,2 - 5,3 - 4,9 - 5,2
Respuesta:
* Se obtie...
Desviación típica en datos agrupados
Calcular la S de la siguiente distribución que representa
las horas diarias dedicada...
Puntajes Frecuencia
350 – 399 4
400 – 449 6
450 – 499 9
500 – 549 20
550 – 599 31
600 – 649 80
650 – 699 42
700 – 749 10
7...
 La siguiente tabla muestra el número de brazadas dadas
por 100 nadadores en la prueba de 200 m crol. Calcular S
Brazadas...
Varianza
La varianza de un conjunto de datos se define como el cuadrado
de la desviación típica
Se simboliza por S2
S2 =
n...
Un alumno obtuvo las siguientes notas en la asignatura de
Biología: 3,9 - 2 - 5 - 6,2 - 5,9 Calcular la varianza
de ellas....
Calcular la Varianza de la siguiente distribución que representa
las horas diarias dedicadas al estudio de 20 alumnos, co...
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  1. 1. Miss Yanira Castro Lizana
  2. 2. ESTADISTICA Objetivo: - Leer e interpretar información de tablas y gráficos - Recopilar y comunicar información utilizando los procedimientos más adecuados a la característica de lo que se va a informar. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1er trim. 2do trim. 3er trim. 4to trim. Este Oeste Norte
  3. 3. Actividad Nº 1 “Información en la vida diaria”  Trabajar en grupo, analizando la lámina entregada a) ¿Qué título tiene la información analizada? b) ¿De qué se trata la información? Explique c) Utiliza gráficos o tablas explicativas? d) Si se utiliza gráficos, ¿Son los más adecuados para representar la información o utilizaría otro? ¿Por qué? e) ¿Considera que los gráficos o tablas son necesarios en una información? ¿Por qué? f) ¿En qué caso se utiliza un gráfico de barra, lineal o circular? g) Diseñe nuevamente la información de la lámina, como a a ustedes les gustaría que apareciera publicada.
  4. 4. ¿Qué es Estadística? Es la ciencia encargada de recoger, clasificar, describir y analizar datos numéricos que sirvan para deducir conclusiones y tomar decisiones a partir de estos análisis. La Estadística se divide en dos grandes grupos:  Estadística descriptiva o deductiva: Se ocupa de la recolección, organización y representación de datos en forma coherente.  Estadística inductiva o inferencial: Se ocupa de interpretar los datos recogidos y obtener conclusiones a partir de ellas.
  5. 5. ¿ Qué es una población? Población o Universo: Es el conjunto de todos los individuos u objetos que poseen alguna característica común observable. Una población puede ser finita o infinita. Ejemplo: - La población consistente en la fabricación de refrigeradores, en una empresa determinada, en un día determinado, es finita. - La población formada por todos los posibles sucesos (caras o sellos en tiradas sucesivas de una moneda es infinita. - La población formada por los Números Naturales es infinito - La población formada por el número de alumnos de un colegio determinado, en un año determinado es finito.
  6. 6. ¿Qué es una muestra? Muestra es un subconjunto de la población. Es una parte de ella. Se dice que una muestra es representativa de la población, cuando corresponde más o menos al 20% de ella. Y se pueden deducir importantes conclusiones acerca de ésta, a partir del análisis de la misma. Ejemplo: Población: Padres de los alumnos de un colegio Muestra: Padres de los alumnos de Octavo año La muestra se puede elegir en forma aleatoria, estratificada o mixta
  7. 7. ¿Qué es una variable? Una variable es la característica o atributo a observar. El conjunto de valores asignados a la variable se llama dato o dominio de la variable. Las variables pueden ser continuas o discretas. Variable continua es aquella que puede tomar cualquier valor entre dos valores dados, es decir, en un rango determinado. Ejemplo: La estatura de los alumnos de un cuarto básico es continua, porque pueden medir 1,40 m 1,42 m 1,408 m etc
  8. 8. Variables discreta son aquellas que toman un valor entero Ejemplo: El número de hijos de una familia es discreta, porque puede haber 1, 2, 3, ....etc. hijos Ejercicios  Decir de las variables siguientes cuáles representan datos discretos o datos continuos.  Número de acciones vendidas cada día en un mercado de valores. Respt: Discreta
  9. 9.  Temperaturas registradas cada media hora en un observatorio. Respt: Continua  Período de duración de ampolletas producidos por una empresa determinada Respt: Continua  Censos anuales del colegio de profesores. Respt: Discreta  Número de billetes de $10000 circulando en Chile Respt: Discreta  Pulgadas de precipitación en una ciudad durante varios meses del año. Respt: Continua
  10. 10.  Alumnos matriculados en la Universidad Andrés Bello, en los últimos cinco años. Respt: Discreta  Dar el dominio de cada una de las siguientes variables y decir si son continuas o discretas.  Número de litros de agua en una máquina de lavar. Dominio : cualquier valor de cero litros a la capacidad de la máquina ( 12,3 12,005 12,0047 etc) Variable : Continua  Número de libros en un estante de librería. Dominio : 0, 1, 2, 3, ........ Hasta el mayor número de libros que puedan entrar en el estante. Variable : Discreta
  11. 11.  Suma de puntos obtenidos en el lanzamiento de un par de dados Dominio : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 Variable : Discreta  Tiempo de vuelo de un proyectil Dominio : De cero en adelante ( 5 5,3 5.045 etc) Variable : Continua  Estado civil de un individuo Dominio : Casado, soltero, viudo Variable : Discreta  Velocidad de un automóvil en kilómetros por hora. Dominio : De 0 en adelante ( 120 120,8 120,04 etc) Variable : Continua
  12. 12. Distribuciones de frecuencias Toma de datos: Es la obtención de una colección de los mismos que no han sido ordenados numéricamente. Ejemplo: Conjunto de alturas de 100 estudiantes, sacados de una lista alfabética de una Universidad. Ordenación: Es una colocación de los datos numéricos tomados, en orden creciente o decreciente de magnitud. Ejemplo: 32 , 45, 100, 120 , 145, 186, 198, 200 ( ordenación creciente ) 200, 198, 186, 145, 120, 100, 45, 32 ( ordenación decreciente)
  13. 13. Al recoger información se obtiene un gran número de datos, que conviene presentar en forma resumida en una tabla llamada distribución de frecuencias. Frecuencia absoluta: es el número de veces que se repite un valor de la variable.
