LÓGICA DIFUSA

Hacia una Nueva
Economía de la Empresa
Ing. MsC. Catherine Capelo

1. Incertidumbre
– ISO 3534-1: una estimación unida al resultado de un ensayo que
caracteriza el intervalo de valores dentro de los cuales se afirma
que está el valor verdadero.
2. Probabilidad
– Mide mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o
conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento
aleatorio.
– Es una propiedad física de los objetos, determina la posibilidad
de que cierto evento ocurra. Se calcula y verifica por
experimentación.
3. Vaguedad
– Constituye una forma de incertidumbre distinta a la
probabilidad su carácter está relacionado con límites sin
precisión clara.
– Es una característica del lenguaje de comunicación humano.

Incertidumbre
Redes BayesianasConjuntos Difusos
Subjetividad en la
calificación de eventos
no aleatorios
Aleatoriedad de
eventos definidos de
manera precisa
Vagueness (fuzziness) vs. Probability

Principal herramienta matemática para el tratamiento
de la incertidumbre.
El hombre al igual que todas las especies vivientes
evoluciona en un ambiente incierto y uno de sus
objetivos es atenuar los efectos de la incertidumbre.
La incertidumbre no posee leyes, el azar posee leyes
conocidas o no, pero que existen por hipótesis.

Cuando hablamos de lógica difusa, el adjetivo “difuso”
se debe a que en esta lógica, los valores de verdad son
no-deterministas y tienen, por lo general, una
connotación de incertidumbre.
¿Cuándo entrará en erupción un volcán?
¿Aprobaré el examen?
Si tiro la moneda, ¿sale cara o sello?
¿La respuesta a la pregunta es V o F?
A medida que se dispone de más información la
incertidumbre se puede reducir.
La ausencia de incertidumbre es tener información total.

Formalización de la Economía
MATEMÁTICA
MECANICISTA

Parte Racional
(Izquierda)
Parte Emocional
(Derecha)

Formalización de la Economía
MATEMÁTICA
DELAZAR

Previsiones
0
50
Febrero 2007 Febrero 2008
70

¿Porqué?
Más de 2000 años
Aristóteles
“Principio del Tercio Excluso”
“Una proposición puede ser
verdadera o falsa, pero nunca
verdadera y falsa a la vez”

¿Porqué?
Más de 150 años
George Boole
“Logica Booleana”
“Matemática Binaria”

1965
Lofti Zadeh
“Fuzzy Sets” (“Conjuntos Borrosos”)

“Principio de Simultaneidad
Gradual” (J. Gil-Aluja; SIGEF,
1996)
“Una proposición puede ser a la vez
Verdadera y Falsa, siempre que se le
otorgue un cierto grado de Verdad y un
cierto grado de Falsedad”
“Fuzzy Subsets” (“Subconjuntos Borrosos”)

Conjunto Referencial
a b c d e f g
E = 1 1 1 1 1 1 1
E = {a, b, c, d, e, f, g}
Subconjunto Binario A
a b c d e f g
A
=
1 0 0 1 0 0 1
A = {a, d, g}; μ (x) = {0, 1}

Subconjunto Borroso A
a b c d e f g
A = 0.4 0.5 1 0.7 0.2 0.5 0.6
μ (x) = [0, 1]
¿Qué es un Número Borroso?

Subconjunto Borroso
c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7
A = .5 .7 1 .9 .3 .6 .2
Número Borroso
Caso Particular del Subconjunto Borroso
1- El Referencial pertenece al campo de los Reales

Subconjunto Borroso
c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7
A = .5 .7 1 .9 .3 .6 .2
Número Borroso
2- La Función Característica de Pertenencia debe
ser Normal

Subconjunto Borroso
c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7
A = .5 .7 1 .9 .3 .6 .2
Número Borroso
3- Debe haber Monotonía Decreciente
0 0
1
2- La Función Característica de Pertenencia debe
ser Normal

Subconjunto Borroso
c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7
A = .5 .7 1 .9 .3 .6 .2
Número Borroso
2 3 4 5 6 7 8
B = 0 .2 .9 1 .7 .6 0
Ejemplo

¿Es un Número Borroso?
1 2 3 4 5 6 7
C = 0 0 1 .9 .7 .6 0
-1 0 1 2 3 4 5
D = 0 .4 .8 1 .3 .6 0
0 2 4 6 8 10 12
E = 0 1 1 1 .3 0 0
c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7
F = 0 .7 1 .9 .3 0 0

