Técnicas de conteo

Introducción (técnicas de conteo)

¿Qué son las técnicas de conteo?
Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos
difíciles de cuantificar.

La enumeración de puntos muestrales en un espacio muestral, en ocasiones es
difícil y laboriosa por la cantidad de puntos a contar o enumerar, propiciando que
se puedan cometer errores al emprender esa tarea. En estos casos se recurre al
análisis combinatorio, que es una manera más sofisticada de contar.

Principio fundamental del conteo
1. Si un evento puede suceder o realizarse de n maneras diferentes y si,
continuando el procedimiento un segundo ejemplo puede realizarse de n1
maneras diferentes y así sucesivamente, entonces el número de maneras
en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto
de n1*n2*n3…

Valentín & Cynthia : Copyright © #' a 9 de diciembre de 2011

Reglas generales del conteo

REGLA DEL PRODUCTO (MULTIPLICACIÓN)

Si los eventos A y B pueden ocurrir de m y n maneras distintas respectivamente,
entonces el total de maneras distintas en que ambos eventos pueden ocurrir en el
orden indicado es m x n.

Esta regla puede extenderse a tantos eventos como se quiera. El número total de
posibilidades es el producto del número de posibilidades de cada evento. Por
ejemplo, si los eventos A, B, C y D pueden ocurrir de m, n, o y p maneras
distintas respectivamente, entonces el total de formas diferentes en que estos
eventos pueden ocurrir en ese orden, es m x n x o x p.

Ejemplos

1. Una persona para vestirse tiene la posibilidad de escoger entre 2 pares de
zapatos, 3 pantalones y 4 blusas. ¿De cuántas maneras puede combinar
las prendas?

Solución:

Conocemos que hay 2 posibilidades de combinar los pares de zapatos (Z = 2), los
pantalones de 3 maneras (P = 3) y las blusas de 4 (B = 4). Entonces:

Z x P x B = 2 x 3 x 4 = 24

Existen 24 posibilidades de combinar las prendas.


2. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 7 personas en una fila?

Solución:

La primera posición en la fila (P1), puede ser ocupada por cualquiera de las 7
personas (P1 = 7); la segunda posición por 6 (P2 = 6) y así, sucesivamente.

P1 x P2 x P3 x P4 x P5 x P6 x P7 = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 7! = 5040

Existen 5040 maneras de colocar a 7 personas en una fila.

3. ¿De cuántas maneras se pueden ubicar 4 personas alrededor de una
mesa?

Solución:

La posición relativa de todos los lugares es similar, por lo que la colocación de las
primeras personas es irrelevante, a diferencia de su colocación en una fila; cuando
la primera persona se ha colocado en un lugar, quedas 3 opciones para la
segunda persona; la tercera persona tiene 2 opciones y la última sólo una. Esto
equivale a:

3 x 2 x 1 = (n – 1)! = 3! = 6

4. Para una obra de teatro hay 6 hombres y 8 mujeres que aspiran a los
papeles principales.

Solución:

El director puede elegir a la pareja principal de:

6 x 8 = 48 formas.


5. ¿Cuántos juegos de placas de circulación para automóviles pueden
fabricarse, si se utilizan 3 dígitos y 3 letras (en ese orden), si no se puede
repetir ningún dígito ni letra en cada placa, ni se puede utilizar el cero, las
letras O, Ñ y W.

Solución:

Para el primer digito (D1) existen 9 posibilidades, al quedar excluido el 0; para el
segundo dígito (D2) hay 8 alternativas, al no poder usar el 0 ni el usado en el
primer espacio; para el tercer dígito (D3) quedan 7 posibilidades. Para la primera
letra (L1) se tienen 24 alternativas, ya que de las 27 letras del abecedario, 3 están
restringidas; para la segunda letra (L2) se tienen 23 alternativas y para la última
letra (L3) quedan 22 posibilidades, por lo que:

(D1) (D2) (D3) (L1) (L3) (L2) = (9) (8) (7) (24) (23) (22) = 6120576

Se pueden fabricar 6120576 juegos de placas con estas características.


REGLA DE LA SUMA

Si una primera tarea puede realizarse de m formas y una segunda tarea puede
realizarse de n formas, y no es posible realizar ambas tareas de manera
simultánea, entonces para realizar cualquiera de ellas pueden utilizarse cualquiera
de m + n formas.

Ejemplo

1. Una biblioteca tiene 40 libros de historia y 50 de filosofía. Si un estudiante
quiere aprender acerca de alguno de estos dos temas, por la regla de la
suma puede elegir entre 40 + 50 = 90 libros.

(Nota: el estudiante no quiere estudiar historia y filosofía, sino historia o filosofía.)

La regla puede ampliarse a más de dos tareas, siempre que ningún par de ellas
pueda ocurrir simultáneamente.


Permutaciones
Las permutaciones de un numero n de objetos de un conjunto es cualquiera de las
diferentes maneras de ubicar esos objetos en un orden definido.

Se utiliza el símbolo nPn o P(n) cuando se toman las permutaciones de
igual numero n de elementos u objetos del conjunto.

Si se desean ordenar n objetos diferentes en una línea, el primero objeto se puede
escoger de n maneras, el segundo de n-1; y el tercero de n-2 y así,
sucesivamente, hasta 1.

nPn = P(n) = (n) (n-1) (n-2)… (1) = n!

Ejemplos

1. ¿De cuántas maneras se pueden permutar los 3 dígitos del número 478?

Solución:

3P3 = P (3) = 3 x 2 x 1 = 3! = 6

Las permutaciones son: 478, 487, 748, 784, 847 y 874.

