Este documento presenta un análisis de la teoría de selección óptima de carteras de inversión propuesta por Harry Markowitz en 1952. Explica que Markowitz propuso usar la varianza como medida del riesgo de una cartera. También describe cómo calcular la frontera eficiente de carteras y cómo los inversionistas pueden elegir la cartera óptima en función de su tolerancia al riesgo. Finalmente, señala que aunque esta teoría de "media-varianza" se ha convertido en la base de las finanzas modernas, algunos investig

1. ACADEMIA M E X 1 C A N A D E 1 NG E N 1 E R 1 A, A. C.
DIVISTON DE INGENIERJA DE SISTEMAS
14
ft
UN EJERCICIO DE SELECCION DE
CARTERAS OPTIMAS DE INVERSION
EN EL tIERCADO MEXICANO DE VALORES
Trabajo presentado por
JAVIER MARQUEZ DIEZ-CANEDO
con motivo de su admisión
como Miembro de Ntmero
Noviembre de 1981

2. 1. INTRODUCCION
El nacimiento de la teorfa moderna de selección óptima de una
cartera de inversiones bajo condiciones de incertidumbre, se puede ubicar
con precisión en el trabajo pionero de Harry Markowitz en 1952 [18].
Las ideas expuestas por Markowitz han tenido repercusiones decisivas en
varios campos del conocimiento científico que tienen que ver con proble-
mas financieros, inversiones, etc. As1, existe una amplia literatura
técnica en materia financiera que tiene que ver con aspectos económicos,
administrativos, operativos, etc., que tienen raíces genealógicas direc-
tas en el trabajo citado.
Aunque en un inicio las consecuencias ms importantes fueron
teóricas (vgr. Baumol [2], Lintner [17], Sharpe [28], Tobin [32], etc.)
han habido intentos persistentes de aplicar la teoría a la practica, pa-
ra conformar carteras de inversión de empresas e incluso algunos inver-
sionistas físicos, buscando optimizar la asignación de recursos moneta-
rios, en mercados financieros inciertos. Si bien los resultados inicia-
les no fueron todo lo deseado, y probablemente an no lo sean, no podrian
imputarse las carencias exclusivamente a la teoria básica. Es decir,
siempre se pensó que los problemas teóricos tenfan solución y que podrfan
coinplementarse y ajustarse las bases para mejorar los resultados prácticos.
En los aspectos operativos las limitaciones eran ms formida-
bies, ya que desde un inicio se vió que el éxito de la aplicación depen-
día en gran medida de contar con la capacidad de manejo de la informa-

3. 2,
ción relevante y poder de cómputo para resolver los problemas de opti-
mización matemática que implicaban los modelos; siendo la tecnología
del momento inadecuada para estos propósitos.
en los 29 años de vida de la teoría moderna de selección
de cartera, se han visto una serie de transformaciones y logrado una
serie de adiciones a la teoría básica, que resuelven álgunas deficien-
cias teóricas (aunque pueden originar y señalar nuevos problemas). Pe-
ro quizás ms importante es el hecho de que la espectacular evolución
de la tecnología en materia de cómputo, ahora hace posible la realiza-
ción de los cálculos y el manejo de la información que se requiere para
aplicar la teoría, a costos cada vez menores. En la actualidad se sabe
de la existencia de aplicaciones exitosas, cuando menos en el sentido
de que se genere información que interviene directamente en el proceso
decisional de conformar carteras de inversión de algunas empresas gran-
des.
En este trabajo exploramos la posibilidad de aplicar la teo-
ría existente al mercado de valores de México. Para esto, se hará pri-
mero una breve revisión de la teoría básica. Enseguida, se generaliza-
r y ampliaré un resultado obtenido anteriormente, que supera algunas
deficiencias del criterio de riesgo propuesto por Markowitz. Finalmen-
te, se ilustra la aplicación de estos resultados utilizando información
de una muestra de instrumentos del mercado mexicano de valores.

4. II. EL ANALISIS DE MEDIA-VARIANZA PROPUESTO POR MARKOWJTZ
Para Harry Markowitz, la "incertidumbre" y el "riesgo" son la
misma cosa. La validez de establecer esta equivalencia es cuestionable
y se abordará en la siguiente sección, pero por el momento aceptaremos,
cuando menos, que la incertidumbre es la causante directa del riesgo.
Entonces, el encontrar una medida de riesgo para una cartera
de inversiones, se reduce a encontrar una medida del nivel de incerti-
dumbre respecto al rendimiento que se obtenga de conformar una cierta
cartera. Afortunadamente, la medida la tenemos a la mano, a saber: la
varianza, o su raíz cuadrada, la desviación estándar. Además, el cál-
culo involucrado es relativamente sencillo. Esto es seguramente, lo
que pensó Markowitz cuando propuso utilizar la varianza como la medida
de riesgo.
Estadsticamente, la varianza es una Piedida de dié'sión
alrededor de la media. Es decir, si una variable puede tomar muchos
valores en forma aleatoria (vgr. el rendimiento de una cartera de in-
versiones), la varianza es una medida del grado de concentración de
los posibles valores de la variable, en torno a su valor medio. El
concepto se ilustra en la figura 1.
3.