0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8

0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Número Borroso Triangular
A = (1, 3, 8)
A = (a1, a2, a3)

0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Número Borroso Trapezoidal
A = (1, 2.5, 5.5, 8)
A = (a1, a2, a3 , a4)

Intervalo de Confianza
A = [a1, a2]
[min, max]
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
[ ]
A = [2, 8]

Tripleta de Confianza
A = (a1, a2 , a3)
(min, m. pres.,max)
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
[ ]
A = (2, 3, 8)
•

Número Borroso Triangular
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
A = (a1, a2 , a3)
A = (2, 3, 8)

Cuádruplo de Confianza
A = (a1, a2 , a3 , a3)
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
[ ]
A = (2, 3, 4, 8)
• •

Número Borroso Trapezoidal
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
A = (a1, a2 , a3 , a3)
A = (2, 3, 4, 8)

Intervalos de Confianza
Suma de Intervalos de Confianza
[a1, a2] (+) [b1, b2] = [a1 + b1, a2 + b2]
[2, 3] (+) [1, 4] = [2 + 1, 3 + 4] = [3, 7]
Sustracción de Intervalos de Confianza
[a1, a2] (-) [b1, b2] = [a1 – b2, a2 – b1]
[2, 3] (-) [1, 4] = [2 - 4, 3 - 1] = [-2, 2]
Normal

Suma de Intervalos de Confianza
[a1, a2] (+) [b1, b2] = [a1 + b1, a2 + b2]
[2, 3] (+) [1, 4] = [2 + 1, 3 + 4] = [3, 7]
Sustracción de Intervalos de Confianza
Minkowsi
[a1, a2] (m) [b1, b2] = [a1 – b1, a2 – b2]–
[2, 3] (m) [1, 4] = [2 - 1, 3 - 4] = [-1, 1]–
[min, max]

Producto de Intervalos de Confianza
[a1, a2] (•) [b1, b2] =
[2, 3] (•) [1, 4] =
[Min {a1•b1, a1•b2, a2•b1, a2•b2}, Max {a1•b1, a1•b2, a2•b1, a2•b2}]
[Min {2 • 1, 2 • 4, 3 • 1, 3 • 4}, Max {2 • 1, 2 • 4, 3 • 1, 3 • 4}]
[Min {2, 8, 3, 12}, Max {2, 8, 3, 12}] = [2, 12]

División de Intervalos de Confianza
[a1, a2] (:) [b1, b2] =
[2, 3] (:) [1, 4] =
[Min {a1/b1, a1/b2, a2/b1, a2/b2}, Max {a1/b1, a1/b2, a2/b1, a2/b2}]
[Min {2/1, 2/4, 3/1, 3/4}, Max {2/1, 2/4, 3/1, 3/4}]
[Min {.5, .5, 3, .25}, Max {.5, .5, 3, .25}] = [.25, 3]

Suma de Números Borrosos
1 2 3 4 5 6 7
X = 0 .4 1 .8 .3 .1 0
4 5 6 7 8 9 10
Y = 0 .2 .7 1 .9 .5 0
X + Y = Z
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Z = 0 .2 .4 .7 1 .9 .8 .5 .3 .1 0
Convolución “Maxmin”

Suma de Números Borrosos
1 2 3 4 5 6 7
X = 0 .4 1 .8 .3 .1 0
4 5 6 7 8 9 10
Y = 0 .2 .7 1 .9 .5 0
X + Y = Z
.7
9
1 + 8
3 + 6
2 + 7
5 + 4
4 + 5
0 .9
0 .4 .7 .2 0
0
.4 1
.4
1 .7 .7
.8 .2 .2
.3 0 0

Sustracción de Números Borrosos
1 2 3 4 5 6 7
X = 0 .4 1 .8 .3 .1 0
4 5 6 7 8 9 10
Y = 0 .2 .7 1 .9 .5 0
X - Y = Z
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
Z = 0 .4 .5 .9 1 .8 .7 .3 .2 .1 0

