Matemática_Sem1.pdf

Semana 1
Semana 1
Matemática
Matemática

Anual Virtual ADUNI Matemática
Observación 1
En la adición de dos números enteros se
cumple lo siguiente:
• Si los signos son iguales se suman
los valores y el signo se mantiene.
• Si los signos son diferentes se restan
los valores y se coloca el signo del
mayor.
Observación 2
En la multiplicación de dos números
enteros, debemos seguir los siguientes
pasos:
I. Multiplicar los números sin conside-
rar los signos.
II. Aplicar la ley de signos.
(+) · (+)=(+) (+) · (-)=(-)
(-) · (-)=(+)
(-) · (+)=(-)
En la división de dos números enteros,
debemos seguir los siguientes pasos:
I. Dividir los números sin considerar
los signos.
II. Aplicar la ley de signos.
(+) ÷ (+)=(+)
(+) ÷ (-)=(-)
(-) ÷ (-)=(+)
(-) ÷ (+)=(-)
Observación
TEMA
01
Operaciones con enteros
OPERACIONES BÁSICAS CON NÚMEROS ENTEROS
Adición y sustracción
Ejemplo 1

- 4 - 5 = - 9
signos
iguales
Se mantiene
el signo.
Ejemplo 2

-
100 + 3 = - 97
signos
diferentes
Se mantiene el
signo del mayor
valor.
Multiplicación y división
Ejemplo 1
• (-
5)(-
7)=35
• (12)(7)=84
• (-3)(-2)=6
Ejemplo 2
• (-
28) ÷ (-
4)=7
• (-30) ÷ (6)= -
5
• (18)
÷ (-
2)= -
9

Academia ADUNI Material Didáctico
Práctica dirigida
1. Calcule el valor de A si
A= – 371+429

Respuesta: 58
2. Calcule el valor de M.
M=(–7)(–11)(–13)
Respuesta: –1001
3. Calcule el valor de Q si
Q=–1073 ÷ 29
Respuesta: –37
4. Si
A= – 10 – (– 9)
B=–(– 39)÷13
Calcule A+B
Respuesta: 2
5. Efectúe
3 6 5 2 36 4
2 2
− × + − ÷
Respuesta: –28
6. Reduzca la siguiente expresión:
32 2 6 5 4
4 3
− −
( ) + × −
( ) − −
( )
Respuesta: 50
7. Cacule C, si
C = − × + −
( )

 
 + −
( ) ×
7 2 3 6 8 49
2 2 3

Respuesta: – 31
8. Calcule D, si
D = −
( ) × −
( ) + + −
( )×
10 4 24 7 3 2
3 2 4

Respuesta: –28
9. Tenemos A=72, B=120. Encontrar el valor de:
MCM(A; B) – MCD(A; B)
Respuesta: 336
10. Si M=180, N=210. Encontrar el valor de:
MCM(M; N)/ MCD(M; N)
Respuesta: 42
Práctica domiciliaria
1. Calcule B= – 712+328
A) – 314 B) – 384 C) –348
D) 382 E) 383
2. Calcule M = (– 5)(– 17)(– 29)
A) – 2465 B) 265 C) 2062
D) 3042 E) 3043
3. Calcule R=(4107) ÷ (37)
A) 11 B) 111 C) 101
D) 117 E) 118
4. Halle el valor de K
K= – 13 –(–12) – 50
A) 49 B) –49 C) – 75
D) – 51 E) – 52
5. Efectúe
− × + − ÷
7 4 2 48 12
5
A) 2 B) – 4 C) 4
D) 0 E) 3
6. Calcule el valor de M
M = × + − − ÷
18 2 125 36 2
3 2
A) –6 B) –8 C) 8
D) 6 E) 5

01 - B
02 - A
03 - B
04 - D
05 - D
06 - B
07 - B
08 - A
09 - B
10 - B
7. Calcule el valor de N.
N = − + −
( )÷ −





 +
40 4 2 17 2 1
1
3
0 5
2 3
,
A) 22 B) 23 C) –23
D) 45/2 E) 25
8. Efectúe la siguiente expresión:
5 3 2 3 3
2 4 2
− −
( ) + −
( ) − −
( )
A) –71 B) 72 C) 51
D) –111 E) 78
9. Halle el valor de
MCM(36; 60) +MCD(36; 60)
A) 240 B) 192 C) 180
D) 120 E) 252
MCM(90; 75) / MCD(90; 75)
A) 30 B) 15 D) 20
D) 25 E) 45

Material Didáctico
Academia ADUNI
TEMA
02
Al sumar o restar un número entero con
una fracción
a
b
c
a c b
c
± =
× ±
Ejemplos
• 6
1
4
6 4 1
4
24 1
4
25
4
+ =
× +
=
+
=
• 3
2
5
3 5 2
5
15 2
5
13
5
− =
× −
=
−
=
¡Tenga en cuenta que...!
• Al dividir fracciones también se pue-
de aplicar lo siguiente:

a
b
c
d
a
b
c
d
÷ = =
a×d
b×c
Ejemplo

12
8
9
15
12
8
9
15
12 15
8 9
5
2
5
3
2
÷ = =
×
×
=
3
• Al sumar o restar fracciones también
se puede calcular sacando el MCM
de los denominadores.
Ejemplo

3
8
7
6
3 3 7 4
24
37
24
+ =
× + ×
=

MCM (8; 6)
Observación
Operaciones con fracciones
Ejemplos
•
3
7
5
7
3 5
7
8
7
+ =
+
=
•
4
9
3
9
5
9
4 3 5
9
2
9
+ − =
+ −
=
•
2
3
1
5
2 5 3 1
3 5
10 3
15
7
15
− =
× − ×
×
=
−
=
•
4
7
3
2
4 2 7 3
7 2
8 21
14
13
14
13
14
− =
× − ×
×
=
−
=
−
= −
Multiplicación
Ejemplos
•
3
8
2
5
3 2
8 5
3
20
1
4
× =
×
×
=
• 7
9
4
7
1
9
4
7 9
4
63
4
× = × =
×
=
División
Ejemplos
•
se invierte
6
8
10
5
6
8
5
10
6 5
8 10
3
8
÷ = × =
×
×
=
• 12
2
5
12
5
2
12
1
5
2
12 5
1 2
30
÷ = × = × =
×
×
=
se invierte