5. 4.
Posibles valores de x Posibles valores de y "muy"
I muy u concentrados al dispersos alrededor de la
rededor de la media: media: varianza grande
varianZa pequeña
Posibles valores de x
Posibles valores de y
Figura No. 1
Por esta razón, decimos que la varianza es un indicador del nivel de
incertidumbre, ya que mientras mayor sea la varianza, mayor es la incertidumbre
sobre el valor que toma la variable en un momento dado. Dicho de otra manera,
mientras mayor sea la varianza, es ms probable que el valor real de la variable
difiera "mucho" del valor esperado o medio y por lo tanto mayor es el "riesgo"
de que el valor de la variable difiera del esperado.
II.1 La Frontera de Carteras Eficientes
Markowitz supone que para el inversionista que tiene aversión al
riesgo, lo "ideal" es poder invertir en "algo" que permita obtener un cierto
rendimiento "r" sin incertidumbre; es decir, obtener dicho rendimiento con
absoluta certeza.
Para bien o para mal, lo anterior no siempre es posible ya que rara
•1
fi)

6. vez las inversiones sin incertidumbre producen rendimientos adecuados.
Es bien sabido que las inversiones potencialmente ms redituables pueden
ser altamente riesgosas; o, alternativamente, que para que un inversio-
nista realice una inversión riesgosa, tiene que existir un incentivo de
un alto rendimiento potencial de la inversión. De no ser asT, los inver
sionistas invertirían todo su patrimonio en la inversión ms redituable
en un momento dado y no existirfa el llamado problema de inversión.
Entonces, ¿cómo se puede decidir la "mejor" inversión bajo con
diciones de incertidumbre? Markowitz ataca el problema como uno de
"elección racional'. Para esto introduce dos conceptos; a saber:
el de "Cartera Eficiente"
el de "la Frontera de Carteras Eficientes".
Se dice que una cartera de inversiones es eficiente si es la
de mninia varianza para cierto nivel de rendimiento esperado. La fronte-
ra de carteraseficientes es el lugar geométrico de los puntos (r,o 2
tal que si "r" es el rendimiento esperado de la cartera, c1 2 es la varian-
za "rnnima" que se le puede asociar. Es decir, le presenta al inversio-
nista un panorama decisional completo, en el sentido de que le dice la
varianza o incertidumbre mínima que debe aceptar para cualquier nivel de
rendimiento esperado.
La frontera de carteras eficientes se puede representar sobre
un sistema de coordenadas. Generalmente, se representa en el plano
media-desviación estandar (que es la raíz cuadrada de la varianza), en
S.

7. 11
lugar del plano media-varianza, y tendrÇa la forma mostrada en la figu-
ra
Desviación
Estandar
cY
ar
III 1 1 ¡ lIIu, e
Figura No 2
Así, un inversionista puede escoger cualquier combinación de ren
dimiento esperado r y desviación estandar a que estén sobre ó "por encima"
de la frontera de carteras eficicntes(la región sombreada en la figura 1).
Sin embargo, como se supone que el inversionista tiene aversión a la incer
tidumbre, nunca escogería una pareja (r, a) que no estuviera en la fronte-
ra ya que el hacerlo implicaría que, para un rendimiento esperado dado r,
prefiere una cartera con mayor varianza que la correspondiente a la que es
tá en la frontera, lo cual contradice su supuesta aversión a la incertidumbre.

8. Nótese ademas, que la única porción de la frontera que es re-
levante en el proceso es la señalada entre "rmin y "rmax". Claramente
nunca se escogeria una cartera con un rendimiento esperado menor que
"r.'1 , ya que todas estas carteras tienen mayor incertidumbre. Final-
mente, rmax' corresponde al rendimiento esperado máximo que es posible
escoger entre todos los activos del mercado.
Entonces, la frontera de carteras eficientes es el conjunto
de todas las parejas de rendimiento esperado e incertidumbre entre las
que puede elegir el inversionista en un momento dado. Entonces, ¿por
cuál pareja se decide?
La teoría es mucho menos precisa sobre este punto. Esto se
debe a la diversidad de actitudes que tienen distintos inversionistas
ante la incertidumbre. Es decir, confrontados dos inversionistas con
el mismo conjunto de posibilidades de elección, cada uno puede escoger
una cartera totalmente distinta a la del otro y ambas elecciones son
totalmente racionales, de acuerdo a los gustos y actitudes de cada uno
de ellos. [15]
Este problema lo resuelve la teoría diciendo que cada inversio
nista es consistente en su forma de elegir y es capaz de decidir en for-
ma congruente con su actitud y sus gustos, el punto sobre la frontera
donde quiere estar. Por ejemplo, un inversionista conservador puede ele
gir el punto de mínima incertidumbre, mientras que un jugador que 'ama"
el riesgo, puede elegir el punto de máximo rendimiento esperado que ge-
7.