  14. 14. Ejemplo: Los siguientes datos son las calificaciones obtenidas, en la asignatura de Matemática, por un grupo de 30 alumnos: 7 – 3 – 5 – 4 – 3 – 4 – 5 – 6 – 5 – 7 – 3 – 2 – 6 – 5 – 4 – 6 – 3 - 4 – 5 – 2 - 7 – 4 – 5 – 7 – 6 – 5 – 4 – 2 –3 - 1 Variable Estadística Frecuencia absoluta Calificación Nº de alumnos 1 1 2 3 3 5 4 6 5 7 6 4 7 4
  15. 15. Frecuencia acumulada hasta un valor determinado: es el número de observaciones menor o igual al valor considerado. Se obtiene sumando sucesivamente las frecuencias absolutas. Ejemplo: 3047 2646 2275 1564 953 432 111 -------------Nº de alumnosCalificación Frecuencia acumuladaFrecuencia absolutaVariable estadística
  16. 16. Frecuencia relativa: es el cuociente entre la frecuencia absoluta y el número total de individuos de la muestra Variable estadística Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Calificación Nº de alumnos ----------- 1 1 1 / 30 2 3 3 / 30 3 5 5 / 30 4 6 6 / 30 5 7 7 / 30 6 4 4 / 30 7 4 4 / 30 NOTA: La suma de las frecuencias relativas es igual a 1 Ej. 1 / 30 + 3 / 30 + 5 / 30 + 6 / 30 + 7 / 30 + 4 / 30 + 4 / 30 = 30 / 30 = 1
  17. 17. Frecuencia relativa porcentual: Es la frecuencia relativa expresada en porcentajes. Variable estadística Frecuencia absoluta Frecuencia relativa porcentual Calificación Nº de alumnos ----------- 1 1 ( 1 / 30 ) • 100 2 3 ( 3 / 30 ) • 100 3 5 ( 5 / 30 ) • 100 4 6 ( 6 / 30 ) • 100 5 7 ( 7 / 30 ) • 100 6 4 ( 4 / 30 ) • 100 7 4 ( 4 / 30 ) • 100 NOTA: La suma de las frecuencias relativas porcentuales es el 100%
  18. 18. Ejercicios  Los siguientes datos son las calificaciones de un grupo de 27 alumnos en la asignatura de matemática: 5 6 5 7 4 2 3 5 4 6 7 5 4 6 5 4 5 6 4 3 4 6 7 5 4 5 6 a) Construya una tabla de distribución de frecuencias b) ¿Cuántos alumnos tienen nota inferior a 5? c) ¿Qué porcentaje de alumnos tiene nota 4? d) ¿Cuántos alumnos tiene nota 6? e) ¿Qué porcentaje de alumnos tiene nota superior o igual a 4?
  19. 19. Respuesta Calificación frecuencia Frecuencia acumulada Frecuencia relativa Frec. relat. porcentual 2 1 1 1 / 27 = 0,037 3,7 3 2 3 2 / 27 = 0,074 7,4 4 7 10 7 / 27 = 0,259 25,9 5 8 18 8 / 27 = 0,296 29,6 6 6 24 6 / 27 = 0,222 22,2 7 3 27 3 / 27 = 0,111 11,1 b) 10 alumnos tienen nota inferior a 5,0 c) El 25,9% de los alumnos tiene nota 4,0 d) 6 alumnos tienen nota 6,0 e) El 88,8% de los alumnos tiene nota igual o superior a 4,0
  20. 20.  Una encuesta realizada a alumnos de Cuarto Medio acerca de su futura profesión, indica lo siguiente: Variable profesión F. absoluta Nº de alumnos Ingeniería 10 Medicina 6 Economía 12 Periodismo 8 Derecho 5 Arquitectura 9 Otras 10 a) Completar la tabla con frecuencia acumulada, relativa y relativa porcentual. b) ¿Cuántos alumnos fueron encuestados? c) ¿Cuál es la profesión que tiene mayor preferencia? d) ¿Qué porcentaje de alumnos prefiere arquitectura? e) ¿Qué porcentaje de alumnos prefiere medicina?
  21. 21. Respuesta Profesión Frecuencia F. acumulada F. relativa F. relat. % Ingeniería 10 10 10 / 60 = 0,166 16,6 Medicina 6 16 6 / 60 = 0,100 10,0 Economía 12 28 12 / 60 = 0,200 20,0 Periodismo 8 36 8 / 60 = 0,133 13,3 Derecho 5 41 5 / 60 = 0,083 8.3 Arquitectura 9 50 9 / 60 = 0,150 15,0 Otros 10 60 10 / 60 = 0,166 16,6 b) 60 alumnos fueron encuestados c) Economía es la profesión con mayor frecuencia d) El 15% de los alumnos prefiere Arquitectura e) El 10% de los alumnos prefiere Medicina
  22. 22.  En una muestra de 40 familias, el número de hijos se distribuye según la tabla: Variable F. absoluta Nº de hijos Nº de familias 1 2 2 8 3 12 4 14 5 3 6 1 a) Completa la tabla con frecuencia acumulada, relativa y relativa porcentual. b) ¿Cuántas familias tienen menos de 4 hijos? c) ¿Cuántas familias tienen 5 hijos? d) ¿Cuál es la frecuencia relativa de las familias que tienen 2 hijos? e) ¿Qué porcentaje de familias tiene 6 hijos? f) ¿Qué fracción representan las familias con 2 hijos? g) ¿Qué fracción representan las familias con 4 hijos?
  23. 23. Respuesta Nº hijos Frecuencia F. acumulada F, relativa Frec. Relat. % 1 2 2 2 / 40 = 0,05 5 2 8 10 8 / 40 = 0,20 20 3 12 22 12 / 40 = 0,30 30 4 14 36 14 / 40 = 0,35 35 5 3 39 3 / 40 = 0,075 7,5 6 1 40 1 / 40 = 0,025 2,5 b) 22 familias tienen menos de 4 hijos c) 3 familias tienen 5 hijos d) La frecuencia relativa de familias con 2 hijos es de 0,20 e) El 2,5% de las familias tiene 6 hijos f) 1 / 5 de las familias tienen 2 hijos g) 7 / 20 de las familias tienen 4 hijos
  24. 24. Medidas de tendencia central en valores no agrupados. Son valores representativos de la totalidad de los datos. Su cálculo permite analizar los datos en torno a un valor central. Los valores centrales más usados son:  Media aritmética.  Mediana Moda.
  25. 25. Media aritmética ( X )  Media aritmética: corresponde al promedio de los valores. Se simboliza por X La media aritmética se obtiene sumando los valores de la variable dividido por el número total de valores. En forma General : X = x1 + x2 + x3 +....xn n
  26. 26. Ejemplo: Determinar el promedio de notas de un alumno, en la asignatura de Lenguaje y comunicación. Las notas son: 3- 5 - 7 - 6 - 4 - 5 - 3 - 5 - 4 - 5 - 3 - 4 X = 3 + 5 + 7 + 6 + 4 +5 + 3 +5 + 4 + 5 + 3 + 4 = 54 = 4,5 12 12 Luego, el promedio de notas del alumno es 4,5
  27. 27. La media aritmética ponderada es otra forma de calcular el promedio, utilizando la tabla de distribución de frecuencias. Ejemplo: Notas Frecuencias 3 3 4 3 5 4 6 1 7 1 Se debe multiplicar cada valor con su frecuencia. 3 • 3 = 9 4 • 3 = 12 5 • 4 = 20 6 • 1 = 6 7 • 1 = 7 Se suman los productos: 9 + 12 + 20 + 6 + 7 = 54 La suma del producto se divide por el total de datos: 54 : 12 = 4,5 Luego, X = 4,5
  28. 28. Mediana ( Me ) Es el valor de la variable que deja igual número de valores antes y después de él en una distribución de frecuencias Según el número de valores de la variable se distinguen dos casos:  Si el número de valores es impar, la mediana coincide con el valor central. Ejemplo: 5 – 8 – 9 – 11 – 12 – 13 – 15 Luego, la mediana es el 11 NOTA: los valores deben estar ordenados. Puede ser en forma creciente o decreciente
  29. 29.  Si el número de valores es par, la mediana es el promedio aritmético de los dos valores centrales. Ejemplo: 2 – 3 – 5 – 6 – 8 – 9 – 11 – 12 El calculo sería: ( 6 + 8 ) : 2 = 14 : 2 = 7 Luego, la mediana es 7
  30. 30. Moda ( Mo ) Es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia Ejemplo: Variable F. absoluta Nº de hijos Nº de familias 1 2 2 8 3 12 4 14 5 3 6 1 La moda es 4 hijos, porque tiene mayor frecuencia, que es del 14 familias.