Sustracción de Números Borrosos
1 2 3 4 5 6 7
X = 0 .4 1 .8 .3 .1 0
4 5 6 7 8 9 10
Y = 0 .2 .7 1 .9 .5 0
X - Y = Z
.8
-.3
2 - 5
4 - 7
3 - 6
6 - 9
5 - 8
.4 .2
.2 .7 .8 .3 .1
.2
1 .7
.7
.8 1 .8
.3 .9 .3
.1 .5 .1

Experto A: A = .4;
Experto B: B = .7;
Experto C: C = .8;
Experto D: D = 1;
Experto E: E = .5;
Experto F: F = .5;
Experto G: G = .4;
Experto H: H = .6;
Experto I: I = .8;
Experto J: J = .5.
M1 = .4 + .7 + .8 + 1 + .5 + .5 + .4 + .6 + .8 + .5
10
= .62
M1 = .62
La Agregación de Expertos

Experto A: A = .4;
Experto B: B = .7;
Experto C: C = .8;
Experto D: D = 1;
Experto E: E = .5;
Experto F: F = .5;
Experto G: G = .4;
Experto H: H = .6;
Experto I: I = .8;
Experto J: J = .5.
Ponderación Convexa
Experto A: A = .8;
Experto B: B = .5;
Experto C: C = .7;
Experto D: D = .9;
Experto E: E = 1;
Experto F: F = .6;
Experto G: G = .8;
Experto H: H = .9;
Experto I: I = .7;
Experto J: J = .9.

= A + B + C + D + E + F +
+ G + H + I + J =
= .8 + .5 + .7 + .9 + 1 + .6 + .8 + .9 +
+ .7 + .9 = 7.8
Experto A: A = .8;
Experto B: B = .5;
Experto C: C = .7;
Experto D: D = .9;
Experto E: E = 1;
Experto F: F = .6;
Experto G: G = .8;
Experto H: H = .9;
Experto I: I = .7;
Experto J: J = .9.

Experto A: A = .8;
Experto B: B = .5;
Experto C: C = .7;
Experto D: D = .9;
Experto E: E = 1;
Experto F: F = .6;
Experto G: G = .8;
Experto H: H = .9;
Experto I: I = .7;
Experto J: J = .9.
vA = A
=
.8
7.8
= .10;
vB = B
=
.5
7.8
= .06;
vC =.09;
vD =.12;
vE =.13
vF = .07
vG =.10
vH =.12
vI = .09
vJ = .12

Experto A: A = .4;
Experto B: B = .7;
Experto C: C = .8;
Experto D: D = 1;
Experto E: E = .5;
Experto F: F = .5;
Experto G: G = .4;
Experto H: H = .6;
Experto I: I = .8;
Experto J: J = .5.
Índices de Ponderación Convexa
vF = .07;
vG =.10;
vH =.12;
vI = .09;
vJ = .12.
vA =.10;
vB =.06;
vC =.09;
vD =.12;
vE =.13;
M2 = .4 · .10 + .7 · .06 + .8 · .09 + 1 · .12 +
+.5 · .13 + .5 · .07 + .4 · 10 +
+.6 · .12 + .8 · .09 + .5 · .12
M2 = .6

Experto A: A = .4;
Experto B: B = .7;
Experto C: C = .8;
Experto D: D = 1;
Experto E: E = .5;
Experto F: F = .5;
Experto G: G = .4;
Experto H: H = .6;
Experto I: I = .8;
Experto J: J = .5.

Experto A: A = .4;
Experto B: B = .7;
Experto C: C = .8;
Experto D: D = 1;
Experto E: E = .5;
Experto F: F = .5;
Experto G: G = .4;
Experto H: H = .6;
Experto I: I = .8;
Experto J: J = .5.
1
2
1
1
3
2
0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1
Estadística Frecuencias
Normalizadas
.1
.2
.1
.1
.3
.2
0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1

2
3
1
1
2
1
0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1
Estadística Frecuencias
Normalizadas
.2
.3
.1
.1
.2
.1
0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1
Subconjunto
Aleatorio Borroso
.1
.1
.3
.4
.5
.8
1
1
1
1
10
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1

Subconjunto
Aleatorio Borroso
.1
.1
.3
.4
.5
.8
1
1
1
1
10
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1
(A) =.