Práctica dirigida
1. Halle el valor de K si
K = +
3
4
1
7
Respuesta: 25/28
2. Calcule el valor de M si
M =
−
+ −
1
2
1
4
1
8
Respuesta: –3/8
3. Calcule el valor de R si
R =
× ×
× ×
14 64 810
270 128 42
Respuesta: 1/2
4. Calcule el valor de A si
A = ÷
39
60
13
480
Respuesta: 24
5. Calcule el valor de P si
P = +
3
5
7
Respuesta: 26/7
6. Calcule el valor de Q si
Q = − +
2 1
1
5
Respuesta: –4/5
R = −
( ) ÷ −






5 2
1
3
Respuesta: 15/7
R =
−






−






( )
169
2
13
1
26
Respuesta: 1
1. Calcule
M = − + +
3
2
1
33
2
4
A) -
32
33
B)
32
33
C)
-
1
32
D) -
1
33
E)
32
31
2. Calcule
A = − − −
1
2
1
3
1
6
A) 1 B) – 1 C) – 2
D) 2 E) – 4
3. Calcule el valor de T.
T =
−
× ×
13
91
13
52
81
162
A) -
1
56
B) -
1
16
C)
1
56
D)
2
7
E) 1

01 - A 02 - B 03 - A 04 - B 05 - A 06 - B 07 - A 08 - E
4. Calcule
Q =
−





 ÷






16
64
39
13
A) 12 B) -
1
12
C)
1
5
D) 144 E) 100
5. Halle el valor de N
N = −
4
1
17
A)
67
17
B)
3
17
C)
1
17
D)
-67
17
E)
2
5
6. Calcule el valor de M
M = − +
1 1
2
5
A) -
2
5
B)
2
5
C)
3
7
D)
1
2
E)
1
3
7. Encuentre el valor de

1
2
2
3
3
2
2
3
+
−
A)
7
5
B)
7
3
C)
7
2
D)
3
5
E)
2
5
8. Calcule el valor de
1
1
2
1
1
3
1
1
4
1
1
5
1
1
6
+





 +





 +





 +





 +






A)
9
2

B)
11
3

C) 7
D) 5
E)
7
2

TEMA
03
Operaciones con decimales
Adición
Ejemplo
Calcule 4,352+17,910
Se desarrolla en forma vertical, alineando las co-
mas decimales.
4 , 3 5 2
1 7 , 9 1 0
2 2 , 2 6 2
+
Sustracción
Ejemplo
Calcule 3,241 – 1,857
Se desarrolla en forma vertical, alineando las co-
mas decimales.
–
3 , 2 4 1
1 , 8 5 7
1 , 3 8 4
Multiplicación
Ejemplo
Calcule 3,102 × 2,16
3 , 1 0 2
2 , 1 6
1 8 6 1 2
3 1 0 2
6 2 0 4
6,7 0 0 3 2
×
+
División
Ejemplo
Calcule 1,28 ÷ 0,8
Se multiplican a ambos miembros de la división
por una misma potencia de 10, tal que ambos se
vuelvan enteros y luego se realiza la división.
1,28 1,28×100
0,8 0,8×100
128
128
- - -
80
1,6
FRACCIÓN GENERATRIZ
Es la fracción irreductible que genera a dicho nú-
mero decimal.
Decimal exacto
2 36
236
100
59
25
,
= =
Decimal periódico puro
0 12
12
99
4
33
,

= =
Decimal periódico mixto
0 234
234 2
990
232
990
116
495
,

=
−
= =

Práctica dirigida
1. Calcule el valor de:
1,345 + 21,782 – 8,641
Respuesta: 14,486
2. Isabel lleva al mercado 100 soles, en el puesto
de abarrotes compra 5 kg de arroz y 6 kg de
azúcar. Si 1kg de arroz cuesta 4,20 soles y 1 kg
de azúcar cuesta 3.80 soles. ¿Cuánto de vuelto
debe recibir Isabel?
Respuesta: 56,20 soles
3. Esther compra una papaya cuyo peso es
5,42 
kg. Si el kilogramo de papaya cuesta
3,50 soles. ¿Cuánto tuvo que pagar Esther por
su compra?
4. Carlos observa que por comprar media do-
cena de grated de atún le costó 25,80 soles.
¿Cuánto es el costo de 1 grated de atún?
5. Álvaro al comprar una piña Golden paga en to-
tal S/9,50, si 1 kg de piña Golden cuesta S/2,50.
¿Cuánto pesó la piña que compró?
Respuesta: 3,80 kg
6. Encuentre el valor de:

0 2 0 3 0 4 0 5
0 2 0 3 0 4 0 5
, , , ,
, , , ,
+ + +
+ + +
   
Respuesta:
9
10
7. Halle el valor de:

1 2 2 3 3 4
0 12 0 23 0 34
, , ,
, , ,
  
  
+ +
+ +
Respuesta: 10
0 5 0 6 0 75 0 8 0 83
, , , , ,
( )( )( )( )( )
 