  31. 31. Ejercicios  Las calificaciones de un estudiante de la USACH, en seis pruebas, fueron 84, 91, 72, 68, 87 y 78. Hallar el promedio de sus notas. Respuesta: X = 84 + 91 + 72 + 68 + 87 + 78 = 480 = 80 6 6 Luego, el estudiante tiene promedio 80  Diez medidas de diámetro de un cilindro fueron registradas como: 3,88 4,09 3,92 3,97 4,02 3,95 4,03 3,92 3,98 y 4,06
  32. 32. Respuesta: X = 3,88 + 4,09 + 3,92 + 3,97 + 4,02 + 3,95 + 4,03 + 3,92 +3,98 +4 ,06 10 = 39,82 = 3,98 10 Luego, la media aritmética es 3,98 Calcular el salario medio semanal de 65 empleados Salario Frecuencia $ 55.000 8 $ 65.000 10 $ 75.000 16 $ 85.000 14 $ 95.000 10 $ 105.000 7
  33. 33. Respuesta Salario ( x) Frecuencia F • X $ 55.000 8 $ 440.000 $ 65.000 10 $ 650.000 $ 75.000 16 $ 1.200.000 $ 85.000 14 $ 1.190.000 $ 95.000 10 $ 950.000 $ 105.000 7 $ 735.000 X = 440.000 + 650.000+ 1.200.000 + 1.190.000 + 950.000 + 735.000 65 = 5.165.000 = 79.461,538 65 Luego, el sueldo promedio es $ 79.461,5
  34. 34.  Las calificaciones de un estudiante de la USACH, en seis pruebas, fueron 84, 91, 72, 68, 87 y 78. Hallar la mediana de sus calificaciones Respuesta: Se deben ordenar las calificaciones: 68 72 78 84 87 91 Luego, la mediana es 78 + 84 = 162 = 81 2 2  Hallar la moda de los siguientes números: 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8. Respuesta: La moda es el número 5, ya que su frecuencia es mayor
  35. 35. Representación gráfica de la información  Gráfico lineal o de segmentos: Se utiliza especialmente para representar datos numéricos de situaciones que ocurren en períodos sucesivos. 0 5 10 15 20 25 30 35 Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo Temperatura
  36. 36.  gráfico de Barra : Permite hacer comparaciones mediante barras paralelas colocadas en forma vertical u horizontal entre dos ejes perpendiculares. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1er trim. 2do trim. 3er trim. 4to trim. Matematica Lenguaje
  37. 37.  Gráfico circular: Consiste en un círculo dividido en sectores que representan las frecuencias relativas porcentuales de una distribución Los 360 grados del círculo se dividen proporcionalmente al porcentaje correspondiente de cada frecuencia. 1er trim. 13% 2do trim. 17% 3er trim. 57% 4to trim. 13%
  38. 38. Distribución de frecuencias con datos agrupados  Rango: Es la diferencia entre el mayor valor y el menor de ellos. Ejemplo: Si la estatura del alumno más alto de un curso es 1,92 m y la del menor es 1,68 m, entonces el rango de estos datos es: 1,92 m – 1,68 m = 0,24 m = 24 cm.  Clases o intervalos : En la ordenación de datos muy numerosos, es usual presentarlos agrupados y ordenados en clases o categorías.
  39. 39. Ejemplo: En un grupo de 50 alumnos se registraron los siguientes puntajes en una prueba: 61 76 66 77 70 83 88 63 77 67 68 72 82 78 74 84 63 76 84 78 75 72 75 83 80 73 62 83 75 67 72 83 83 84 84 67 71 87 80 77 64 77 82 83 85 79 72 83 83 87 Para ordenarlos y agruparlos, se establecen los intervalos que se usarán, determinando el rango de los datos. Dato mayor: 88 Dato menor: 61 Rango: 88 – 61 = 27 De acuerdo con el rango y teniendo en cuenta la cantidad de datos, se forman los intervalos.
  40. 40. Si quisiéramos formar 6 intervalos, se tiene que dividir el rango con la cantidad deseada. 27 : 6 = 4, 5 se aproxima a 5 ( amplitud aparente del intervalo) Intervalo de puntajes Frecuencias 60 – 64 5 65 – 69 5 70 – 74 8 57 – 79 12 80 – 84 16 85 – 89 4 El intervalo 60 – 64 es un símbolo para representar a la clase respectiva Los valores 60 y 64 son los límites aparentes de la clase.
  41. 41. Los límites reales de una clase se obtienen calculando el promedio entre el límite aparente superior de una clase y el límite aparente inferior de la clase siguiente. Ejemplo: Calcular los límites reales de la clase 70 – 74 Lri = 2 7069  = 2 139 = 69,5 Límite real inferior Lrs = 2 7574 = 2 149 = 74,5 Límite real superior  Tamaño o amplitud de una clase: Corresponde a la diferencia entre su límite real superior y el límite real inferior. Ejemplo: 75,5 – 69,5 = 5 Su amplitud es igual a 5 NOTA: Todas las clases tienen igual tamaño.
  42. 42.  Marca de clase: Es el punto medio de un intervalo de clase. Ejemplo. 7270 – 74 6765 – 69 6260 – 64 Marca de claseIntervalo  Frecuencia total: Es la suma de las frecuencias absolutas de todas las clases. Ejemplo: 1011 -15 116 – 10 121 – 5 FrecuenciaIntervalo Frecuencia total 12 + 11 + 10 = 33
  43. 43. Ejercicios 61 76 66 77 70 83 88 63 77 67 68 72 82 78 74 84 63 76 84 78 75 72 75 83 80 73 62 83 75 67 72 83 83 84 84 67 71 87 80 77 64 77 82 83 85 79 72 83 83 87  Dado los siguientes puntajes, determinar: a) Determinar seis intervalos b) Determinar el límite real superior e inferior de cada clase c) Determinar la marca de clase de cada intervalo d) Determinar la frecuencia absoluta
  44. 44. Respuesta Se debe determinar el rango: Pje mayor – Pje menor: 88 – 61 = 27 Luego, 27 : 6 = 4,5 se aproxima a 5 la amplitud del intervalo Intervalo Lri - Lrs Marca de clase Frecuencia 60 – 64 59,5 – 64,5 62 5 65 – 69 64,5 – 69,5 67 5 70 – 74 69,5 – 74,5 72 8 75 – 79 74,5 – 79,5 77 12 80 – 84 79,5 – 84,5 82 16 85 – 89 84,5 – 89,5 87 4
  45. 45.  Ordena los siguientes datos de menor a mayor y calcula su rango: 3,22 2,92 3,01 4,48 5,06 4,31 2,98 3,07 Respuesta: Ordenado: 2,92 2,98 3,01 3,07 3,22 4,31 4,48 5,06 Rango: 5,06 – 2,92 = 2,14  La siguiente distribución de frecuencias corresponde a los salarios de los empleados de una fábrica: Salarios ( $ ) Frecuencia 50.000 – 54.999 7 55.000 – 59.999 18 60.000 – 64.999 32 65.000 – 69.999 45 70.000 – 74.999 52 75.000 – 79.999 28 80.000 – 84.999 16 85.000 – 89.999 8
  46. 46. a) Calcula los límites reales del tercer intervalo Respuesta: Lri = 59.999 + 60.000 = 59.999,5 2 Lrs = 64.999 + 65.000 = 64.999,5 2 b) Calcula el tamaño de los intervalos Respuesta: Lrs – Lri = amplitud 64.999,5 - 59.999,5 = 5000 c) Determina el límite aparente inferior del séptimo intervalo Respuesta: [80.000 – 84.999] Límite aparente inferior: 80.000
  47. 47. d) Determina el límite real superior del segundo intervalo Respuesta: [55.000 – 59.999] Lrs = 59.999 + 60.000 = 59.999,5 2 e) Escribe en orden la marca de clase Respuesta: 87.499,585.000 – 89.999 82.499,580.000 – 84.999 77.499,575.000 – 79.999 72.499,570.000 – 74.999 67.499,565.000 – 69.999 62.499,560.000 – 64.999 57.499,555.000 – 59.999 52.499,550.000 – 54.999 Marca de claseSalarios ( $ )