Experto A: A = [.1, .2];
Experto B: B = [.7,
.9];Experto C: C = [.8, .9];
Experto D: D =
1;Experto E: E = [.5,
.9];Experto F: F = [.5,
.6];Experto G: G = [.4,
.7];Experto H: H = [.6,
.7];Experto I: I = .8;
Experto J: J = .5.
1
3
1
2
1
1
1
1
2
1
1
3
1
1
0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1
Estadística

1
1
1
3 1
1 1
1 2
2 1
3
1 1
0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1
Estadística
.1
.3
.1
.2
.1
.1
.1
.1
.2
.1
.1
.3
.1
.1
0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1
Frecuencias
Normalizadas
.1
.4
.5
.7
.8
.9
1
.1
.1
.3
.4
.5
.8
.9
.9
.9
1
10
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1
Expertón

.1
.4
.5
.7
.8
.9
1
.1
.1
.3
.4
.5
.8
.9
.9
.9
1
10
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1
Expertón
Esperanza Matemática
de un Expertón:
(A) = [.59, .72].
(A) =.

I =
p1 =
a b c d e
.8 .9 .7 1 .9
a b c d e
.5 .7 .5 .9 .8
d (I, p1) = Σ │μi
(I) - μi
(p1)│i = 1
n
=│μ1
(I) – μ1
(pi)│+│μ2
(I) – μ2
(pi)│+ ...
... +│μn
(I) – μn
(pi)│
d (I, p1) = │.8 - .5│+ │.9 - .7│+ │.7 - .5│+ │1 - .9│+
+│.9 - .8│= .3 + .2 + .2 + .1 + .1
d (I, p1) = .9

I =
p1 =
.91.7.9.8
edcba
edcba
.8.9.5.7.5
p2 =
p3 =
edcba
.71.7.5.6
edcba
.9.8.7.5.8
d (I, pa) = Σ │μi
(I) - μi
(pa)│i = 1
n

I =
a b c d e
.8 .9 .7 1 .9
d (I, p2) = │.8 - .6│+ │.9 - .5│+ │.7 - .7│+ │1 - 1│+
+│.9 - .7│=
= .2 + .4 + 0 + 0 + .2 =
d (I, p2) = .8
p2 =
a b c d e
.6 .5 .7 1 .7
(I) - μi
(pa)│i = 1
n

I =
a b c d e
.8 .9 .7 1 .9
d (I, p3) = │.8 - .8│+ │.9 - .5│+ │.7 - .7│+ │1 - .8│+
+│.9 - .9│=
= 0 + .4 + 0 + .2 + 0 =
d (I, p3) = .6
p3 =
a b c d e
.8 .5 .7 .8 .9
(I) - μi
(pa)│i = 1
n

I =
p1 =
p2 =
p3 =
.91.7.9.8
edcba
edcba
.8.9.5.7.5
edcba
.71.7.5.6
edcba
.9.8.7.5.8
(I, pa) = 1/n · Σ │μi
(I) - μi
(pa)│i = 1
n


  
   
  
CANDIDATOS
    
    
    
    

Características,
Cualidades y
Singularidades
 Jugador Ideal
      
Jugadores Candidatos
Subconjuntos Borrosos que describan:
.1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .90 1

I =
C1 =
C2 =
C3 =
Velocidad Goleador Regate Equipo Disparo
.8 .9 .7 1 .9
.5 .7 .5 .9 .8
.6 .5 .7 1 .7
.8 .5 .7 .8 .9

(I, C1) = (.3 + .2 + .2 + .1 + .1) / 5 = .18
I =
C1 =
.8 .9 .7 1 .9
.5 .7 .5 .9 .8
(I, C1) |.8 - .5| + |.9 - .7| + |.7 - .5| + |1 - .9| + |.9 - .8|
5
= ==
(I, C1) = .18

(I, C2) = (.2 + .4 + 0 + 0 + .2) / 5 = .16
I =
.8 .9 .7 1 .9
C2 = .71.7.5.6
DisparoEquipoRegateGoleadorVelocidad
(I, C2) = |.8 - .6| + |.9 - .5| + |.7 - .7| + |1 - 1| + |.9 - .7|
5
(I, C2) = .16

(I, C3) = (0 + .4 + 0 + .2 + 0) / 5 = .12
I =
.8 .9 .7 1 .9
C3 = .9.8.7.5.8
(I, C3) = |.8 - .8| + |.9 - .5| + |.7 - .7| + |1 - .8| + |.9 - .9|
5
(I, C3) = .12