Respuesta:
1
6
4,361+15,47 – 7,257
A) 12,754 B) 11,457 C) 12,574
D) 11,574 E) 12,547
2. Eduardo compra para su familia 25 panes y 2
tarros de leche evaporada, el costo de cada
pan es S/0,17 y el de cada tarro de leche es
S/3,80. ¿Cuánto gastó en total Eduardo?
A) S/10,85 B) S/11,58 C) S/11,80
D) S/11,85 E) S/10,58
3. Percy compra un molde de queso cuyo peso es
3,6 kg, además un kilogramo de queso cuesta
S/11,25. ¿Cuánto recibe de vuelto si paga con
un billete de S/50,00?
A) S/9,5 B) S/8,5 C) S/9,75
D) S/8,75 E) S/9,4

01 - C 02 - D 03 - A 04 - E 05 - C 06 - D 07 - B 08 - D
4. Miguel al comprar 4,5 kg de papa pagó en total
S/5,40. ¿Cuánto cuesta un kilogramo de papa?
A) S/1,25 B) S/1,30 C) S/1,40
D) S/1,15 E) S/1,20
5. Ángela compra una plancha de huevos que le
costó en total S/24,96, si un kilogramo de hue-
vos cuesta S/5.20. ¿Cuánto peso tenía la plan-
cha de huevos?
A) 4,75 kg B) 4,6 kg C) 4,8 kg
D) 4,7 kg E) 4,85 kg
M =
+ + +
+ + +
0 1 0 2 0 3 0 4
11 2 2 3 3 4 4
, , , ,
, , , ,
   
A) 0,1 B) 0,19 C) 0,11
D) 0,09 E) 0,9
J =
+ +
+ +
1 3 3 5 5 7
112 1 23 1 34
, , ,
, , ,
  
  
A)
32
11
B)
320
111
C)
20
11
D)
321
111
E)
230
111
1 5 1 3 1 25 1 2 116
, , , , ,
( )( )( )( )( )
 
A) 4 B)
5
2
C)
7
3
D)
7
2
E)
5
3

TEMA
04
Sumas notables
Suma de naturales
1 2 3
1
2
+ + + + =
+
( )
... n
n n
Suma de pares
2+4+6+...+2n=n(n+1)
Suma de impares
1+3+5+...+(2n – 1)= n2
Suma de inversos binarios

1
1 2
1
2 3
1
3 4
1
1 1
. . .
...
+ + + +
+
( )
=
+
n n
n
n

01 - A 02 - D 03 - B 04 - E 05 - A 06 - D
Práctica dirigida
1. Calcule el valor de M si
M=1+2+3+4+ ... +100
Respuesta: 5050
2. Juan Carlos cada día ahorra un sol más que el
día anterior. Si el 1.º de febrero del 2020 ahorró
S/1, ¿cuánto ahorrará en total en el mes de fe-
brero de dicho año?
Respuesta: S/435
3. Siendo:
A=1+3+5+...+21
B=2+4+6+...+22
Encuentre el valor de B – A
Respuesta: 11
4. Calcule el valor de la suma:
J=0,1+0,2+0,3+0,4+ ... +2
Respuesta: 21

1
12
1
20
1
30
1
42
1
56
1
72
+ + + + +
Respuesta:
2
9

2
3
2
15
2
35
2
63
+ + +
Respuesta:
8
9
1. Calcule
M=1+2+3+ ... +60
A) 1830 B) 1080 C) 1038
D) 8310 E) 8320
2. Susanita ahorra cada día un sol más que el día
anterior. Si el 1.º de julio del presente año aho-
rrará un sol, ¿cuánto ahorrará en total en dicho
mes?
A) S/495 B) S/498 C) S/494
D) S/496 E) S/600
3. Si:
1+3+5+7+ ... +(2n – 1)=576
Además
2+4+6+ ... +(2m)=420
Encuentre el valor de m+n
A) 45 B) 44 C) 43
D) 40 E) 41
4. Calcule el valor de
M = + + + +
0 1 0 2 0 3 0 9
, , , ... ,
   
A) 5,1 B) 4,5 C) 4,9
B) 4 E) 5
Y = + + + +
1
2
1
6
1
12
1
20
1
30
A)
5
6
B)
6
5
C)
7
6
D)
8
7
E)
4
5
6. Encuentre el valor de

N = + + + +
2
3
2
8
2
15
2
24
2
35
A)
21
25
B)
21
20
C)
20
21
D)
25
21
E)
24
25

Material Didáctico
Academia ADUNI
TEMA
05
Hay expresiones a las cuales podemos
darles forma de diferencia de cuadra-
dos, por ejemplo:
• 36 – x2
=62
– x2
=(6+x)(6 – x)
• 9 – 4m2
=32
– (2m)2
=(3+2m)(3 – 2m)
• 252
– 242
=(25+24)(25 – 24)
=(49)(1)
=49
Introducción a los productos notables
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

(a+b)2
=a2
+2(a)(b)+b2
Ejemplos
• (m+2)2
=m2
+2(m)(2)+22
=m2
+4m+4
• 2 2 2 2 4 4
2 2 2 2 2
x y x x y y x xy y
+
( ) = ( ) + ( )( )+ = + +
• 3 2 3 2 3 2 2
2 2 2
+
( ) = ( ) + ( )( )+ ( )

= + +
= +
3 2 6 2
5 2 6
Desarrolle cada una de las siguientes expresiones:
• (a+4)2
= ...................................................................
• (2m+l)2
= ...................................................................
• (1+3b)2
= ...................................................................
(a-b)2
=a2
- 2(a)(b)+b2
Ejemplos
• −
( ) = − ( )( )+ = − +
• −
( ) = − ( )( ) + = −
x y x x y y x xy y
a a a a a
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 2 1 1 2 +
+
• −
( ) = − ( )( ) + = − +
1
5 2 5 5 10 25
2 2 2 2
m m m m m
Desarrolle cada una de las siguientes expresiones:
• (x – 3)2
= ....................................................................
• (R – 1)2
= ...................................................................
• (6 – a)2
= ...................................................................
DIFERENCIA DE CUADRADOS
(a+b)(a - b)=a2
- b2
Ejemplos
• +
( ) −
( ) = − = −
• +
( ) −
( ) = ( ) − = −
• +
( )
5 5 5 25
2 3 2 3 2 3 4 9
6 2 6
2 2 2
2 2 2
x x x x
x x x x
−
−
( ) = ( ) − ( ) = − =
2 6 2 6 2 4
2 2

Efectúe las siguientes expresiones:
• (m+2)(m - 2) = ................................................
• (a+6)(a - 6) = ................................................
• (2x+y)(2x - y) = ................................................