  48. 48. f) Determina la frecuencia acumulada. 20685.000 – 89.999 19880.000 – 84.999 18275.000 – 79.999 15470.000 – 74.999 10265.000 – 69.999 5760.000 – 64.999 2555.000 – 59.999 750.000 – 54.999 FrecuenciaSalarios ( $ ) Respuesta: acum
  49. 49. g) Determinar la frecuencia relativa 8 / 206 = 0,03885.000 – 89.999 16 / 206 = 0,07780.000 – 84.999 28 / 206 = 0,13575.000 – 79.999 52 / 206 = 0,25270.000 – 74.999 45 / 206 = 0,21865.000 – 69.999 32 / 206 = 0,15560.000 – 64.999 18 / 206 = 0,08755.000 – 59.999 7 / 206 = 0,03350.000 – 54.999 Frecuencia relativaSalarios ( $ ) Respuesta:
  50. 50. h) Determinar la frecuencia relativa porcentual 3,885.000 – 89.999 7,780.000 – 84.999 13,575.000 – 79.999 25,270.000 – 74.999 21,865.000 – 69.999 15,560.000 – 64.999 8.755.000 – 59.999 3,350.000 – 54.999 Frecuencia relativaSalarios ( $ ) Respuesta: %
  51. 51. Ejercicio Después de medir las alturas de 40 alumnos de un curso, resultaron los siguientes valores de la variable: 154 178 150 166 182 175 163 175 150 162 152 155 161 165 160 159 160 168 165 162 163 155 157 161 162 155 167 164 162 158 158 163 166 167 156 164 170 176 172 160 a) Determina el rango Respuesta: 182 - 150 = 32
  52. 52. b) Determina 7 intervalos: Respuesta: El rango es 32. Luego, 32 : 7= 4,5 (5 amplitud ) Intervalo 150 – 154 155 – 159 160 – 164 165 – 169 170 – 174 175 – 179 180 – 184 c) Determinar la frecuencia Respuesta: 180 – 184 175 – 179 170 – 174 165 – 169 160 – 164 155 – 159 150 – 154 Intervalo 1 4 2 7 14 8 4 Frecuencia
  53. 53. d) Determinar la marca de clase de los intervalos Respuesta: 180 – 184 175 – 179 170 – 174 165 – 169 160 – 164 155 – 159 150 – 154 Intervalo 182 177 172 167 162 157 152 M de C e) Determinar el límite real inferior del tercer intervalo Respuesta: Lri = 159 + 160 = 159,5 2 f) Determinar el límite real superior del quinto intervalo Respuesta: Lrs = 174 + 175 = 174,5 2
  54. 54. g) Determinar la frecuencia acumulada Respuesta: 180 – 184 175 – 179 170 – 174 165 – 169 160 – 164 155 – 159 150 – 154 Intervalo 40 39 35 33 26 12 4 F. acum h) Determinar la frecuencia relativa porcentual Respuesta: 180 – 184 175 – 179 170 – 174 165 – 169 160 – 164 155 – 159 150 – 154 Intervalo 2,5 10 5 17,5 35 20 10 F. Relat %
  55. 55. i) ¿Cuántos alumnos miden menos de 160 ? Respuesta: 12 alumnos miden menos de 160 j) ¿Qué porcentaje de alumnos mide entre 170 y 174 ? Respuesta: El 5% de los alumnos miden entre 170 y 174 k) ¿Qué porcentaje de alumnos mide entre 160 y 174 ? Respuesta: El 57,5 % de los alumnos mide entre 160 y 174 l) ¿Cuál es la frecuencia total ? Respuesta: n = 40 m) ¿Cuál es la amplitud del intervalo ? Respuesta: c = Lrs – Lri = 159,5 - 154,5 = 5
  56. 56. Medidas de tendencia central en datos agrupados Ejemplo: 85 – 89 80 – 84 75 – 79 70 – 74 65 – 69 60 – 64 Intervalo 4 16 12 8 5 5 Frecuencia Marca de clase 62 67 72 77 82 87 f • x 310 335 576 924 1312 348 X = 3805 50 X = 76,1  Media aritmética: Se suma el producto de la marca de clase con la frecuencia y se divide por la frecuencia total. En forma general : X =  f • x  f
  57. 57. Mediana: Es calcular un valor que separa al conjunto en dos grupos de igual cantidad. Para calcular la mediana se ocupa la siguiente formula: Me = L i m + (n/2 – f( acum. ant ) )• c f m L i m = límite real inferior del intervalo mediano ( primer intervalo cuya frecuencia acumulada es igual o mayor que n/2 ) n / 2 = mitad de la frecuencia total f( acum. ant ) = frecuencia acumulada del intervalo anterior al intervalo mediano c = amplitud del intervalo f m = frecuencia absoluta del intervalo mediano
  58. 58. Ejemplo Hallar la mediana de los pesos de 40 estudiantes, dado en la siguiente tabla de distribución 402172 – 180 384163 – 171 345154 – 162 2912145 – 153 179136 – 144 85127 – 135 33118 – 126 F acumFrecuenciaIntervalo n = 40 n / 2 = 40 / 2 = 20 L i m = 144 + 145 = 144,5 2 f ( acum. ant ) = 17 c = 144,5 + 153,5 = 9 f m = 12 M e = 144,5 + ( 20 – 17 ) • 9 = 144,5 + 3 • 9 = 144,5 + 27 = 146,75 12 12 12
  59. 59. Ejemplo 2 Las edades de los obreros que trabajan en una empresa constructora, se distribuyen como sigue: Edad Frecuencia 18 – 22 15 23 – 27 26 28 – 32 30 33 – 37 38 38 – 42 32 43 – 47 20 48 – 52 12 53 – 57 7 n = 180 n / 2 = 180 / 2 = 90 F acum 15 41 71 109 141 161 173 180 L i m = 32 + 33 = 32,5 2 f( acum ant) = 71 c = 5 f m = 38 Me = L i m + (n/2 - f(acum ant)) • c fm = 32,5 + ( 90 - 71) • 5 38 = 32,5 + 19 • 5 38 = 32,5 + 2,5 Me = 35
  60. 60. Moda Cuando los datos están agrupados en intervalos, la moda corresponde a la marca de clase del intervalo de mayor frecuencia Ejemplo: La tabla de distribución muestra el número de horas que un grupo de jóvenes dedica a ver televisión diariamente. Horas frecuencia 0 – 2 25 3 – 5 35 6 – 8 25 9 – 11 10 12 - 14 5 El intervalo modal es [3 - 5] Luego, se dice que la moda es su marca de clase. M de C = 3 + 5 = 4 Mo = 4 horas 2
  61. 61. Representación gráfica en datos agrupados Histograma: Es un gráfico de barras verticales que sirve para representar los datos de una distribución de frecuencias en la cual los valores de la variable están agrupados en intervalos. Las bases de las barras o rectángulos están sobre el eje horizontal y su ancho ( longitud sobre el eje) es igual al tamaño de los intervalos de clase. El histograma tiene la siguiente característica:
  62. 62. Ejemplo: Esta tabla de distribución de frecuencias indica las edades de los alumnos que asisten a clases de Inglés. Edad frecuencia 5 – 7 8 8 – 10 10 11 – 13 7 14 – 16 5 17 – 19 4 2 4 6 8 10 5- 7 8-10 11-13 14-16 17-19 I f Eje x = intervalos Eje y = frecuencia
  63. 63. Polígono de frecuencia Es la modalidad de un gráfico de datos que se origina al unir los puntos medios de los lados superiores de las barras de un histograma. 6 9 12 15 18 2 4 6 8 10 x f • • • • • El punto medio de cada intervalo es la marca de clase
  64. 64. Ejercicio Dada la tabla de distribución de edades de un grupo de padres cuyos hijos están en primer año de universidad. Hallar: a) media aritmética b) Mediana c) Moda Edad frecuencia 45 – 48 2 49 – 52 5 53 – 56 12 57 – 60 8 61 – 64 5 a) Media aritmética Edad f x f • x 45 – 48 2 46,5 93 49 – 52 5 50,5 252,5 53 – 56 12 54,5 654 57 – 60 8 58,5 468 61 – 64 5 62,5 312,5 X =  f • x = 1780 = 55,625 n 32 ¡ Puff……!