9. 9.3
neralmente lleva aparejada la máxima incertidumbre. Esto lo trata la
teorÇa económica utilizando el concepto de funciones de utilidad, pero
no se entraré en ms detalle en este trabajo.
11.2. El Célculode la Fronterade CartérasEficientes
Hasta el momento sólo hemos supuesto que es posible encontrar
la frontera de carteras eficientes, pero no hemos dicho nada sobre la
forma en que ésta se puede obtener en la préctica. Actualmente, ésta
se calcula en base a información histórica [12], aunque hay algunas in-
dicaciones de que seria deseable aplicar alguna técnica de tipo Baye-
siano' en donde se buscara no depender tanto de la historia [24]. Esto
se debe al hecho bien conocido de que la historia no siempre refleja
adecuadamente lo que va a suceder. Sin embargo, se desconoce actualmen
te si han habido intentos realmente serios de aplicar métodos Bayesianos
ya que iniplica la utilización de técnicas de estimación mós complejas y
poco experimentadas.
En resumen, lo que se hace es resolver un conjunto de proble-
mas de optimización materntica que tienen la forma siguiente:
Objetivo: minimizar la varianza (incertidumbre) de la cartera.
Respetando restricciones de:
Las inversiones no deben exceder el presupuesto. (presupuesto)
La cartera debe tener un rendimiento esperado r".('efldiiuiento)

10. 9,
c) No es posible "invertir" cantidades negativas (Le. financiar la
compra de activos con crédito).
Matemáticamente, el problema tiene el formato siguiente:
mm X2, x i ,,.., x)
S.a.
x = 1 .. (presupuesto (a))
PMI i=1
n
r1 x 1 = r ,... (rendimiento (b))
j =1
X1, x2, ,., x > O (no se permiten
"ventas cortas"
(c))
Donde: x 1 es la proporción de la cartera que se invierte en el
activo tipo
es el rendimiento esperado del activo tipo "i".
r es el rendimiento esperado de la cartera,
Entonces, si se resuelve PMI para un cierto valor de
lo que se obtiene es:
a) Las proporciones del presupuesto x, que se deben invertir en
cada activo de tal forma que la cartera resultante proporcione
el mencionado rendimiento esperado "r" con varianza (incerti-
dumbre) mTnima, En palabras de Markowitz, la carte'a eficiente
correspondiente al nivel "r" de rendimiento esperado.

11. 10.
b) La varianza rnnima que se debe aceptar para que la cartera tenga
un rendimiento esperado (medio) de "r". Esto proporciona un punto
sobre la frontera de carteras eficientes.
En teoría, para encontrar la frontera de carteras eficientes,
habría que resolver PMI para todos los valores posibles de "r" y grafi-
car los resultados sobre el espacio (r,a. En la practica, resolvemos
sólo un número finito de estos problemas e interpolamos el resto utili-
zando alguna función conveniente.--' Una vez seleccionado el punto sobre
la frontera, se puede establecer la correspondencia entre estos niveles
de (r,c) y la composición de la cartera que esto implica.
III. UNA ALTERNATIVA A LA VARIANZA COMO MEDIDA DE RIESGO
Los principios anteriores se conocen en la literatura como el
esquema ttmedia-varianza" para la selección óptima de una cartera de in-
versiones. Actualmente, la mayor parte de la teoría de finanzas, cuan-
do menos a nivel básico, ha sido desarrollada en torno a este marco con
ceptual. (v.gr. véase Fama [7], Mossin [24], Hirschlieffer [lO], Sharpe
[30], etc.). Sin embargo, debido a algunas deficiencias de este marco
teórico, se ha hecho y se sigue haciendo investigación en busca de al-
ternativas que no tengan las limitaciones que presenta el esquema ante-
rior (v.gr. véase Diamond y Stiglitz [6], Meyer [22,23], Rothschild y
Stiglitz [27], etc.).
1/ Se sabe que la frontera en espacio (r,e 2 ), calculada sin restriccio-
nes de no-negatividad (c), es parabólica (véase Merton [211). En la
practica se puede interpolar una cuadrática con buenos resultados
[19].

12. En particular, a este autor le interesó un criterio de riesgo
propuesto por A.D.Roy [28]. El arUculo de Roy es casi simultaneo en
tiempo de publicación al de Markowitz y de tiempo en tiempo vuelve a co-
brar interés. El criterio de riesgo de Roy carece de una de las defi-
ciencias del de llarkowitz, ademas de que tiene un mayor atractivo concep
tual respecto al que toma la decisión de invertir; cuando menos a nues-
tro juicio. Finalmente,.es posible establecer una correspondencia mate-
mtica entre el criterio de Roy y el de Markowitz, de modo que se pueden
aprovechar las ventajas de ambos criterios al tiem po que se superan sus
deficiencias principales [20]; a saber: conceptual el de Markowitz, y de
cálculo el de Ray. Vernos pues de que se trata.
Una de lascríticas que se hace al esquema de media-varianza
es conocido en la literatura corno el problema de "SirnetrÍa". Este dice
que la varianza, al ser una medida simétrica de dispersión alrededor de la
media, no distingue entre rendimientos por encima de la media y rendimien-
tos por debajo, siempre y cuando tengan la misma desviación.
Dicho de otra forma, la varianza no distingue entre sorpresas
"agradables" de obtener rendimientos por encima de la media, y las "des-
agradables" de obtener rendimientos inferiores al medio. La implicación
de ésto es que el inversionista es indiferente entre obtener un rendi-
miento superior o inferior al valor rnedi, siempre que la desviación res
pecto a la media sea la misma. Esto es obviamente falso.
Para Roy?í un riesgo siempre esta asociado a la posibilidad de
21 Roy atribuye la definición a Cramér [ 5]. Esta definición es de
tipo actuarial.
11.