Cuando las permutaciones se hacen de un tamaño r menor al número n de
elementos del conjunto, se utilizan indistintamente los símbolos nPr o P(n,r).

De un grupo n de objetos, deseamos ordenar r objetos en una línea. El primero
objeto se puede escoger de n maneras; el segundo de n-1 y así, sucesivamente,
de manera que el último de ellos será n – (r-1) = n – r + 1.

nPr = P(n, r) = (n) (n-1)(n-2)… (n-r+1) =


2. ¿Cuántas permutaciones de 2 letras se puede formar a partir de las 5
vocales?

Solución:

nPr = 5P3 = = = = 20

Las permutaciones son:

ae, ai, ao, au, ea, ei, eo, eu, ia, ie, io, iu, oa, oe, oi, ou, ua, ue, ui y uo.

3. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 12 personas en una banca que sólo
tiene capacidad para 7?

Solución:

nPr = 12P7 = = = = 3991680

4. Se colocan al azar 7 libros (biología, física, historia, inglés, literatura,
matemáticas y química) en un librero. Calcular la probabilidad de que los de
biología, física y química queden juntos.

Solución:

Hay en total 7 libros, por lo que el espacio muestral es 7!. Si consideramos que
han de ir juntos los de biología, física y química, podemos tomarlos como uno
solo; podemos señalar entonces 5! maneras de colocarlos, mientras que los 3 que
han de ir juntos se pueden ordenar de 3! maneras. En consecuencia:

P= = = = 14.28%


5. ¿Cuántas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea
que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo
Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del
sindicato de una pequeña empresa.

Solución:

Por principio multiplicativo:

25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6, 375,600 maneras de formar una representación de ese
sindicato que conste de presidente, secretario, etc.

Por Fórmula:

nPr = 25P5 = 25!/(25 –5)! = 25!/20! = (25 x 24 x 23 x 22 x 21 x....x 1)/(20 x 19 x 18
x ... x 1) = 6,375,600 maneras de formar la representación.


Combinaciones
Una combinación es cualquier selección de objetos en la que no importa el orden,
a diferencia de una permutación, donde el orden si es importante. Por ejemplo,
ABC, ACB y BAC son permutaciones distintas; mientras que, por contener los
mismos elementos, se pueden considerar como una misma combinación. Por lo
tanto, hay más permutaciones que combinaciones de un número n de objetos,
tomados de tamaño r en r.

Las combinaciones de n objetos, tomados en r en r, se representa por , nCr,
C(n,r) o Cn,r y se obtiene mediante las operaciones:

= nCr = C(n,r) = Cn,r = = =

El número de combinaciones nCr está relacionado con los subconjuntos de un
conjunto. Por ejemplo, el número de subconjuntos de 2 elementos del conjunto A
que tiene 5 elementos es:

A = {a, e, i, o, u}

= 5C2 = C(5,2) = C5,2 = = = = 10

Los 10 subconjuntos de 2 elementos son: ae, ai, ao, au, ei, eo, eu, io, iu, ou.

Ejemplos

1. ¿Cuántos subconjuntos de 6, 8 y 10 elementos tiene el conjunto Q?

Q = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o}

Solución:


Para 6 elementos:

= 15C6 = = = 5005 subconjuntos.

Para 8 elementos:


Para 10 elementos:


2. ¿De cuántas maneras puede salir una mano de póker (5 cartas) si se juega
con una baraja española (40 cartas) o con una baraja inglesa (52 cartas)?

Solución:

= 40C5 = = 658008 en la baraja española.

= 52C5 = = 2598960 en la baraja inglesa.

3. Si nC2 = 6, calcular n.

Solución:

= nC2 = = = =6

n(n-1) = 6 (2) = 12

n2 – n = 12

Completando el trinomio cuadrado perfecto:


n2 – n + 0.25 = 12 + 0.25 = 12.25

Factorizando: (n – 0.5)2 = 12.25

Despejando: n – 0.5 = √12.25 = 3.5, n = 3.5 + 0.5 = 4, 4C2 = 6

4. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro
limpieza del Tec. ¿Cuántos grupos de limpieza podrán formarse si se desea
que consten de 5 alumnos cada uno de ellos?.

Solución:

n = 14, r = 5

14C5 = 14!/(14 – 5 )! 5! = 14!/ 9!5!

= 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5! = 2002 grupos.

Entre los 2002 grupos de limpieza hay grupos que contienen solo hombres, grupos
que contienen solo mujeres y grupos mixtos, con hombres y mujeres.

5. Para contestar un examen un alumno debe contestar 9 de 12 preguntas,
¿Cuántas maneras tiene el alumno de seleccionar las 9 preguntas?.

Solución:

n = 12, r = 9

12C9 = 12!/(12 – 9)! 9!

= 12! / 3!9! = 12 x 11 x 10 / 3! = 220 maneras de seleccionar las nueve preguntas
o dicho de otra manera, el alumno puede seleccionar cualquiera de 220 grupos de
9 preguntas para contestar el examen.


Bibliografía (fuentes de información)
TÍTULO:

FUNDAMENTOS DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDAD –
“CONCEPTOS BÁSICOS Y SUS APLICACIONES EN LA VIDA DIARIA.

AUTOR:

MATÍAS CHÁVEZ ESCALANTE

EDITORIAL:

SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN E INVESTIGACIÓN TECNOLÓGICAS –
DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN TECNOLÓGICA AGROPECUARIA.

LUGAR Y AÑO DE EDICIÓN:

MÉXICO 1ª EDICIÓN 2000

NÚMERO DE PAGINAS:

438 PAGINAS.


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