Este documento resume conceptos clave de trigonometría, incluyendo identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y sus soluciones. Define identidades como relaciones de igualdad entre funciones trigonométricas que se cumplen para cualquier valor angular. Explica cómo demostrar identidades y listar identidades fundamentales como las pitagóricas. También define ecuaciones trigonométricas y explica cómo encontrar soluciones generales y resolver ecuaciones trigonométricas específicas usando propiedades algebraicas y trigonométricas.
ACERTIJO DE POSICIÓN DE CORREDORES EN LA OLIMPIADA. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
Identidades trigonometricas
1.
2. Las matemáticas son el alfabeto con el
cual Dios ha escrito el Universo.
Galileo Galilei
3.
4. Definición:
Las identidades trigonométricas son las
relaciones de igualdad entre las funciones
trigonométricas que se cerifican para todo
valor de la variable angular, siempre y
cuando, la función trigonométrica esté
definida en dicho valor angular.
5. Demostración de una identidad:
Teniendo que Tgx + Ctg x = Sec x . Cosec x
Comprobamos que:
Si x=45º Tg 45º + ctg 45º = sec 45º . Cosec 45º
1 + 1 = √2 . √2
6.
7. Recíprocas:
Sen x = 1 . Cosec x = 1 .
Cosec x Sen x
Cos x = 1 . Sec x = 1 .
Sec x Cos x
Tg x = 1 . Ctg x = 1 .
Ctg x Tg x
8. sen x
tan x = --------
csc x
cos x
ctg x = -------
sen x
cos x
sen x = --------
ctg x
sen x
cos x = ------
tan x
11. Demostración:
Expresando el primer miembro de la identidad en función de seno y
coseno tenemos:
Cosec x – Cotg x . Cos x = Sen X
1 . – Cos x . Cos x = Sen x
Sen x Sen x
1 . – Cos² x = Sen x
Sen x Sen x
1 – Cos ² x = Sen x
Sen x
Pero 1- Cos² x = Sen ² x ; luego Sen² x = Sen x
Sen x
L.q.q.d Sen x = Sen x
12. Simplificación
• Se buscará una expresión reducida de la planteada con ayuda
de las identidades fundamentales y7o auxiliares con
transformaciones algebraicas.
Cos x (Tg x + 1) = Sen x + Cos x
Cos x . Sen x + 1
Cos x
Cos x . Sen x + Cos x
Cos x
Sen x + Cos x = Sen x + Cos x
13. Tipo Condicional
• Si la condición es complicada debemos simplificarlo y así a una
expresión que puede ser la perdida o que nos permita hallar
fácilmente la que nos piden. Si la condición es simple
inmediatamente se procede a encontrar la expresión perdida.
Si Tg x + Ctg x = 4
¿Tg² x + Ctg² x ?
Solución:
(Tg x + Ctg x) ² = (4) ²
Tg² x + 2Tg x . Ctg x + Ctg² x = 16
Tg² x + Ctg² x = 16 – 2
Tg² x + Ctg² x = 14
14. Eliminación Angular
• Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas
relaciones trigonométricas debemos encontrar relaciones
algebraicas en donde no aparezca el ángulo.
ß de:
x = 4 Senß y = 5 Cosß
x = 4Cosß x/4 = Senß x²/16 = Sen²ß
y= 5Cosß y/5 = Cscß y²/25 = Cos²ß
X²/16 + y²/25 = Sen²ß + Cos²ß
X²/16 + y²/25 = 1
15.
16. Definición:
- Una ecuación trigonométrica es una
igualdad entre ecuaciones trigonométricas
de una misma variable angular o variables angulares
diferentes, la cual se verifica para un conjunto de
valores que asumen dichas variables angulares, que
constituyen el conjunto solución de la ecuación
trigonométrica.
- Para que una igualdad sea una ecuación
trigonométrica, las variables angulares deben estar
afectadas por funciones trigonométricas (directas o
inversas), de lo contrario no son consideradas
ecuaciones trigonométricas.
17. • Ejemplo:
Sen 2x + Cos x = 0 sí es E.T.
2x + 3 Tan x = √2 no es E.T.
Sen x + Sen 2x + Sen 3x = 1 sí es
E.T.
18. Soluciones Generales:
• Para Sen y Cosc:
n Л + (-1) V.P.
k
• Para Cos y Sec:
2n Л + - V.P
k
• Para Tag y Cotg:
m Л + V.P.
k
19.
20.
21. • Son aquellas igualdades de 2 expresiones
trigonométricas en donde no se utilizaran
identidades trigonométricas.
• Son aquellas que presentan la siguiente forma:
• Donde: K Є R – {0} ; a Є R
F.T. (Kx) = a
22. Ejemplo:
– Hallar las tres primeras soluciones positivas de: Cotg
3x – 1 = 0
– Resolución:
• Resolviendo la ecuación tenemos:
Cotg 3 X -1 = 0 Cotg 3x = 1
• Hallando la soluciones generales para la cotangente:
x = n Л + arc Cotg (1)
3
x = n Л + Л; o también;
3 12
x = 60° n + 15° Solución General
23. • Luego (n Є Z)
n = 0 x = 60° (0) + 15° = 15°
n = 1 x = 60° (1) + 15° = 75°
n = 2 x = 60° (2) + 15° = 135°
C.S = { 15° ; 75° ; 135°}
24.
25. • Son aquellas ecuaciones que para ser
resueltas se aplicarán propiedades
algebraicas y propiedades trigonométricas
que nos permitan su resolución.
26. Ejemplo:
– Hallar el menor valor
positivo de “x” en:
4 Sen x Cos x – 1 = 0
– Resolución:
• Recordemos que:
Sen 2 x = 2 Sen x Cos x
En la ecuación tenemos:
2 · 2 Sen x Cos x – 1 = 0
2 Sen 2x – 1 = 0
Sen 2x = 1
2
2x = {30º ; 150º ; 390º ; …}
x = {15º ; 75º ; 195º ; …}
Solución principal
x = 15º
27. Recomendaciones Generales para
resolver una E.T.
1. Toda ecuación debe tratar de expresarse en
términos de una sola función y de un solo
ángulo, de manera que dicha función se calcule
mediante un proceso algebraico.
2. Si la ecuación es homogénea en Sen y Cos se
debe dividir entre el Cos elevado al grado de
homogeneidad, lo cual conduce a una ecuación
en la función Tag únicamente.
28. “La matemática es la ciencia del orden y la
medida, de bellas cadenas de
razonamientos, todos sencillos y fáciles”