  65. 65. b) Mediana 32561 – 64 27857 – 60 191253 – 56 7549 – 52 2245 – 48 F acumfEdad n = 32 n / 2 = 32 / 2 = 16 L i m = 52 + 53 = 52,5 2 f (acum ant) = 7 c = 56,5 - 52,5 = 4 f m = 12 Me = 52,5 + ( 16 – 7 ) • 4 = 52,5 + 9 • 4 = 55,5 12 12 : El intervalo modal es [53 - 56] . Luego. La moda es su marca de clase: 53 + 56 = 54,5 2 c) Moda:
  66. 66. * Construye una tabla de distribución de frecuencias de datos agrupados en intervalos de clase. Considera como limite inferior del primer intervalo = 10 y c = 10 El puntaje obtenido por 130 alumnos en una prueba de biología es el siguiente: 12 45 53 85 23 91 34 56 65 70 72 74 86 95 32 45 56 58 33 49 55 70 66 62 64 55 83 26 34 72 60 64 72 80 58 98 50 20 35 76 68 90 99 56 48 56 68 82 40 92 38 56 84 66 78 74 25 15 48 50 66 49 53 83 91 42 64 72 54 89 92 28 34 40 56 64 68 63 35 56 66 38 82 78 74 90 85 66 70 72 58 66 80 80 95 96 99 94 40 42 58 65 67 81 90 50 48 52 62 70 80 93 45 36 49 81 73 56 38 51 23 90 84 96 75 38 28 36 83 29
  67. 67. Respuesta: Intervalo 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 - 99 M. de Clase 14,5 24,5 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5 94,5 frecuencia 2 8 13 14 22 20 17 17 17 F. acum. 2 10 23 37 59 79 96 113 130 F. Relat 0,015 0,061 0,100 0,107 0,169 0,153 0,130 0,130 0,130 F. Relat.% 1,5 6,1 10,0 10,7 16,9 15,3 13,0 13,0 13,0
  68. 68. De acuerdo con la tabla anterior, responder las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos alumnos obtuvieron entre 30 y 49 puntos? Respuesta: Hay 27 alumnos b) ¿Cuántos alumnos obtuvieron entre 60 y 89 puntos? Respuesta: Hay 54 alumnos c) ¿Cuántos alumnos obtuvieron entre 40 y 99 puntos? Respuesta: Hay 107 alumnos
  69. 69. d) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvieron entre 30 y 49 puntos? Respuesta: El 20,7 % de los alumnos e) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo entre 50 y 59 puntos? Respuesta: el 16,9 % de alumnos f) ¿Cuántos alumnos obtuvieron menos de 60 puntos? Respuesta: 59 alumnos
  70. 70. g) ¿Cuántos alumnos obtuvieron menos de 30 puntos? Respuesta: 10 alumnos h) ¿Cuántos alumnos obtuvieron 50 o más puntos? Respuesta: 93 alumnos i) ¿Cuántos alumnos obtuvieron 70 o más puntos? Respuesta: 51 alumnos j) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo menos de 20 puntos? Respuesta: 1,5 % de los alumnos
  71. 71. k) ¿Cuál es la marca de clase que representa al intervalo de mayor frecuencia? Respuesta: la marca de clase de mayor frecuencia es 54,5 l) ¿Cuál es el límite aparente superior del tercer intervalo? Respuesta: 39 m) ¿Cuál es el límite real inferior del quinto intervalo? Respuesta: 49,5 n) ¿Cuál es la amplitud del intervalo? Respuesta: c = 10
  72. 72. n) Calcula la media aritmética: Respuesta: Intervalo 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 - 99 M. de Clase 14,5 24,5 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5 94,5 f • x 29 196 448,5 623 1199 1290 1266,5 1436,5 1606,5 X =  f • x n 17 17 17 20 22 14 13 8 2 frecuencia n = 130 X = 8095 130 X = 62,26
  73. 73. ñ) Calcula la mediana: Respuesta: Intervalo 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 - 99 17 17 17 20 22 14 13 8 2 frecuencia n = 130 F. acum. 2 10 23 37 59 79 96 113 130 n / 2 = 130 / 2 = 65 L i m = 59,5 c = 10 f(acum. ant) = 59 f m = 20 Me = 59,5 + ( 65 – 59 ) • 10 20 Me = 59,5 + 6 • 10 20 Me = 59,5 + 3 = 62,5
  74. 74. o) Calcular el intervalo modal y la moda : Respuesta: El intervalo modal es [50 - 59] porque tiene la mayor frecuencia , que es 22. La moda corresponde a la marca de clase de ese intervalo. Luego, Mo = 50 + 59 = 54,5 2
  75. 75. a + b = c Ejercicios  Calcular el rango entre. 3,22 2,93 3.01 4,48 5,06 4.31 2,98 3,07 Repuesta: 5,06 - 2,98 = 2,08  El siguiente cuadro muestra el consumo anual en Chile de kilogramos de carne de bovino per cápita. Año 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1996 Consumo 17,0 15,0 14,7 14,0 15,6 17,3 18,5 18,1 17,6 20,0 a) Calcular el consumo promedio desde 1986 hasta 1992 Respuesta: X = 115,8 = 16,54 7
  76. 76. b) Calcular el consumo promedio de los 10 años? Respuesta: X = 1678 = 16,78 10  La siguiente tabla representa las medidas de una pieza de motores Intervalo Frecuencia 100 – 109 4 110 – 119 17 120 – 129 29 130 – 139 18 140 – 149 10 150 – 159 5 160 – 169 2 Dibuja en un mismo gráfico el histograma y el polígono de frecuencias.
  77. 77. Respuesta: f 104,5 114,5 124,5 134,5 144,5 154,5 164,5 4 18 29 10 • • • • • • • Marca de clase
  78. 78.  Dado las siguientes frecuencias, calcular la mediana, la moda y la media aritmética 6 - 7 - 7 - 3 - 4 - 1 - 7 - 5 Respuesta: Me : Para calcular la mediana se deben ordenar las frecuencias: 1 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 7 - 7 Luego, 5 + 6 = 11 = 5,5 Me = 5,5 2 Mo = La moda es 7 , porque es la frecuencia que más se repite X = 6 + 7 + 7 + 3 + 4 + 1 + 7 + 5 = 40 = 5 8 8
  79. 79.  Las notas obtenidas por 45 alumnos en una prueba de Estadística son: Notas Frecuencia 1 1 2 4 3 5 4 6 5 9 6 12 7 8 Determinar : Mo, Me y X Respuesta: X = 1•1 + 2 • 4 + 3 • 5 + 4 • 6 + 5 • 9 + 6 • 12 + 7 • 8 = 221 = 4,9 45 45 Me = Como n / 2 = 45 / 2 = 22,5 Luego. la mediana es 5 , pues es el primer valor de la variable cuya f(acum.) es igual o mayor que 22,5 Mo = La moda es 6 pues es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta
  80. 80. Percentiles, Deciles y Cuartiles La mediana de un conjunto de datos ordenados, es el valor que los separa en dos partes iguales. Existen otros valores típicos que dividen a un conjunto de datos numéricos en una cierta cantidad de partes iguales; éstos son: Percentiles, Deciles y Cuartiles. P50 = 52 % = Me
  81. 81. Percentiles Los percentiles de una distribución de datos numéricos son los 99 valores que la dividen en 100 partes iguales. Los percentiles se designan por: P1 , P2 , P3 , .............P99 Se lee: P1 = percentil 1 P2 = percentil 2 ............etc. 0 P1 P2 P3 ........................................................P99. Ejemplo: •En la distribución de notas de un grupo de alumnos, el P45 es una nota de referencia que permite afirmar que el 45 % de esos alumnos obtuvo esa nota o una menor.