Práctica dirigida
1. Desarrolle la expresión
ax by
−
( )2
Respuesta: a2
x2
+b2
y2
– 2axby
2. Calcule
E=712
– 692
Respuesta: 280
3. Calcule
M=(2019)2
– (2018)2
Respuesta: 4037
4. Reduzca
E =
+
+
( )
22 12 2
3 2
2
Respuesta: 2
5. Si a b
+ = 3 y ab=1,
calcule a+b.
Respuesta: 7
6. Efectúe la expresión
x
x
+





 −
1
2
2
Respuesta:
x
x
4
2
1
+
7. Calcule

3
5
5
3
2
+






Respuesta: 64
15
8. Efectúe
J
a b a b
=
−
−
+
1 1
Respuesta:
2
2 2
b
a b
-
1. Desarrolle la expresión

a b
2 3
2
+






A)
a b ab
2 2
2 3 6
+ +
B)
a b ab
2 2
9 4 3
+ +
C)
a b
ab
2 2
9 4
2
+ +
D)
a b
ab
2 2
4 9
3
+ +
E)
a b ab
2 2
4 9 3
+ +
2. Calcule
6 2
2
+
( )
A) 4 8 3
+
B) 4 6 3
+
C) 8 4 3
+
D) 8 6 3
+
E) 8 2 3
+
3. Reduzca la expresión
(a+1)2
– (a – 1)2
A) 8a B) 4a C) 2a
D) 6a E) 12a

01 - E 02 - C 03 - B 04 - A 05 - B 06 - A 07 - B 08 - C
4. Calcule

M =
+
+
( )
2 3
1 3
2
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/5
D) 2/3 E) 1/9
(x+3y)2
– (3y – x)2
A) 6xy B) 12xy C) 10xy
D) 9xy E) 14xy
6. Opere

1
2 2
2 2
a b a b
+
( ) + −
( )
A)
1
2 4
2 2
a b
+
( )
B)
1
3
2 2
a b
+
C)
3
4
2 2
a b
+
D)
3
2 4
2 2
a b
+
( )
E)
3
2 2 3
2 2
a b
+
( )
7. Efectúe la expresión
E=(2x+1)(2x–1)
A) 4x2
+1
B) 4x2
–1
C) 4x2
+4
D)
2 16 55
2
x x
+ +
E) 4x2
+4x+1
8. Reduzca la siguiente expresión:
E x y x y x y y
= −
( ) +
( ) +
( )+
2 2 4
A)
x2
B)
x y
- C)
x4
D)
xy E)
x2
+y2

TEMA
06
• = × =
• = × × =
• − = − − =
• − = − × × = −
3 3 3 9
2 2 2 2 8
5 5 5 25
4 4 4 4 64
2
3
2
3
( ) ( )( )
Además
• 9 = 3 porque 32
=9
• − −
8 = 2
3
porque ( 2) = 8
3
− −
a b a b
× = ×
Ejemplos
•
•
18 = 9× 2
18 = 9 × 2
18 = 3× 2
18 = 3 2
27 = 9× 3
27 = 9 × 3
27 = 3× 3
27 = 3 3
m
n
m
n
= ; n ≠ 0
Ejemplos
•
• = =
4
9
=
4
9
=
2
3
3
4
3
4
3
2
¡Sabía que...!
Operaciones con radicales y racionalización
Ejemplos
• 3 2 2 2 5 2
+ =
• 5 3 3 3 2 3
− =
• ( )
10 7 3 7 5 7 12 7
− + =
Multiplicación
Ejemplos



3 2 3 2 6
2 18 2 18 36 6
2 7 3 5 2 3 7 5 6 35
× = × =
× = × = =
× = × × =
División
Ejemplos
• ÷ = = =
• ÷ −
( )=
−
=
−
=
−
= −
• − ÷ −
( )=
−
3 5 2 5
3 5
2 5
3 5
2 5
3
2
8 2 8
8 2
8
8 2
2 2
8 2
2 2
4
3 27
3
3
27
3
3 3
1 3
3 3
1
3
−
= =
×
=

Práctica dirigida
1. Calcule el valor de S, si
S = − +
8 3 2
Respuesta: 2
2. Se tiene un terreno rectangular cuyo largo
mide 98 m y cuyo ancho mide 32 m.
Calcule el perímetro del terreno.
Respuesta: 22 2 m
R = −
5 45
3
Respuesta: 2 5
4. Halle el valor de N si
N = ÷
5 5 20
Respuesta: 5/2
5. Racionalice el denominador en cada fracción
y encuentre su equivalente
a.
1
2
Respuesta:
2
2
b.
3
6
Respuesta:
6
2
c.
5
10
Respuesta:
10
2
d.
8
12
Respuesta:
4 3
3
6. Encuentre el valor reducido de

1
2 1
1
3 2
1
2 3
+
+
+
+
+
Respuesta: 1
7. Reducir

1
2 1
1
3 2
2
5 3
4
3 5
+
+
+
+
+
+
+
Respuesta: 2
A = +
18 50
A) 3 2 B)
5 2 C)
15 2
D) 8 2 E)
2
2. Se tiene un terreno triangular cuyos lados miden
5 3 m, 2 12 m y 27 m. Calcule el perímetro
del terreno.
A) 4 3 m B)
2 3 m C)
3 m
D) 12 3 m E) 3 m
3. Calcule el valor de K
K = −
3 27
3
A) 3 B)
- 3 C) 0
D) -1 E) 3