13. 12.
que ocurra un €wento indeseable o "desastre. Entonces, una medida de
riesgo es una evaluación cuantitativa de la posibilidad de que ocurra -
dicho desastre. Esto conduce directamente a la utilización de la pro-
babilidad matemática de la ocurrencia del desastre como medida de ries-
go.
Se supone que el inversionista tiene en mente un cierto "ni-
vel" de desastre. Es decir, que el inversionista tiene una cierta mcta
de rendimiento, llammosla "d", de tal forma que cualquier rendimiento
inferior a "d", lo considera indeseable o un desastre. Entonces, la
magnitud del riesgo del inversionista se mide con la probabilidad mate
mática de la ocurrrencia del desastre, que en este caso viene dado por
la contingencia de que el rendimiento de la inversión sea inferior a
"d". Si denotamos por "R 11 el rendimiento real de la inversión, y por
"p" la probabilidad de que ocurra el desastre, simbólicamente lo ante-
rior se escribe de la forma siguiente:
Riesgo EpPr{R<d}
Nótese que el problema de simetría queda superado ya que de
hecho p es la probabilidad de tener una sorpresa desagradable, tensen-
dose así la distinción necesaria
Aunque es posiblç continuar con esta linea, es preferible
principalmente por razones prácticas, trabajar con el complemento de
la probabilidad de desastre; es decir, con la probabilidad de que suce-
da lo deseable. Así, (por falta de palabra niejor), entenderemos por -

14. 13.
F ortuna r lo contrario de riesgo. Entonces, la probabilidad de que su-
ceda lo deseable s es decir, de "tener fortuna",la denotaremos por:
Pr {R >d} = 1 - p
que es el complemento del riesgo. Resumiendo, representa la probabili
dad de tener una sorpresa "agradable" (que es mejor, cuanto menor sor-
presa sea la ocurrencia del "feliz" evento).
Aunque este concepto de riesgo o su contrario, que hemos
llamado fortuna, supera el problema de simetría que presenta la incer-
tidumbre, (medida a través de la varianza), surge un problema de tipo
técnico ya que dichas probabilidades pueden ser muy difíciles de cal-
cular. Esto es seguramente lo que quiso evitar Markowitz.
Se puede demostrar-J que la probabilidad de tener fortu-
na está asociada positivamente a la cantidad siguiente:
z= r- d
donde, como antes: "r" es el rendimiento esperado de la cartera, "d"
es el nivel de desastre y "o" es la desviación estandar del rendimiento
de la cartera.
Así, "z" se convierte en una medida de riesgo (por su
relación con q),carente del problema de simetría, ya que"nornialmente"
3/ a) Roy deriva "z" de la desigualdad de Chebychev que proporciona
una cota para la probabilidad deseada y es independiente de la dis-
tribución de probabilidad de la variable aleatoria en cuestión; en
este caso, el rendimiento "R" de la cartera.
b) En caso de que se pueda suponer que "R" siga una distribución nor
mal, hay una correspondencia exacta entre "z" y "q"; es decir, es
monótona creciente en ztgJ *

15. z aumenta con q, y viceversa (véase la nota de pié anterior).
Entonces, de acuerdo a nuestras definiciones, minimizar el ries
go (p), equivale a maximizar la fortuna () que a su vez equivale a maxi-
mizar HZ " .
Análogamente al esquema de Markowitz, esto genera un conjunto
de problemas de optimización matemática que tienen la forma siguiente:
Objetivo: Maximizar la relación j- (que equivale a minimizar la pro-
babilidad de que el rendimiento sea inferior a
Respetando restricciones de:
Presupuesto
No-negatividad de las inversiones.
Maternticamente el problema tiene el formato siguiente:
max z (x 1 , x 2 , ..., x,)
PMR sa.. x = 1 (presupuesto)
x 1 , x 2 , ...., x > O (no se permiten ventas cortas)
Nótese que "PMR" juega con los mismos elementos que el problema de Marko-
witz (PMI) pero están "barajados de forma diferente".
A partir de aquí, por las mismas razones, podemos concebir un
esquema de selección semejante al de Markowitz, en donde el inversio-
nista construye una "frontera de carteras de mínimo riesgo"
111.
41 Bajo un supuesto de normal ¡dad.

16. 15.
sobre un plano (d, p) corno el que se ilustra en la figura 3.
Prob. de
desastre
7/Conjuntde cartera
factibles
1 1
1 1
o dmin dmax
Frontera de Carteras
de mninio riesgo
f (d,p) = o
nivel de desastre "d'
Asi, el inversionista podrá escoger cualquier combinación
(d,p) que esté sobre, o por encima de la frontera de mínimo riesgo.
Esto le permite obtener un panorama decisional completo ya que la -
frontera le indica el nivel de riesgo que debe aceptar, de acuerdo -
al nivel de desastre que escoja. Al igual que en el esquema de me-
dia - varianza de Markowitz, distintos inversionistas tendrán dis-
tintas actitudes al riesgo y por lo tanto lo que para uno sea un de-
sastre, para otro puede representar un rendimiento perfectamente ade
cuado. As,cada inversionista forniara su propia función de utili-
dad en el plano (d,p) de acuerdo a sus necesidades, gustos, etc., y
cada uno se situaria en algún punto sobre la frontera.
IV. LA RELACION_ENTREEL ANALISIS DE MEDIA-VARIANZA Y EL DE DESASTRE-
PROBABILIDAD DE DSASTRL
Como los artcuios de Markowitz y de Roy son casi contem-
poróneos, y seguramente estaban en prensa en fechas semejantes, dichos

