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entonces el núcleo sería :
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Lo que implica que el núcleo de la transformación sólo admi...
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BASE DE AUTOVECTORES
Para determinar todos los autovectores de A asociados a los autovalores an...
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Luego, para determinar el autovector asociado al autovalor 0:
[1 −1 0
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Actividad 5 d grupal

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Transformaciones Lineales, Auto vector y autovalor. Gráfica

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Actividad 5 d grupal

  1. 1. Gustavo Zamar Sofía Torres ACTIVIDAD 5 MATEMATICA I ACTIVIDAD D Seleccione con su grupo una matriz de la lista. A partir de esta matriz construya una transformación matricial (transformación lineal –TL-) asociada. Luego explicite: (sea muy cuidadoso con la simbología matemática): a) El vector genérico TX. b) El núcleo de esta TL. c) Los autovalores de la TL. d) Una base de los autovectores asociados a cada autovalor. Además: e) Grafique cada vector de cada base y también grafique cada espacio generado. f)Analice si A es diagonalizable. En caso de serlo construya P y D que hacen verdadera la igualdad. Para pensar: ¿Cómo y con qué información se construyen dichas matrices? h)Plantee la transformación inversa. 1 1 0 10 1 2 1 0 1 1 A −   = − −   −  TRANSFORMACIÓN: TX 1 1 0 10 1 2 1 0 1 1 A −   = − −   −  [x y z] = [ x−y −x+2 y−z −y+z ] NUCLEO DE LA TRANSFORMACION Para calcularlo planteamos el SELH: x−y=0 −x+2 y−z=0 y tiene la matriz ampliada [1 −1 0 0 −1 2 −1 0 0 −1 1 0] −y+z=0 cuya resolución por el método de reducción Gauss-Jordan nos devuelve como resultado : VECTOR GENERICO TXMatriz de transformación
  2. 2. Gustavo Zamar Sofía Torres entonces el núcleo sería : [ 0 0 0] Lo que implica que el núcleo de la transformación sólo admite el vector nulo. AUTOVALORES DE LA TRANSFORMACIÓN AX=kX [1 −1 0 −1 2 −1 0 −1 1 ] . [x y z]=k [x y z ] → x−y=kx −x+2 y−z=ky −y+z=kz → x(1−k)−y=0 −x+ y(2−k)−z=0 −y+ z(1−k)=0 |1−k −1 0 1 2−k −1 0 −1 1−k |=0 → (2−k)(1−k)+1+(1−k)+1=0 → k 2 −4k+3=0 resolviendo la ecuación cuadrática tenemos su forma factorizada con la raíces: (x−1)(x−3) y los autovalores serán 1 y 3.
  3. 3. Gustavo Zamar Sofía Torres BASE DE AUTOVECTORES Para determinar todos los autovectores de A asociados a los autovalores anteriormente mencionamos debemos desarrollar la siguiente igualdad AX =kX donde k es el autovalor asociado a la matriz. Tenemos para el auto valor 1: [ 1 −1 0 −1 2 −1 0 −1 1 ] [ x y z] = 1 [ x y z] Entonces tenemos [ x−y=x −x+2 y−z=y −y+z=z ] = [ x−y−x=0 −x+2 y−z−y=0 −y+z−z=0 ] Luego: s [ y=0 −x+ y−z=0 −y=0 ] simplificando tenemos que [ −y=0 −x+ y−z=0] y reemplazando −x+0−z=0→x=−z por lo tanto, un autovector asociado al autovalor 1 sería: [−z 0 z ] o, lo que es lo mismo decir: z [ −1 0 1 ] Luego, para determinar el autovector asociado al autovalor 3: [1 −1 0 −1 2 −1 0 −1 1 ] [ x y z] = 3 [ x y z] Entonces tenemos [ x−y=3 x −x+2 y−z=3 y −y+z=3 z ] = [ x−y−3 x=0 −x+2 y−z−3 y=0 −y+z−3 z=0 ] Luego: [−2x−y=0 −x−y−z=0 −y−2z=0 ] −y=2z→ y=−2z −x+2 z−z=0→−x+z=0→ x=z −2 z+2z=0 con lo cual tenemos que el autovector quedaría [ z −2 z z ] o lo que es lo mismo z [1 −2 1 ]
  4. 4. Gustavo Zamar Sofía Torres Luego, para determinar el autovector asociado al autovalor 0: [1 −1 0 −1 2 −1 0 −1 1 ] [ x y z] = 0 [ x y z] Entonces tenemos [ x−y=0 x −x+2 y−z=0 y −y+z=0z ] Luego: −x+2 z−z=0→−x+z=0→x=z − y+z=0→ y=z con lo cual tenemos que el autovector quedaría [ z z z] o lo que es lo mismo z [ 1 1 1] DIAGONALIZACION Construimos la matriz P con los autovectores obtenidos y verificamos si ésta admite inversa:
  5. 5. Gustavo Zamar Sofía Torres construimos la matriz D con los autovalores [0 0 0 0 3 0 0 0 1] y hacemos A=PDP −1 y efectivamente nos devuelve la matriz A. Lo que implica que A sí es diagonalizable. Y las diferencias que observamos se deben a las aproximaciones decimales utilizadas para poder operar con las calculadoras. Gráfica adjunta en la pagina siguiente. Inversa de P PD P*D
  6. 6. Gustavo Zamar Sofía Torres
  7. 7. Gustavo Zamar Sofía Torres

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