01 - D 02 - D 03 - C 04 - C 05 - E 06 - C 07 - C
4. Calcule el valor de P
P = − ÷
5 7 175
A) 0 B) 1 C) -1
D) 4 E) 2
5. Racionalice el denominador en cada fracción
y encuentre su equivalente
I.
1
3
II.
4
10
III.
10
15
A)
3
3
10
4
15
10
; ;
B)
3
3
10
2
2 15
3
; ;
C)
3
3
10
5
15
3
; ;
D)
3
3
2 10
5
15
3
; ;
E)
3
3
2 10
5
2 15
3
; ;
6. Encuentre el valor reducido de

1
2 1
1
3 2
1
2 3
−
−
−
+
−
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 3,5
7. Reducir
1
2 1
2
2 4
3
4 7
4
7 11
5
11 16
+
+
+
+
+
+
+
+
+
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 3,5

Material Didáctico
Academia ADUNI
TEMA
07
Para resolver una ecuación lineal segui-
remos el siguiente procedimiento:
1. Eliminamos todos los tipos de signos
de agrupación que haya, comenzan-
do por el más interno, resolviendo las
operaciones indicadas.
2.
Eliminaremos los denominadores
si los hay, multiplicando en ambos
lados de la ecuación por el míni-
mo común múltiplo (MCM) de los
denominadores.
3. Agrupar las expresiones con la in-
cógnita x en el primer miembro de la
ecuación y las expresiones numéricas
en el otro miembro.
4. Efectuamos las operaciones que son
necesarias para simplificar términos.
5. Despejamos la incógnita para obtener
la solución.
6. Finalmente se escribe el conjunto
solución.
El conjunto solución (CS) es un conjunto
formado por todas las soluciones de la
ecuación.
¡Recuerde que...!
Introducción a la resolución de ecuaciones
Llamada también ecuación polinomial de primer grado, cuya for-
ma general es:
Ax + B = 0
donde
• A ≠ 0 • x: incógnita
Ejemplo 1
Resuelva
2
3
1
2 2
3
x x
+ = +
Resolución
Eliminamos denominadores multiplicando por el MCM (3; 2)=6.
→ +





 = +






6
2
3
1
2
6
2
3
x x
Efectuando, tenemos
4x+3=3x+18
Agrupamos términos.
4x – 3x=18 – 3
x=15
C.S.={15}
Ejemplo 2
Resuelva
3 1
2
2 3
3
2 3 2 1
x x
x
+
+
+
= +
( ) +
Resolución
Eliminamos paréntesis

3 1
2
2 3
3
6 4 1
x x
x
+
+
+
= + +
Eliminamos denominadores, multiplicando por el MCM(2; 3)=6.
→
+





 +
+





 = +
( )
6
3 1
2
6
2 3
3
6 6 5
x x
x
3(3x+1)+2(2x+3)=36x+30
Efectuando, tenemos:
9x + 3 + 4x + 6 = 36x + 30
Agrupamos términos
9x + 4x – 36x = 30 – 3 – 6
Efectuando, tenemos:
–23x = 21
Despejando x, tenemos
x = −
21
23
∴ = −






CS
21
23

Ecuación cuadrática de la forma
Ax2
+ C = 0; A ≠ 0
Ejemplo
Resuelva la ecuación 7x2
–14=0.
Resolución
7 14 0
7 2 0
2 0
2 0
2 2 0
2 2
2
2
2
2
2 2
x
x
x
x
x x
x x
− =
−
( ) =
− =
− ( ) =
+
( ) −
( ) =
= − ∨ =
∴ = −
CS ;
; 2
{ }
Ecuación cuadrática de la forma
Ax2
+ Bx = 0; A ≠ 0
Ejemplo
Resuelva la ecuación 4x2
+32x=0.
Resolución
4 32 0
4 8 0
8 0
0 8
8 0
2
x x
x x
x x
x x
+ =
+
( ) =
+
( ) =
= ∨ = −
∴ = −
{ }
CS ,
ECUACIÓN CUADRÁTICA
Llamada también ecuación polinomial de segundo grado, cuya
forma general es
Ax2
+Bx+C=0
donde
• A ≠ 0
• x: incógnita
RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA
Resolver una ecuación cuadrática consiste en hallar su conjunto
solución (C.S.)
Método del aspa simple
Ejemplos
1. Resuelva la ecuación
3 10 0
2
x x
+ − =
Resolución

3 10 0
−5
2
3 5 2 0
3 5 0 2 0
5
3
2
x x
3x
x
x x
x x
x x=−2
+ − =
−
( ) +
( ) =
− =∨ + =
= ∨
CS= −
{ }
2
5
3
;
x x
2 7
6
1
3
0
− + =
Resolución

x x
2 7
6
1
3
0
− + =
Multiplicamos por el MCM(6; 3)=6.

6 7 2 0
3 −2
−1
2
3 2 2 1 0
2
3
1
2
2
x x
x
x
x x
C S
− + 
− − 

∴
( )( )
. . 