(I, C1) = .18
(I, C2) = .16
(I, C3) = .12
C3 C2 C1
1ª Opción: C3
2ª Opción: C2
3ª Opción: C1

Velocidad
Goleador
Equipo
Regate
Disparo
w1 = .9
w2 = 1
w3 = .7
w4 = .8
w5 = .6
v1 =
wa
n
i = 1
wi
5
i = 1
wi = .9
+ 1
+ .7
+ .8
+ .6
4.0

Velocidad
Goleador
Equipo
Regate
Disparo
w1 = .9
w2 = 1
w3 = .7
w4 = .8
w5 = .6
v1 =
wa
n
i = 1
wi
5
i = 1
wi = 4.0

Velocidad
Goleador
Equipo
Regate
Disparo
w1 = .9
w2 = 1
w3 = .7
w4 = .8
w5 = .6
v1 =
.9
4.0

Velocidad
Goleador
Equipo
Regate
Disparo
w1 = .9
w2 = 1
w3 = .7
w4 = .8
w5 = .6
v1 = .225
v2 = .25
v3 = .175
v4 = .2
v5 = .15

I =
C1 =
.8 .9 .7 1 .9
.5 .7 .5 .9 .8
(I, C1) = ==.225
.25
.175
.2
.15
.225· |.8 - .5| + .25· |.9 - .7| +
+ .175· |.7 - .5| + .2· |1 - .9| +
+ .15· |.9 - .8|
(I, C1) = .0675 + .075 + .035 + .02 + .015

I =
C1 =
.8 .9 .7 1 .9
.5 .7 .5 .9 .8
(I, C1) = ==.225
.25
.175
.2
.15
.225· |.8 - .5| + .25· |.9 - .7| +
+ .175· |.7 - .5| + .2· |1 - .9| +
+ .15· |.9 - .8|
(I, C1) = .2125

I =
.8 .9 .7 1 .9
C2 = .71.7.5.6
+ .175· |.7 - .7| + .2· |1 - 1| +
+ .15· |.9 - .7|
.225
.25
.175
.2
.15
(I, C2) .225· |.8 - .6| + .25· |.9 - .5| +=
(I, C2) = .175

I =
.8 .9 .7 1 .9
C3 = .9.8.7.5.8
(I, C3) .225· |.8 - .8| + .25· |.9 - .5| +
+ .175· |.7 - .7| + .2· |1 - .8| +
+ .15· |.9 - .9|
.225
.25
.175
.2
.15
=
(I, C3) = .14

(I, C1) = .2125
(I, C2) = .175
(I, C3) = .14
C3 C2 C1
1ª Opción: C3
2ª Opción: C2
3ª Opción: C1

I =
.8 .9 .7 1 .9
C3 = .9.8.7.5.8
k (I C3) =
1 + .6 + 1 + .8 + 1
5
k (I C3) = .88

k (I C3) = .82
k (I C3) = .84
k (I C3) = .88
C3 C2 C1
1ª Opción: C3
2ª Opción: C2
3ª Opción: C1

(I, C4) = (.3 + .2 +.2 + .1 + .1) / 5 = .18
Distancia de Hamming
I = .91.7.9.8
C4 = 1.9.9.7.5

Características, Cualidades y Singularidades
Instinto Goleador
Espectacular
Agresivo
Técnico
Visión de Juego
.9
.6
.6
.8
.8
| I(x2) - C(x2)|
| I(x3) - C(x3)|
0 I(x1) - C(x1)
0 I(x4) - C(x4)
0 I(x5) - C(x5)

3 Candidatos:
Kluivert
Schevshenko
Vieri
I =
Golead. Espectac. Agresiv. Técnic. Vis.Jueg.
.9 .6 .6 .8 .8

 I = .8.8.6.6.9
Vis.Jueg.Técnic.Agresiv.Espectac.Golead.
K = .9.9.5.9.7
S = .7.5.8.5.9
V = .5.5.7.4.8

 I =
Golead. Espectac. Agresiv. Técnic. Vis.Jueg.
.9 .6 .6 .8 .8
K = .9.9.5.9.7
(I, K) = ( 0 .9 - .7 + |.6 - .9| + |.6 - .5| +
0 .8 - .9 + 0 .8 - .9 ) / 5 = .6/5

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