  82. 82. El cálculo de percentiles se hace de la misma forma como se obtiene la mediana, en una distribución. Ejemplo: Considerar la distribución de frecuencias de los 212 puntajes de P.S.U.: para calcular P45 . Puntaje frecuencia Frec. Acum. 350 – 399 4 4 400 – 449 6 10 450 – 499 9 19 500 – 549 20 39 550 – 599 31 70 600 – 649 80 150 650 – 699 42 192 700 – 749 10 202 750 – 799 8 210 800 – 849 2 212 Respuesta: Se calcula el 45% de 212: 212 = 100% x = 212 • 45 x 45 % 100 x = 95,4 La frecuencia acumulada 95,4 se encuentra en la clase 600 - 649 P45 = L r i p + [ % - f (acum. ant)] • c f p
  83. 83. L r i p = 599 + 600 = 599,5 2 f (acum. ant) = 70 c = 50 f p = 80 P45 = L r i p + [ % - f (acum. ant)] • c f p P45 = 599,5 + ( 95,4 – 70 ) • 50 80 = 599,5 + 15,875 = 615,375 Este valor significa que el 45 % de los alumnos obtuvo puntajes menores o iguales a 615,3.
  84. 84.  Considerar la misma distribución anterior para calcular P8. Respuesta: Calcular el 8 % de 212: 212 = 100 % x = 212 • 8 = 16,96 x 8 % 100 Este valor de la frecuencia acumulada se encuentra en la clase 450 – 499 L r i p = 449 + 450 = 449,5 2 F(acum. ant) = 10 c = 50 f p = 9 P8 = 449,5 + ( 16,96 – 10) • 50 9 = 449,5 + 38,66 = 488,16
  85. 85. Ejercicio de percentil Puntaje frecuencia Frec. Acum. 350 – 399 4 4 400 – 449 6 10 450 – 499 9 19 500 – 549 20 39 550 – 599 31 70 600 – 649 80 150 650 – 699 42 192 700 – 749 10 202 750 – 799 8 210 800 – 849 2 212 Dada la tabla de distribución, determinar qué porcentaje de los alumnos obtuvieron entre 400 y 600 puntos. Respuesta: 400 puntos corresponde a un percentil que se desconoce, por lo que se simboliza por Px . Además se sabe que corresponde al segundo intervalo, y que su L r i p = 399,5
  86. 86. El % buscado es: x • 100 212 F(acum. ant) = 4 f p = 6 c = 50 Px = 399,5 + 6 4 100 212 . x • 50 400 = 399,5 + 50. 6 412,2 x 400 – 399,5 = 50. 6 412,2 x =0,5 • 6 50 2,12 x – 4 0,06 + 4 = 2,12 x 4,06 2,12 = x 1,9 % = x
  87. 87. 600 puntos corresponde a un percentil desconocido, por lo que se simboliza por Py Además se sabe que está ubicado en el sexto intervalo, y que su L r i p = 599,5 f(acum. ant) = 70 f p = 80 c = 50 El % buscado es x • 100 212 Entonces: Py = 599,5 + 50. 80 70 100 212 . y 600 – 599,5 = 50. 80 70 100 212 . y 0,5 • 80 50 = 2,12 y - 70 0,8 + 70 2,12 = y y = 33,3 % La diferencia entre ambos porcentajes corresponde al porcentaje pedido. 33,3 – 1,9 = 31,4 %
  88. 88. Calcular qué porcentaje de los 212 alumnos tuvieron resultados entre 620 y 680 puntos. Respuesta: 620 puntos corresponde a un percentil que se desconoce y se designa por Px. Entonces, Px = 599,5 + 80 70 100 212 . x • 50 620 = 599,5 + x = 48,4 % 620 – 599,5 = 50. 80 7012,2 x 20,5 • 80 50 = 2,12x – 70   50. 80 7012,2 x
  89. 89. 680 puntos corresponde a un percentil que se desconoce y se designa por Py. Py = 649,5 + 680 = 649,5 + x = 82,8 %( 680 – 649,5 ) • 42 50 = 2,12y - 150 Así, la diferencia entre ambos porcentajes corresponde al porcentaje de alumnos que tienen entre 620 y 680 puntos. 82,8 % - 48,4 % = 34,4 = 34,4 % de los alumnos 50. 42 150 100 212 . y 50. 42 15012,2 y
  90. 90. Deciles Los deciles de una distribución de datos numéricos son los 9 valores que la dividen en 10 partes iguales. Los deciles se designan por D1 , D2 , D3 , ...........D9 Se leen: Decil 1 , decil 2 .......decil 9 0 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
  91. 91. Para calcular deciles, se hace de la misma forma que los percentiles. Ejemplo: Considerar la siguiente tabla de distribución para calcular D3 Puntaje frecuencia Frec. Acum. 350 – 399 4 4 400 – 449 6 10 450 – 499 9 19 500 – 549 20 39 550 – 599 31 70 600 – 649 80 150 650 – 699 42 192 700 – 749 10 202 750 – 799 8 210 800 – 849 2 212 Para calcular el tercer decil (D3) se tiene que tener en cuenta que corresponde al 30 % inferior de los datos de la distribución.
  92. 92. Se calcula el 30% de 212 212 = 100% x 30% x = 63,6 Esta cantidad de datos corresponde a la clase 550 – 599 L r i = 549 + 550 = 549,5 2 f(acum. ante) = 39 c = 50 f d = 31 D3 = 549,5 + ( 63,6 – 39 ) • 50 31 = 549.5 + 39,6 = 589,1 El 30 % de los 212 alumnos tiene un puntaje igual o menor que 589,1 puntos.
  93. 93.  Calcular el D7 Respuesta: El 70% de 212 = 148,4 El límite real inferior de la clase 600 – 649 es 599,5 f(acum. ant) = 70 f d = 80 c = 50 D7 = 599,5 + 50. 80 704,148  D7 = 599,5 + 49 D7 = 648,5 puntos NOTA: Se ha calculado D3 y D7 , entonces se puede concluir que el 40% de los 212 alumnos obtuvo entre 589,2 y 648,5 puntos.
  94. 94. Cuartiles Los Cuartiles de una distribución de datos numéricos son los tres valores que la dividen en 4 partes iguales Los cuartiles se designan por: Q1 , Q2 y Q3 Q1 Q2 Q3 Q1 es el primer cuartil y corresponde al 25% inferior Q2 es el segundo cuartil y corresponde al 50% inferior Q3 es el tercer cuartil y corresponde al 75% inferior Los cuartiles se calculan de la misma forma que los percentiles y los deciles.