1
2
2
3

x x
= ∨ =
2
3
1
2
CS=
1
2
2
3
;
{ }

Práctica dirigida
x + 3(x – 1) = 6 – 4(2x + 3)
Respuesta: −






1
4
16x – [3x – (6 – 9x)]=46
Respuesta: {10}

3
2
1
4
2
3
4 3
x x x
+ + = −
Respuesta: −






27
13
(x – 2)2
– (x – 3)2
= 1
Respuesta: {3}
5. Se ha comprado un coche, un caballo y sus
arreos por S/35 000. El coche costó el triple de
los arreos y el caballo el doble de los que cues-
ta el coche. Halle el costo del caballo.
Respuesta: S/21 000
4 28 49 0
2
x x
− + =
Respuesta:
7
2
{ }
2 3 3 2 4
x x
−
( ) −
( ) =
Respuesta:
1
6
2
;







x
x
2
2
9
4
15
12
+ =
Respuesta: −






5
1
2
;
9. Calcule la solución común de las ecuaciones
3 6
2
x x
= y 3 2 3 2 32
x x
+
( ) −
( ) =
Respuesta: 2
10. El grupo de danza folklórica de una comunidad
va a participar en un concurso regional, no co-
noce el salón en el que se llevará a cabo la com-
petencia, pero requiere saber cuales son sus di-
mensiones para armar su coreografía. La única
persona del grupo que conoce el salón informa
que existe una pista de baile cuya área es de 70
m2
y en la cual el largo mide 3 m más que el an-
cho. ¿Cuánto mide el largo de la pista de baile?
Respuesta: 10 m
3x + 4= 19
A) {2} B) {3} C) {4}
D) {5} E) {1}
2. Calcule el valor de y en la siguiente ecuación:
2(y – 1) + 3(y – 2) = 4(y – 3)
A) –4 B) –3 C) 3
D) 4 E) 5

01 - D
02 - A
03 - D
04 - C
05 - C
06 - C
07 - A
08 - B
09 - C
10 - D
3. El valor de x que verifica la ecuación:

x x
−
+
+
=
1
2
1
3
1
A)
3
5
B)
4
5
C)
6
5
D)
7
5
E)
8
5
4. Halle el valor de Z en la ecuación

Z Z Z
−
−
−
=
−
2
2
3
3
1
4
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
5. ¿Qué edad tengo actualmente, si dentro de 8
años tendré el doble de la edad que tuve hace
4 años?
A) 12 años B) 15 años C) 16 años
D) 18 años E) 17 años
x2
4 0
− =
A) {–2} B) {2} C) {–2; 2}
D) {–4; 4} E) {7}
4 24 0
2
y y
+ =
A) {0; – 6} B) {0} C) {– 6}
D) {0; 6} E) {10}
x x
2
6 0
− − =
A) {– 2; –1} B) {– 2; 3} C) {– 2; 4}
D) {3; 4} E) {5; 4}
9. Determine el conjunto solución de
T
T
2 1
2
0
−
+





 =
A) {–1; 1} B) −






1
2
1
2
; C)
−






1
2
1
;
D) −






1
2
2
; E)
5
4
5
;






10. Un lienzo tiene las dimensiones de 3 m de
largo y 2 m de ancho. ¿Cuál debe ser el ancho
del marco para que el área de la región rectan-
gular sea 12 m2
?

2
x
x
3
A)
1
16
m B)
1
8
m C)
1
4
m
D)
1
2
m E)
1
3
m

Material Didáctico
Academia ADUNI
TEMA
08
Para resolver un sistema de dos ecuacio-
nes lineales de dos incógnitas hay dife-
rentes métodos, entre ellos el método de
sustitución, igualación y el método de
eliminación.
El método a utilizar para resolver el sis-
tema de dos ecuaciones lineales de dos
incógnitas depende del tipo de ejemplo,
aplicación o problema, pero el común-
mente utilizado es el método de elimina-
ción de incógnitas.
¡Sabía que...!
Si te piden resolver un sistema de dos
ecuaciones lineales con dos incógnitas
tienes que hallar el conjunto solución
del sistema (CS).
Resolución de sistemas de
ecuaciones de orden 2 × 2
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Ejemplos de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas.
•
+ =
− =



•
+ =
+ =



•
+ =
+ =






x y
x y
x y
x y
x y
x y
7
3
4 3 15
6 5 23
4
3
2
5
5
3
4
5 3


Ejemplo 1
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:
4 3 15
6 5 23
x y
x y
+ =
+ =



Resolución
Para resolver este sistema de dos ecuaciones lineales de incógnitas
x e y, una forma es utilizar el método de eliminación de incógni-
tas. Es decir
Sea
4x + 3y=15 (I)
6x + 5y=23 (II)
Eliminemos la incógnita x, para ello calculamos el mínimo común
múltiplo (MCM) de los coeficientes de x de las ecuaciones (I) y (II).
Luego debemos hacer que los coeficientes de x en ambas ecua-
ciones sea 12 (MCM de 4 y 6), para ello multiplicamos a la primera
ecuación por 3 y la segunda ecuación por 2, es decir
(4x + 3y) ⋅ 3=15 × 3
(6x + 5y) ⋅ 2=23 × 2
Operando tenemos

12 10 46
12 9 45
1
x y
x y
y
+ =
+ =
→ =
(–)

Cuando tenga que resolver este sistema
de ecuaciones
x y
x y
+ =
− =



7
3
una forma es eliminar una de las incóg-
nitas, para ello sumamos las expresiones
de ambas ecuaciones del sistema:
+ =
− =
=
→ =
7
3
2 10
5
x y
x y
x
x
+
Finalmente reemplazamos el valor de x
en una de las ecuaciones iniciales, por
ejemplo vamos a reemplazar el valor de
x en la ecuación
x + y =7
5
+ y =7
→ y = 2
∴ CS={(5; 2)}
Finalmente reemplazamos el valor de y en una las ecuaciones ini-
ciales, por ejemplo en la ecuación (I)
4x + 3(1) = 15
→ x = 3
Entonces los valores de x e y que verifican esas dos ecuaciones
simultáneamente son 3 y 1, respectivamente.
∴ CS={(3;1)}
Ejemplo 2