17. autores no podrían saber que estaban manejando ciertos elementos comunes;
en particular el de la frontera de carteras eficientes.
Esta, que para Markowitz es un fin, para Roy es un vehículo ms
en su análisis. Así, sin saberlo, el primero en establecer una relación
entre los dos esquemas fue Roy. Esta relación la hicieron explícita pos-
teriormente autores como Levy y Sarnát [16] y Pyle y Turnovsky [26].
La relación es la siguiente:
"Dado un nivel de desastre "d", existe un punto p sobre la fron
tera de carteras eficientes, que maximiza la relación
rd
El argumento geornétrico 1' utilizado por Roy y los denis autores
para probar este hecho, se reproduce en la figura 4. Ahí se observa que,
si se traza una línea, del nivel de desastre "d" a un punto arbitrario
"p", la cotangente del ángulo entre la línea y el eje de rendimiento es
precisamente la relación:
r - d
op
Esta relación se hace máxima en el punto pk en donde la línea que une a
"d" con "pa es tangente a la frontera.
La importancia de este resultado es que se establece una rela-
ción de correspondencia entre la frontera de carteras eficientes de Mar-
kowitz y la de carteras de mínimo riesgo de Roy.
51 Este autor ha demostrado la relación en forma matemática a través del
teorema de Kuhn y Tucker [ 3]. Los teoremas demostrados le dan mayor
generalidad y aplicabilidad a dicha relación. [20]
16.

18. 01,
17.
í
Y
15
__
r*d
_____ = CoCot t 0 para todo p p*
0
p
Figura No. 4
Esto a su vez es importante en la practica, debido a que es mu-
cho ms fácil encontrar la frontera de carteras eficientes que la de mfni
mo riesgo, ya que PMI es mucho ms fácil de resolver que PMR'. Sin em-
bargo, para propósitos decisionales, hemos argumentado que nos gusta ms
el de Roy. Por lo tanto, podemos aprovechar las ventajas técnicas de uno
y las conceptuales del otro pagando un precio despreciable en términos de
esfuerzo técnico adicional.
6/ En las investigaciones realizadas por este autor, se encontró que el
tiempo de computador requerido para resolver PMI del orden 30 variables
es menor que el correspondiente a resolver PMR, en una relación prome-
dio de uno a cincuenta. [19]

19. 1
18.
V. UN RESUMEN Y ALGUNOS COMENTARIOS
La teoría de selección óptima de una cartera de inversiones en
su estado actual, proporciona lineamientos para conformar carteras de in
- versión, que en términos generales son los siguientes:
Se escoge una muestra de los instrumentos de inversión que hay en
el mercado, para elegir entre ellos una mezcla que satisfaga las
necesidades del inversionista.
Se estiman las características de los rendimientos de los instru-
mentos que componen la muestra (rendimientos esperados, varianzas,
covarianzas, etc.). En la actualidad lo ms común es basar las
estimaciones en datos históricos.
Se conforma un panorama decisional que muestra al inversionista
el nivel mínimo de riesgo que corresponde a las distintas posibi-
lidades de rendimiento que puedan proporcionar las carteras con-
formadas con distintas mezclas de los instrumentos de la muestra.
Como hemos visto, pueden haber varias maneras de lograr lo an-
tenor. En particular, aquT se han descrito dos, a saber:
1) la frontera de Carteras Eficientes de Markowitz
Ii) la frontera de Carteras de Mínimo Riesgo de Roy.
Dichas fronteras se obtienen resolviendo un conjunto de proble
mas de optimización niatemtica, PMI y PMR, respectivamente.

20. En la próctica, y en cualquiera de los dos casos, esto propor-
ciona un numero finito de puntos sobre la frontera elegida, con los cua-
les se aproxirna el resto de la curva.
VI. APLICACION AL MERCADO DE VALORES DE MEXICO
A continuación se describen los resultados de un ejercicio rea
lizado con una muestra de acciones del Mercado Mexicano de Valores. El
objeto del ejercicio fue el de explorar la posibilidad de aplicar la teo
ra anterior para conformar carteras compuestas por acciones cotizadas
en la Bolsa Mexicana de Valores y obtener tasas de rendimiento superiores
a la tasa de inflación. Para esto, se escogió una muestra de acciones
aprobadas por la Comisión Nacional Bancaria y de Seguros, para la inver-
sión de fondos de pensiones.
VI.1. Metodología
a) La Muestra, el Periodo de Anólisis
el Periodo de Rotación
En primer término, se escogió ura muestra de 29 acciones, con-
sideradas actualmente de ualta calidad", es decir, de empresas muy sóli-
das y cuyas acciones tienen un alto grado de "bursatilidad". El tamaño
de la muestra se determinó con base en un estudio empírico realizado por
R. SoHs [31] en el que se estima que una cartera con ms de 10 ó 15 ac-
ciones está adecuadamente diversificada en el mercado nacional. En el
cuadro VI.1 se muestan las acciones elegidas para la muestra.
19.