  95. 95.  Calcular el tercer cuartil, de la siguiente distribución Puntaje frecuencia Frec. Acum. 350 – 399 4 4 400 – 449 6 10 450 – 499 9 19 500 – 549 20 39 550 – 599 31 70 600 – 649 80 150 650 – 699 42 192 700 – 749 10 202 750 – 799 8 210 800 – 849 2 212 Respuesta: El 75% de 212 = 159 L r i q = 649,5 c = 50 f(acum. ant) = 150 f q = 42 Q3 = 649,5 + 50. 42 150159 Q3 = 649,5 + 10,7 Q3 = 660,2 El 75% de los alumnos tiene un puntaje igual o inferior a 660,2 puntos, lo que significa que el 25% de ellos tiene un puntaje igual o superior a 660,2
  96. 96.  Un curso rindió una prueba de Matemática, ¿Qué se puede decir del resultado, si se sabe que en la distribución de las notas se obtuvo: Q2 = 5,8 y Q3 = 6,5 ? Respuesta: Es conveniente ver la situación en forma gráfica: 5,8 6,5 25% 50% Se puede afirmar que: * El 50% del curso obtuvo una calificación superior a 5,8 * El 25% mejor preparado logró notas superiores al 6,5
  97. 97. Medidas de dispersión Al grado en que los datos numéricos tienden a extenderse alrededor de un valor medio se le llama variación o dispersión Las medidas de dispersión más utilizadas son: * Rango * Desviación media * Desviación típica o estándar.
  98. 98. Rango El rango de un conjunto de datos numéricos es la diferencia entre el mayor y el menor de ellos. Ejemplo: Un alumno obtuvo las siguientes notas parciales en Matemática: 2 - 3,9 - 5 - 5,9 - 6,2 El rango es 4,2 ya que es la diferencia entre 6,2 y 2 ¿Qué significado tiene el rango de notas 4,2 respecto de las notas de otro alumno cuyo rango es 2,1? En el primer caso las notas están más dispersas que en el segundo. No se sabe en que caso son mejores; para determinarlo es necesario más información.
  99. 99. Desviación Media La desviación de un puntaje x con respecto a la media aritmética x está dada por la diferencia d = x - x Ejemplo: Un alumno obtuvo las siguientes notas en la asignatura de Biología: 3,9 - 2 - 5 - 6,2 - 5,9 Calcular la desviación de ellas. Respuesta: Primero se debe calcular el promedio. x = 3,9 + 2 + 5 + 6,2 +5,9 = 23 = 4,6 5 5
  100. 100. Ahora se calcula la diferencia de cada nota con el promedio d = 3,9 – 4,6 = - 0,7 d = 2 – 4,6 = - 2,6 d = 5 – 4,6 = 0,4 d = 6,2 – 4,6 = 1,6 d = 5,9 – 4,6 = 1,3 NOTA: La suma de las desviaciones de todos los datos con respecto a la media aritmética es igual a cero. Ejemplo: -0,7 + 0,4 + 1,3 + -2,6 + 1,6 = 0
  101. 101. La desviación media de n datos numéricos x1, x2, ......xn es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones de todos los datos con respecto a su promedio. Se designa por DM n = frecuencia total DM = |x1 – x | + |x2 – x | +.........|xn – x | n Ejemplo: DM = |-2,6 | + |-0,7 | + |0,4 | + |1,3 | + |1,6 | = 6,6 = 1,3 5 5 El valor 1,3 es la desviación media de todas las notas dadas.
  102. 102.  Un alumno obtuvo las siguientes calificaciones en la asignatura de Inglés: 3,2 - 6 - 6,8 - 4,3 - 2,9 - 5,7 Calcular la desviación media de las notas. Respuesta: x = 3,2 + 6 + 6,8 + 4,3 + 2,9 + 5,7 = 28,5 = 4,8 6 6 | 3,2 – 4,8 | = 1,6 | 6 – 4,8 | = 1,2 | 6,8 – 4,8 | = 2 | 4,3 – 4,8 | = 0,5 | 2,9 – 4,8 | = 1,9 | 5,7 – 4,8 | = 0,9 Luego, DM = 1,6 + 1,2 + 2 + 0,5 + 1,9 + 0,9 = 8,1 = 1,3 6 6 El valor 1,3 es la desviación media de todas las notas dadas.
  103. 103. Materia Carlos Pedro Juan 1 2 7 5 2 9 2 6 3 10 2 5 4 2 6 5 5 3 6 5 6 1 3 5 7 9 6 4 8 9 7 5 9 1 6 6 10 4 5 4 Ejemplo: Desviación media para datos no agrupados Tres alumnos son sometidos a una competencia para probar sus conocimientos en 10 materias diferentes, cada una sustentada con 10 preguntas. La idea del concurso es encontrar al alumno más idóneo para representar al colegio en un torneo a nivel nacional. El número de preguntas buenas por materia se muestra a continuación:
  104. 104. SOLUCIÓN Lo primero que analizaremos es la media de los puntajes para cada uno de los alumnos, con el fin de determinar el alumno con mayor promedio de preguntas buenas. Las medias para los resultados de los alumnos coinciden: los tres alumnos tienen responden en promedio 5 preguntas correctas por prueba. ¿Cuál sería entonces el indicador diferenciador entre los alumnos?. Complementemos el análisis anterior calculando la desviación media: Carlos muestra una desviación media de 3,9 indicando que los datos se alejan en promedio de la media en 3,9 preguntas buenas. Pedro disminuye su variación (2,9), siendo Juan el que menos variación presenta con 0,9 preguntas tanto por arriba como por debajo de la media aritmética. Se recomienda al colegio elegir como ganador en este caso a Juan, presenta resultados más constantes que los otros dos alumnos, Juan en promedio acierta 5 preguntas buenas con una variación muy baja (rondando entre 4 y 6)
  105. 105. Desviación media en datos agrupados La siguiente tabla muestra los puntajes obtenidos en P.A.A. con un promedio de 614 puntos. Calcular la desviación media. Puntajes Frecuencia 350 – 399 4 400 – 449 6 450 – 499 9 500 – 549 20 550 – 599 31 600 – 649 80 650 – 699 42 700 – 749 10 750 – 799 8 800 – 849 2 •Primero se debe sacar la marca de clase. x 374,5 424,5 474,5 524.5 574.5 624.5 674.5 724.5 774.5 824.5 •Se debe obtener la desviación |x – x | 210.5 160.5 110.5 60.5 10.5 39.5 89.5 139.5 189.5 239.5 | x – x | •Se realiza el producto de la frecuencia con la desviación •Se obtiene la sumatoria del producto 12556 *Considerar la frecuencia total. 212 421 1284 1105 2541 840 1224.5 1790 1255.5 1137 958 f • |x – x |
  106. 106. Con todos los datos se aplica la fórmula de la desviación media DM =  f • | x – x | n DM = 12556 = 59,2 puntos 212 Se puede decir que los puntajes se desvían, en promedio, 59,2 puntos con respecto a la media. Hay que considerar que algunos puntajes son inferiores a ella y otros superiores. Si los puntajes estuvieran más agrupados en torno al promedio, es decir, menos dispersos, el valor de DM sería menor.
