1. Vectores en el espacio
En muchas ocasiones, cuando se habla de las
dimensiones de una habitación, por ejemplo, hay una
referencia a las medidas que tiene: anchura, longitud y
altura.
Para conocer su tamaño, es necesario
conocer las tres medidas; se dice por eso
que la habitación es un objeto
tridimensional, como lo es una mesa, un
balón de fútbol, una flor o casi cualquier
objeto del mundo físico que nos rodea. Por
otra parte, cuando se habla de un plano, en
Geometría, se trata de una superficie con
sólo dos dimensiones 'medibles' sobre ella:
anchura y longitud. Por ejemplo, en el plano
cartesiano, los ejes de coordenadas
(abscisas y ordenadas) son referencias a
las dos dimensiones del plano. Entre las
figuras geométricas de una sola dimensión
o unidimensionales están aquellas que sólo
tienen longitud: las rectas y las curvas. Se
considera a los puntos del plano como
objetos de dimensión cero.
Volviendo al espacio de tres dimensiones, puede
representarse gráficamente un sistema de
coordenadas adecuado para registrar las tres
dimensiones de una figura geométrica, añadiendo un
eje más al sistema de coordenadas rectangulares del
plano cartesiano, que sea perpendicular a sus dos ejes:
Así, se tiene la posibilidad de asignar a
cualquier punto del espacio, una terna
de números reales que definen la
ubicación de en relación al punto de
coordenadas (0,0,0), llamado el origen de
coordenadas.
Si ahora se considera al vector cuyo origen es el
punto y cuyo extremo es el punto , se obtiene el
vector tridimensional .

2. Como cada vector construido de esta forma tiene sus 3 coordenadas en el conjunto de los
números reales, se denomina al conjunto de todos esos vectores:
Ejemplos:
a) Todo vector con la tercera coordenada igual a cero,
está contenido en el plano :
b) Si la segunda coordenada de es igual
a cero, estará en el plano :
Al igual que entre los vectores en el plano, entre los vectores en el espacio también se pueden
realizar operaciones como la suma y la resta, y todo vector del espacio se puede multiplicar por
unescalar.
Esto se hace de la manera siguiente: Si y , entonces:
y
Si es un número real ó escalar,
Ejemplo:
;
Si , entonces:

3. Es interesante notar que, en el ejemplo anterior, la recta que contiene al vector
contiene a todos los vectores de la forma , donde puede ser cualquier número real, positivo
o negativo, y todo punto de esa recta, representa un vector de la forma , es decir, es de la
forma . Se dice que la recta de la figura de la izquierda está generada por .
Vectores en el espacio
Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z,
perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene
determinado por tres coordenadas P(x, y, z) .
Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ.
Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones
llamadas octantes, en el primer octante las tres coordenadas son positivas.
Vector en el espacio
Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene
su origen en un punto y su extremo en el otro.

4. Componentes de un vector en el espacio
Si las coordenadas de A y B son: A(x 1 , y1, z1) y B(x 2 , y2, z2)
Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del
extremo menos las coordenadas del origen.
Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el
triángulo de vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).
Módulo de un vector
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo

5. define.
El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente
el vector nulotiene módulo cero.
Cálculo del módulo conociendo sus componentes
Dados los vectores y , hallar los módulos
de y ·
Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene
de extremos dichos puntos.
Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).