21. o
ACCIONES CONSIDERADAS, POR SECTOR PRODUCTIVO
Comercial Bancario Papel Mi nería Siderurgi a
AURRERA BANAMEX KIMBERLY PEÑOLES TAMSA
LIVERPOOL BANCOMER CRISOBA FRISCO AHMSA
COMERMEX G. MEXICO SIGUAD
INTENAL
B.C.H.
Autotrans portes
TREMEC
EATON
SUDISA
Varios Servicios Químicas El é c t r i co Cemento Otros
L L ¿ U ¡Li L. IV .LtWLLA CE LAN ES E CAM ESA TO LME X PETROBONOS
BIMEX TEXACO SELMEC
CAN NO N
MOD ERNA
Cuadro VI.1

22. 21.
Habiendo elegido las acciones que conformarían la muestra, se
recabaron los datos del comportamiento histórico de éstos, para un perfo
do que comprende de enero de 1979 a octubre de 198O'. Esta fué la mxi
ma oportunidad de información con que se pudo contar para la realización
del ejercicio. Sin embargo, el periodo es especialmente interesante por
que comprende una época de "baja" en el fndice general de la bolsa. Es
decir, corresponde a un niomento que se consideraria "malo" para realizar
inversiones en la bolsa.
El siguiente paso fue el de decidir el periodo de rotación de
la cartera; es decir, el intervalo de tiempo entre decisiones de cambio
de composición de la cartera a través de compras y ventas de las accio-
nes que comprende la muestra y que conforman la cartera en un momento da
do. Para esto, se supone una "bursatilidad absoluta" de las acciones de
la muestra; es decir, se pueden comprar y vender cualquier cantidad de
estas acciones a los precios del mercado en un momento dado.
Para Ios propósitos seíalados se decidió hacer dos ejercicios;
el primero haciendo rotaciones de la cartera cada 20 dfas hábiles (apro-
ximadamente mensuales) y el segundo haciendo una rotación de la cartera
cada 60 dfas hábiles (trimestral).
7/ Datos proporcionados por la Bolsa Mexicana de Valores.

23. 22.
b) Los Estimadores de Rendimiento, del Vector Medio
y la Matriz de Varianzas
Estos se estimaron de acuerdo a procedimientos conocidos ' uti
lizando los datos históricos proporcionados por la Bolsa Mexicana de Va-
lores para la muestra seleccionada. Para la estimación del vector de
Rendimientos medios y la correspondiente t1atrz de Varianzas en cada pe-
rfodo de rotación de la cartera, se utilizaron los rendimientos de las
acciones de los tres meses anteriores al momento de rotación.
El utilizar tres meses de historia solamente, obedece a dos ra
zones; a saber:
1) Debido a la dinámica del mercado, es deseable minimi7ar la
"memoria" que introducen los datos en los parmétros esti-
mados, ya que la situación pasada no necesariamente refle-
ja la actual y mucho menos la futura.
ji) El mínimo número de datos históricos que se requiere para
lograr confiabilidad estadfstica en la estimación de los
parámetros mencionados es de tres meses.
8/ Véanse: Ammendola D'Aquino [1], Márquez y Pacreu [19], y Jobson y
Korkie [12].

24. 23.
Determinación de las Fronteras de Carteras
Eficientes en cada momento de
Rotación de la Cartera
Una vez obtenidos todos los parámetros relativos al comportamien
to probabilí'stico del rendimiento de las distintas acciones de la muestra,
se pueden resolver los correspondientes problemas de optimización, que per
miten estimar la frontera de carteras eficientes, en cada período de rota-
ción de la cartera. Dicha estimación se hizo resolviendo en cada periodo,
diez problemas del tipo PMI (Markowitz) para diez distintos valores de ren
dimientos esperados. Esto proporciona diez puntos sobre la frontera de
carteras eficientes para un perfodo de rotación dado.
Hecho lo anterior, se ajustó una función cuadrática por medio de
mfnimos cuadrados para aproximar así la frontera de carteras eficientes 1 .
Aplicación del Criterio de Roy: Selección de
Carteraen los períodos de rotación
Una vez obtenidas las aproximaciones a las fronteras de carteras
eficientes, se aplicó el criterio de Roy, utilizando la relación geomtri-
ca descrita en la sección V. Para esto se utilizó en general un nivel de
desastre 't de 3% por encima de la inflación--".
9/ Es bien sabido que la frontera de carteras eficientes en espacio (r,a 2 )
es cuadrática, en ausencia de restricciones de no-negatividad [21]. Por
esta razón era de esperarse un buen ajuste; en todos los casos se obtu-
vieron R 2 superiores al .97
10/ Hubieron dos casos en los que no fue posible y fue necesario utilizar
niveles de desastre inferiores. Esto se debió a que la frontera de car
teras eficientes en estos períodos no presentaban buenas perspectivas
de inversión.

25. 24.
Para el calculo de probabilidades se respetó el supuesto de nor-
malidad ya que hay pruebas empíricas que indican que la hipótesis no se
puede rechazar [31] y por lo tanto es un supuesto aceptable.
VII. RESULTADOS
En los cuadros VII.l y VII.2 se muestran los parámetros decisio-
nales así como una estimación del valor de la cartera al inicio y al final
de cada período de rotación (20 y 60 días respectivamente), y las utilida-
des correspondientes. En el cuadro VII.3 se muestran las carteras corres-
pondientes. De estos cuadros es interesante notar dos aspectos:
Los altos rendimientos obtenidos.
Hay varios períodos en los que hay una pérdida (rendimientos nega-
tivos) a pesar de que se suponía que las probabilidades eran altas
de obtener rendimientos superiores al nivel de desastre.
Aunque se requiere un estadio empírico metodológicamente ms rigu
roso que el actual, es difícil atribuir los buenos resultados a una mera
casualidad: 81.44% anual para el período de rotación de tres meses y 96.35%
para el período de rotación mensual. Ademas, son pocos los períodos (en
ambos casos) en los que hay una pérdida, comparado con los períodos en don
de se obtienen utilidades. Finalmente, cabe recordar que el período de
análisis se consideró poco propicio, ya que correspondió a uno de baja en
operaciones de bolsa.
Respecto a los períodos en que hay pérdida, se puede comprobar