  107. 107. Calcular la DM de la siguiente distribución que representa las horas diarias dedicadas al estudio de 20 alumnos Horas Frecuencia 0 – 2 5 3 – 5 7 6 – 8 6 9 - 11 2 Respuesta: a) Obtener la marca de clase x 1 4 7 10 * Determinar el promedio b) Multiplicar f • x c) Obtener  f • x 95 d) Frecuencia total 20 * Determinar | x – x | f • x 5 28 42 20 5,3 2,3 0,7 3,7 | x – x | * Determinar f • |x – x | 10,6 13,8 4,9 18,5 f • |x – x | * Obtener  f • | x – x | 47,8 * Finalmente se determina la DM Las horas diarias se desvían en 2,3 puntos con respecto a la media. DM = 47,8 = 2,3 20 e) x = 95 = 4,7 20
  108. 108.  Calcula la desviación media de las medidas de una pieza de motores, dada por la siguiente tabla: x 104,5 114,5 124,5 134,5 144,5 154,5 164,5 *Se calcula | x – x | 2160 – 169 5150 – 159 10140 – 149 18130 – 139 29120 – 129 17110 – 119 4100 – 109 frecuenciaIntervalo 85 329 772,5 1445 2421 3610,5 1946,5 418 x • f 10942.5 Respuesta: * Marca de clase (x) * Se calcula f • | x – x | 923 * Sumatoria del producto 71,6 129 158 104,4 121,8 241,4 96,8 f • | x – x | DM = 923 = 10,8 85 Las medidas se desvían en promedio de 10,8 puntos con respecto a la media. 35,8 25,8 15,8 5,8 4,2 14,2 24,2 | x – x | * x = 10942,5 = 128,7 85
  109. 109. Desviación típica o estándar La desviación típica o estándar expresa el grado de dispersión de los datos con respecto al promedio y corresponde a la raíz cuadrada de la media del cuadrado de las desviaciones de dichos datos con respecto a su media aritmética. La desviación típica se simboliza por la letra S En forma general: S = n x nk k k x     1 2 )(
  110. 110. Ejercicios  Calcular la desviación típica de las siguientes notas de Matemática: 2,0 - 3,9 - 5,0 - 5,9 - 6,2 Respuesta: * Primero se debe obtener el promedio x = 2,0 + 3,9 + 5,0 + 5,9 + 6,2 = 4,6 5 * Se calcula la desviación típica S = 5 )6,42,6()6,49,5()6,45()6,49,3()6,42( 22222 
  111. 111. S = 5 5,26,11,04,07,6  5 3,11 = 2,2= = 1,4 Luego, la desviación típica de las notas es 1,4 con respecto al promedio Si de estas notas descartáramos el 2, la nota más alejada del promedio, entonces la desviación típica sería S = 1,04 ; este valor es menor que 1,4. Las notas consideradas, sin la nota 2, tendrían una dispersión menor, es decir, estarían más centradas.
  112. 112.  Calcular la desviación típica de las siguientes notas: 5,2 - 4,9 - 5 - 5,1 - 5,2 - 5,3 - 4,9 - 5,2 Respuesta: * Se obtiene el promedio x = 5,1 * S = 8 1,02,02,01,001,02,01,0 22222222  S = = 02,0S = = 0,1 Este valor es considerablemente menor que el ejercicio anterior. Se debe a que los datos son más homogéneos que en la otra distribución, presentan escasa dispersión con respecto al promedio. 8 01,004,004,001,0001,004,001,0  8 16,0
  113. 113. Desviación típica en datos agrupados Calcular la S de la siguiente distribución que representa las horas diarias dedicadas al estudio de 20 alumnos, con un promedio de 4,7 Horas Frecuencia 0 – 2 5 3 – 5 7 6 – 8 6 9 - 11 2 •Primero se debe sacar la marca de clase. x 1 4 7 10 * Determinar las desviaciones 5,3 2,3 0,7 3,7 | x – x | * Obtener la desviación al cuadrado 28,09 5,29 0,49 13,69 | x – x | 2 * Producto de la frecuencia con la desviación al cuadrado. 56,18 31,74 3,43 68,45 f •| x – x | 2 *  f •| x – x | 2 159,8 * Se calcula S 20 8,159 S = 9,7S = 2,8S =
  114. 114. Puntajes Frecuencia 350 – 399 4 400 – 449 6 450 – 499 9 500 – 549 20 550 – 599 31 600 – 649 80 650 – 699 42 700 – 749 10 750 – 799 8 800 – 849 2 La siguiente tabla muestra los puntajes obtenidos en P.A.A. con un promedio de 614 puntos. Calcular la desviación típica * Calcular marca de clase x 374.5 424.5 474.5 524.5 574.5 624.5 674.5 724.5 774.5 824.5 * Calcular las desviaciones * Determinar las desviaciones al cuadrado * determinar f • |x – x |2 44310.25 25760.25 12210.25 3660.25 110.25 1560.25 8010.25 19460.25 35910.25 57360.25 | x – x |2 88620.5 206082 122102.5 153730.5 8820 48367.75 160205 175142.25 215461.5 229441 f • | x – x |2 * Determinar la sumatoria del producto 1407973 S = = 81,4 Entonces, S = 81,4 210.5 160.5 110.5 60.5 10.5 39.5 89.5 139.5 189.5 239.5 | x – x | 212 1407973 3.6641=
  115. 115.  La siguiente tabla muestra el número de brazadas dadas por 100 nadadores en la prueba de 200 m crol. Calcular S Brazadas frecuencia 200 – 204 8 205 – 209 12 210 – 214 15 215 – 219 18 220 – 224 16 225 – 229 14 230 – 234 10 235 – 239 7 Respuesta: * Promedio a) Marca de clase x 202 207 212 217 222 227 232 237 b) f • x f • x 1616 2484 3180 3906 3552 3178 2320 1659 c)  f • x 21895 * Calcular las desviaciones 18.1 13.1 8.1 3.1 1.9 6.9 11.9 16.9 | x – x | 100 21895 d) x = = 218.9 * Desviaciones al cuadrado 327.61 171.61 65.61 9.61 3.61 47.61 141.61 285.61 | x – x | 2 * f • | x – x |2 *  del producto 2293.27 1716.1 918.54 153.76 64.98 714.15 1699.32 2284.88 F •|x – x |2 9845 S = 100 9845 S = 45,98 S = 9,9 Las brazadas están a 9,9 puntos con respecto al promedio
  116. 116. Varianza La varianza de un conjunto de datos se define como el cuadrado de la desviación típica Se simboliza por S2 S2 = n xx nk k      1 2 )( El cálculo de la varianza es similar a la desviación típica
  117. 117. Un alumno obtuvo las siguientes notas en la asignatura de Biología: 3,9 - 2 - 5 - 6,2 - 5,9 Calcular la varianza de ellas. Respuesta: Primero se debe calcular el promedio. x = 3,9 + 2 + 5 + 6,2 +5,9 = 23 = 4,6 5 5 * Calcular las desviaciones |3,9 – 4,6 | = 0,7 | 2 – 4.6 | = 2,6 | 5 – 4,6 | = 0,4 | 6,2 – 4,6 | = 1,6 | 5,9 – 4,6 | = 1,3 * Calcular las desviaciones al cuadrado 0,72 = 0,49 2,62 = 6,76 0,42 = 0,16 1,62 = 2,56 1,32 = 1,69 * Calcular S2 S2 = 0,49 + 6,76 + 0,16 + 2,56 + 1,69 = 11,66 5 = 2,3
  118. 118. Calcular la Varianza de la siguiente distribución que representa las horas diarias dedicadas al estudio de 20 alumnos, con un promedio de 4,7 Horas Frecuencia 0 – 2 5 3 – 5 7 6 – 8 6 9 - 11 2 •Primero se debe sacar la marca de clase. x 1 4 7 10 * Determinar las desviaciones 5,3 2,3 0,7 3,7 | x – x | * Obtener la desviación al cuadrado 28,09 5,29 0,49 13,69 | x – x | 2 * Producto de la frecuencia con la desviación al cuadrado. 56,18 31,74 3,43 68,45 f •| x – x | 2 *  f •| x – x | 2 159,8 * Se calcula S2 S2 = 20 8,159 S2 = 7,9 Luego, la varianza es 7,9

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