5 2 19
5 13
x y
x y

Resolución
x e y, una forma es utilizar el método de sustitución. Es decir
Sea
5x + 2y=19 (I)
x + 5y=13 (II)
Elegimos la incógnita a despejar, por la forma del sistema nos con-
viene despejar la incógnita x de la ecuación (II).
x+5y=13
x=13 – 5y (III)
Ahora reemplazamos la incógnita despejada x en la ecuación (I).
5(13 – 5y)+2y=19
→ y=2
Luego reemplazamos el valor de y en la ecuación (III).
x=13 – 5(2)
→ x=3
Entonces los valores de x e y que verifican esas dos ecuaciones
lineales simultáneamente son 3 y 2, respectivamente.
∴ C.S.={(3; 2)}

Material Didáctico
Academia ADUNI
Cuando tengas que resolver este sistema
de ecuaciones

3 19
2 6
x y
x y
+ =
− =



Una forma es eliminar una de las incógni-
tas, para ello sumamos las expresiones de
ambas ecuaciones del sistema:

+
+ =
− =
=
→ =
3 19
2 6
5 25
5
x y
x y
x
x
Finalmente reemplazamos el valor de x
en una de las ecuaciones iniciales, por
ejemplo vamos a reemplazar el valor de
x en la ecuación
2x – y=6
2(5) – y=6
→ y=4
∴ CS={(5; 4)}
Observación
Ejemplo 3

7 3 37
3 2 6
x y
x y
+ =
− =



Resolución
x e y, una forma es utilizar el método de igualación.
Sea
7x+3y = 37 (I)
3x – 2y = 6 (II)
De las ecuaciones (I) y (II), despejamos una incógnita x o y, se-
gún sea conveniente, en este caso vamos a despejar y de ambas
ecuaciones.
De la ecuación (I), se obtiene
y
x
=
−
37 7
3
(III)
De la ecuación (II), se obtiene
y
x
=
−
3 6
2
(IV)
Ahora igualamos la expresiones que se observan en (III) y (IV).

37 7
3
3 6
2
−
=
−
x x
→ x=4
Luego reemplazamos el valor de x, en la ecuación (III).
y =
− ( )
37 7 4
3
→ y=3
Por lo tanto los valores de x e y que verifican esas dos ecuaciones
lineales simultáneamente son 4 y 3, respectivamente.
∴ CS={(4; 3)}

01 - D 02 - D 03 - C 04 - C
A) 6 y 2 respectivamente
B) 5 y 3 respectivamente
C) – 6 y 3 respectivamente
D) 6 y 3 respectivamente
E) 7 y 3 respectivamente
2. Sea el sistema de ecuaciones

x y
x y
+ =
+ =



9 13
3 11 7
Calcule los valores de x e y que verifican dicho
sistema de ecuaciones.
A) 5 y 2 respectivamente
B) 5 y – 2 respectivamente
C) – 5 y – 2 respectivamente
D) – 5 y 2 respectivamente
E) – 4 y 2 respectivamente
3. Si el doble de la cantidad de dinero que tie-
ne Sayuri, aumentado en S/50 es igual a cinco
veces la cantidad de dinero que tiene Marcos,
además juntos tienen en total S/178. ¿Cuánto
dinero tiene Marcos?
A) S/200
B) S/120
C) S/58
D) S/50
E) S/85
4. Teófila tiene en su monedero solo monedas
de 2 soles y de 5 soles, contando dispone de
38 soles, además se percató que el número de
monedas de 2 soles que hay en su monedero
es menor en dos unidades que el número de
monedas de 5 soles que hay en su monedero.
¿Cuántas monedas de 5 soles hay en el mone-
dero de Teófila?
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
Práctica dirigida

4 3 11
5 2 31
x y
x y
− =
+ =



Respuesta: x=5; y=3
2. Sea el sistema de ecuaciones:

7 58
5 3 34
x y
x y
− =
+ =



Respuesta: x=8; y=– 2
3. Marcos entregó a sus hijos Nicolás y Matías
diferentes cantidades de dinero, se da cuen-
ta que si suma dichas cantidades resulta 240
soles, sin embargo si resta dichas cantidades
resulta 160 soles. Si Marcos entregó una ma-
yor cantidad de dinero a Nicolás que a Matías,
¿cuánto le correspondió a Matías?
Respuesta: S/40
4. Si sumamos el doble de la edad de Brissa y el
triple de la edad de Kiara resulta 49 años, ade-
más Kiara es mayor a Brissa en 3 años. ¿Cuán-
tos años tiene Brissa?
Respuesta: 8

8 3 57
3 2 12
x y
x y
+ =
− =




Material Didáctico
Academia ADUNI
TEMA
09
Un ángulo de 90° se representa con un
pequeño cuadradito en su vértice.
θ
α
q + a = 90°
donde q y a son ángulos agudos.
¡Sabía que...!
Triángulos rectángulos
En todo triángulo rectángulo, la
suma de cuadrados de las longitu-
des de sus catetos, es igual al
cuadrado de la longitud de su
hipotenusa.
a2
+b2
=c2
Uno de sus ángulos interiores mide 90°.
a b
c
a c
b c
Catetos
Son los lados del
triángulo de menor
longitud.
Teorema de Pitágoras
Hipotenusa
Es el lado del triángulo
de mayor longitud.
a; b: catetos c: hipotenusa

En la figura mostrada
B
c
a
b
C
A
se cumple que
b c a c a
= +
( ) −
( )
Observación
Ejemplo 1
Calcule x en el triángulo rectángulo mostrado.