26. Cuadro 3. MODELO DE ROY (TRIMESTRAL)
PARAMETROS USADOS AL TOMAR LA DECISION Y RESULTADOS DE LA MISMA
Período
Probabilidad
de obtener
d o nis
d
Valor esperado
del rendimiento
r
Varianza del
rendimiento
(2)
Capital
al inicio
del período
Capital
al final
del período
Utilidad en
el período
(%)
1 0.9998 0.03 .29252 .068955 1000.00 903.90 - 9.61 %
2 0.8186 0.005 .06037 .061106 903.90 1121.60 24.08 %
3 0.8810 0.03 .082386 .044257 1121.60 1439.95 28.38 %
4 0.9599 0.03 .10005 .040117 1439.95 1372.95 - 4.65 %
5 0.6331 0.03 .15793 .37840 1372.95 2829.30 106.07 %
6 0.9678 0.015 .16169 .079369 2829.30 3298.95 16.60 %
7 0.6950 0.03 .19751 .33119 3298.95 3951.55 19.78 %
Cuadro VII.1

27. MODELO DE ROY (MENSUAL) PARAMETROS USADOS AL TOMAR LA DECISION Y RESULTADOS
Periodo
Probabilidad
de obtener
d o ms
d
Valor esperado
del rendimiento
r
Varianza del
rendimiento
(2)
Capital
al inicio
del período
Capital
al final
del período
Utilidad en
el período
(%)
1 0.9998 0.03 .29252 .068955 1000.00 1089.95 18.99
2 0.9545 0.03 .0919996 .041688 1089.95 1052.95 -3.39
3 0.7910 0.03 .0459197 .19667 1052.95 1155.70 9.76
4 0.8186 0.005 .06037 .061106 1155.70 1135.50 -1.75
5 0.6368 0.03 .056097 .073983 1135.50 1255.35 10.55
6 0.8051 0.03 .18924 .18418 1255.35 1333.00 6.19
7 0.8810 0.03 .082386 .044257 1333.00 1401.40 5.13
8 0.9925 0.03 .11438 .034723 1401.40 1513.30 7.98
9 0.9878 0.03 .094021 .028403 1513.30 1696.30 12.09
10 0.9599 0.03 .10005 .040117 1696.30 1733.20 2.18
11 0.9641 0.03 .16700 .076054 1733.20 2369.80 36.73
12 . 0.6517 0.025 .27258 .64163 2369.80 1756.80 -25.87
13 0.6331 0.03 .15793 .37840 1756.80 2799.35 59.34
0.7088 0.03 .11714 .15962 2799.35 2705.15 -3.37
15 0.8849 0.03 .11771 .072897 2705.15 2775.90 2.61
16 0.9678 0.015 .16169 .079369 2775.90 3060.10 10.24
17 0.8980 0.005 .35642 .27748 3060.10 2917.25 -4.67
18 0.664 0.03 .72770 .098474 2917.25 3098.80 6.22
19 0.6950 0.03 .19751 .33119 3098.80 4005.70 29.26
Cuadro VII.2

28. Cuadro VII.3
C A R T E R A DE ROY MENSUAL
Perl.doT 7-
n
1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 17 18 19
AHSA .089183 .000088
AUPR:RA
.499612 .441845 .101475
6A:E X .034944 .000454 .189508 .002601
.132724 .031650 1
.069339 .000044 .117439 .160070 .080834 .020710
CAOENA
.021232 .038651 .493784 .964423 1 .070008
CE L4 .85
CE0C .002956 .007378 .009294 .083201 .000036
.000075
CRISOIA .012986 .000027
EATO3 .972255 .496343 .173899 .327118 .073267
FR1s;0 .182553 .037308 .052438
GYEIrO .137581
I.TEAL
KINT.R .03110(fl
L1VE0L 1 .408106 .093547
.003540 1
.081252
.078402 .000046
PET.c80 .436509 .801331 .997831 .926523 .194237 .604526 .723657 .642101 .653144 .196340
.057642 .007445 .053274 .618384 .206489 .992647 .023172
SELC .092183 .052888 .002169
S1GLD .021027 .039542 1 .000018 .124119 .035550 .779912 i .077943
.000064 .000068
.019556 .187312 .088394 .035021 .126997 .391506 .077623 .076313 .921969
TEXA:O .256135
T0L0:x .00705 .114964 .154028 .007317 .004526 .004045 .004002 CAPITAL
TSESC FINAL
CAPIAL 1089.95 1052.95 1155.70 1135.50 1255.35 1333.00 1401.40 1513.30 1696.30 1733.20 2369.80 1756.80 2799.35 2705.16 2775.90 3060.10 2917.25 i 3093.80 4005.70 -
1 8.99 3.39 9.76 -1.75 10.55 1 6.19
5
13
1 7.98 12.09 2.18 36.73 -25.87 59.34 -3.37 2.61 10.24 -4.67 6.22 29.26
CAPITAL INICIAL DEFLACIONADO = 929.90 RENDIMIENTO DE LA CARTERA EN EL PERIODO ABR.79 - OCT.80 = 191.05%
CAPITAL FINAL DEFLACIONADO = 2706.55 RENDIMIENTO DE LA CARTERA ANUALIZADO = 96.35%