A
B C
x
3
7
Resolución
Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos
3 7
9 49
58
58
2 2 2
2
2
+ =
+ =
=
∴ =
x
x
x
x
Ejemplo 2
Calcule m en el triángulo rectángulo mostrado.
15
21
A
C
B
m
Resolución
Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos
m2 2 2
15 21
+ ( ) = ( )
m2
+15=21
m2
=6
m = 6

Material Didáctico
Academia ADUNI
Los lados del triángulo notable pueden
tener cualquier longitud.
Ejemplo
Calcule x.
7
30°
x
Resolución
Usamos
30°
2k
k
3
k
De los gráficos, tenemos
• = → =
• =
k k
x k
3 7
7
3
2
Reemplazando el valor de k
x =






2
7
3
x =
14
3
3
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
De 16° y 74°
74°
16°
7K
25K
24K
Se denominan así a aquellos triángulos rectán-
gulos que por la relación sencilla que existe
entre sus lados o entre sus ángulos agudos
destacan de los demás.
De 45° y 45°
De 30° y 60°
2
K
45°
45°
K
K
3
K
60°
30°
K
2K
De 37° y 53°
53°
37°
3K
5K
4K

Ejemplos de triángulos rectángulos de 45° y 45°.
2
2
21
7
4
7
4
2
7
4
45°
45°
45°
45°
45°
45°
1
1 21
21
11
2
11
2
3
3 3
4
60°
30°
60°
30°
60°
30°
1
4
8
2
21
2
4
2
3
2
5
53°
37°
53°
37°
53°
37°
3
4
5
50
40
30
25
2 7
2
74°
16°
12
74°
16°
7
24
25

Práctica dirigida
1. A partir de la figura, calcule x.
x
14
10
Respuesta: 2 6
2. Según la figura, calcule a.

17
15
a
Respuesta: 8
3. A partir del gráfico mostrado, calcule (a)(b).

4
b
a
45°
Respuesta: 8
4. A partir del gráfico mostrado, calcule (a)(b).
b
a
60°
7
2
3
Respuesta: 49/2
5. Según la figura mostrada, calcule a y b.

b
a
30°
2
4
Respuesta: 2 6 2 2
y
6. En la figura, calcule a.

3
a
37°
Respuesta: 2,4
1. En el gráfico mostrado, calcule x.

5
3
x
A) 15
B) 34
C) 4
D) 2 2
E) 5

01 - B 02 - D 03 - D 04 - A 05 - C 06 - A 07 - E 08 - A
2. Según la figura, calcule a.

a
7
2
2
A) 39 B)
37 C)
42
D) 41 E)
43
3. A partir de la figura, calcule (a)(b).

a
b
45°
11 2
2
A) 22 B) 44 C) 121
D)
121
4
E) 100
4. En la figura mostrada, calcule a+b.

b
a
45°
6
A) 6 2 B)
9 2 C) 6
D) 18 E) 20
5. Del gráfico mostrado, calcule a y b.

b
a
30°
3
10
A) 5 2 y 5
B) 5 y 5 3
C) 15 y 5 3
D) 10 y 5
E) 12 y 20
6. Según la figura mostrada, calcule (a)(b).

b
a
60°
5
A) 10 3 B)
12 5 C) 20
D) 15 2 E)
6 10
7. Según la figura mostrada, calcule
a
b
.

a
b
37°
A) 0,3 B) 0,4 C) 0,8
D) 0,5 E) 0,6
8. De la figura mostrada, calcule a+b.

50
b
a
74°
16°
A) 62 B) 64 C) 66
D) 68 E) 69

TEMA
10
Razones trigonométricas
Del gráfico
θ
c
b
a
podemos indicar que
senθ =
a
c
cosθ =
b
c
Ejemplo
37°
4
5
3
Podemos indicar que
sen37
3
5
° =
cos37
4
5
° =
En un triángulo rectángulo de hipotenusa c, de ca-
tetos a y b y con uno de sus ángulos agudos igual
a q, como el que se aprecia
b
a
θ
c
se cumple
a=c · senq
b=c · cosq

01 - A 02 - C 03 - A 04 - D
Práctica dirigida
1. Se tiene un parque que tiene la forma de un
triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8 m
y 15 m. Si a es el menor ángulo interior, en-
cuentre el valor de:
senα+4cosα
Respuesta: 4
2. Un niño observa la copa de un árbol de 20 m
de alto con un ángulo de elevación, cuya tan-
gente es 4/5. ¿A qué distancia del pie del árbol
se encuentra el niño?
Respuesta: 25 m
3. El balcón del departamento de Erick tiene for-
ma de un triángulo rectángulo, Erick observa
que el seno de uno de los ángulos agudos es
3/5 y los catetos suman 42 m. Calcule el perí-
metro del balcón.
Respuesta: 72 m
4. En el siguiente triángulo rectángulo, escriba x e
y en términos del ángulo agudo de 50° que se
aprecia en el gráfico.

50°
15 y
x
Respuesta: x=15cos50°, y=15sen50°
1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide
41 m y un cateto mide 9 m. Si a es el menor
ángulo del triángulo, calcule el valor de:
9senα–cosα
A) 1 B)
1
41
C)
2
41
D)
9
41
E)
11
41
2. Una escalera de 12 m se apoya sobre la pared,
formando un ángulo de 42° con el piso. Calcule
la medida de la proyección de la escalera con
el piso.
A) 12sen42° B) 6cos42° C) 12cos42°
D) 6sen42° E) cos42°
3. Las longitudes de los catetos y la hipotenusa
de un triángulo rectángulo son proporcionales
a 6; 8 y 10. Si el perímetro de dicho triángulo
rectángulo es 36 
cm, calcule la longitud del
mayor de sus catetos.
A) 12 cm B) 14 cm C) 15 cm
D) 16 cm E) 20 cm
4. En el siguiente triángulo rectángulo, escriba x
e y respectivamente, en términos del ángulo
agudo de 65° que se aprecia en el gráfico.
A) 8 cos65°, 4 sen65°
50°
15 y
x
B) 8 sen 65°, 4 sen 65°
C) 8 cos65°, 6 cos 65°
D) 8 cos 65°, 8 sen 65°
E) 2 cos 65°, 5 sen 65°

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