29. de la historia de la Bolsa, que corresponden a cambios bruscos en el com-
portamiento del mercado. Por lo tanto es imposible que un modelo que uti
liza bases históricas para sus estimaciones, los pueda detectar; con los
resultados consiguientes.
Sin embargo, debe notarse que el modelo parece adaptarse y recu
perarse con bastante rapidez, si los resultados de nuestro ejercicio se
pueden considerar como Upicos. Esto se manifiesta por el hecho de que
el rendimiento obtenido con el periodo de rotación de un mes, es mejor al
obtenido con el periodo de tres, ya que el estar cambiando los parámetros
de decisión con ms frecuencia implica una mayor actualización de las es-
timaciones y la consiguiente eliminación de la historia no-representativa.
Esto parecería indicar la conveniencia de tener rotaciones aún ms fre-
cuentes de la cartera.
Una mayor frecuencia de rotación tendría otras ventajas adicio-
nales, en el sentido de que la composición de la cartera tendría cambios
menos bruscos, haciendo ms factible la aplicación de la teoría. Esto se
discutirá un poco ms adelante.
VIII. COMENTARIOS Y CONCLUSIONES
En conclusión, y a falta de un estudio empírico más riguroso,
el modelo parece funcionar bien en aquellos pertodos en los que el compor
tamiento del mercado no presenta fluctuaciones bruscas. Sin embargo, el
ejercicio también indica que el modelo tiene una buena capacidad para

30. 29.
adaptarse a los cambios una vez que éstos han ocurrido. Por consiguiente,
parece recomendable la realización de dicho estudio.
A la luz de lo anterior, es imperativo aclarar que dicho modelo
dista mucho aún de ser operativo, y que difícilmente en este estado pudie
ra utilizarse dentro de un proceso decisional real, salvo como un indica-
dor muy grueso de las inversiones ms convenientes en un momento dado.
Esto obedece a tres razones, principalmente, a saber:
El modelo no refleja las particularidades que pueden surgir en las
aplicaciones ya específicas. En general, siempre hay corisideracio-
nes de política, de gustos y estructurales que restringen ms las
posibilidades de elección y pueden complicar substancialmente el
modelo.
AdemAs de lo anterior, el modelo tiene un defecto que puede ser im-
portante en cuanto a la operatividad, y es el siguiente:
La composición de la cartera cambia mucho en cada período de rota-
ción, lo cual haría difícil su aplicación, ya que en la prActica ra
ra vez hay la demanda y oferta de las acciones que se quieren com-
prar y vender en un momento dado. Es decir, aunque tuviéramos to-
tal certeza de cuAl es la composición ideal de la cartera, es difí-
cil que se puedan hacer las transacciones correspondientes, simple-
mente porque no existen en un momento compradores y vendedores de
los valores que se quieren negociar. En términos bursAtiles, es
cuestionable el supuesto de "bursatilidad total' de los valores co-

31. 30.
tizados en la bolsa.
Aunque pueden haber varias formas de "suavizar" las variaciones exa-
geradas de la composición de la cartera, para mantenerlas dentro de
un rango aceptable, éstas afectaran en forma definitiva las conclu-
siones del estudio en lo que respecta al rendimiento que se puede ob
tener. Sin embargo, hay que tomar en cuenta que al disminuir el pe-
ríodo de rotación de la cartera, de tal forma que se hicieran con ma
yor frecuencia, podría reportar un beneficio substancial en este sen
tido, ademas del ya mencionado de mayor "adaptación" del modelo a
las condiciones del mercado. Esto debe investigarse, y de ser correc
ta nuestra intuición, habría que tomarla en cuenta para la operativi-
dad del modelo.
c) Aun contando con un modelo satisfactorio, es necesario un sistema de
informática que haga practico el usar el modelo. Es decir, se requie
re un sistema de información en el cual se actualice con la oportuni-
dad necesaria toda la información relevante, para posteriormente ar-
mar y resolver los problemas de optimización correspondientes. Este
proceso debe permitir una interacción ágil entre el modelo y el in-
versionista, para que el modelo sea útil en el proceso decisional.
En resumen, para que el modelo pudiera ser operativo, se re-
quiere un esfuerzo técnico considerable, ademas de recursos de cómputo
que en la actualidad están fuera del alcance del común de los inversio-
nistas.

32. IX. AGRADECIMIENTO
Este autor desea manifestar su profundo agradecimiento a la
Academia Mexicana de Ingeniería por el nombramiento que le ha otorga-
do y espera que esta modesta contribución haga honor a tan alta dis-
ti nci ón.
También desea agradecer al Banco de México, S.A., institu-
ción ejemplar, las facilidades proporcionadas para la realización de
este trabajo, as como a sus compañeros Jaime Pacreu, David Margoln
y Patricia Bueno, por su valiosa cooperación en la elaboración de los
cálculos, y sus comentarios, que sin duda han contribuido sustancial-
mente a mejorar la calidad del mismo.
Finalmente, agradece a Irma Esquivel su gran eficacia y la
excelencia con que realizó la difícil labor mecanográfica que este
trabajo implica.
31.
4