Descripción para nivelatorio

1. Competencias
Numéri-
cas
PreCálculo
Números
Raciona-
les
Operaciones
Ecuaciones
Lineales
Solución
Razonamiento
Algebrai-
co
Razonamiento
Abstracto
Regla de
tres
Repartos
Propor-
cionales
Números Racionales
Ecuaciones Lineales
Razonamiento Algebraico
Razonamiento Abstracto
Regla de tres
Repartos Proporcionales
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2. Competencias
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Competencias Numéricas
Adriana Quintero Palomino
Departamento de Matemáticas, Física y Estadística
Universidad de La Sabana
16 de julio de 2017
PreCálculo Competencias Numéricas

3. Competencias
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Operaciones
Denición: Número Racional
Es el que expresa una o varias partes iguales de la unidad principal.
Un fraccionario consta de 2 términos, llamados numerador y denominador.
Denominador: Indica en cuántas partes iguales se ha dividido la unidad
principal.
Numerador: Indica cuántas de esas partes se han tomado.
Ejemplo: Números Racionales
En la imagen se observa que la gura
ha sido dividida en 8 partes iguales
(denominador 8), de las cuales se han
tomado 5 (numerador 5), lo anterior se
escribe como:
5
8
Uso en contexto: Números
Racionales
La torta consta de 4 partes iguales, se
ha tomado 1.PreCálculo Competencias Numéricas

4. Competencias
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Razonamiento Abstracto
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Repartos Proporcionales
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Denición: Fracciones Homogeneas
Un par de fracciones se denominan homogeneas, si tienen el mismo
denominador.
a
b
homegenea con
c
b
Ejemplos
Las anteriores fracciones representan de izquierda a derecha:
2
6
,
3
6
y
4
6
La cuales se pueden escribir como:
1
3
,
1
2
y
2
3
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5. Competencias
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Razonamiento Abstracto
Regla de tres
Repartos Proporcionales
Operaciones
Suma y resta: Fracciones Homogenas
El proceso para sumar y/o restar fracciones homogeneas es como se describe a
continuación:
a
b
+
c
b
=
a + c
b
a
b
−
c
b
=
a − c
b
Ejemplo
Sean las fracciones
4
3
y
7
3
, se tiene:
7
3
+
4
3
=
7 + 4
3
=
11
3
4
3
−
7
3
=
4 − 7
3
=
−3
3
= −1
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6. Competencias
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co
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Abstracto
Regla de
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Repartos
Propor-
cionales
Números Racionales
Ecuaciones Lineales
Razonamiento Algebraico
Razonamiento Abstracto
Regla de tres
Repartos Proporcionales
Operaciones
Suma y resta: Fracciones Heterogeneas
El proceso para sumar y/o restar fracciones heterogeneas es como se describe
a continuación:
a
b
+
c
d
=
ad + bc
bd
a
b
−
c
d
=
ad − bc
bd
Ejemplo
Sean las fracciones
7
5
y
8
9
, se tiene:
8
9
+
7
5
=
40 + 63
45
=
103
45
7
5
−
8
9
=
63 − 40
45
=
23
45
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Ecuaciones Lineales
Razonamiento Algebraico
Razonamiento Abstracto
Regla de tres
Repartos Proporcionales
Operaciones
Producto
El proceso para multiplicar fracciones, sean estas homogeneas o heterogeneas
es como se describe a continuación:
a
b
∗
c
d
=
ac
bd
Ejemplo
Sean las fracciones
2
7
y
3
2
, se tiene:
2
7
∗
3
2
=
6
14
=
3
7
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Ecuaciones Lineales
Razonamiento Algebraico
Razonamiento Abstracto
Regla de tres
Repartos Proporcionales
Operaciones
Cociente
El proceso para dividir fracciones, sean estas homogeneas o heterogeneas es
como se describe a continuación:
a
b
÷
c
d
=
ad
bc
Ejemplo
Sean las fracciones
3
5
y
4
11
, se tiene:
3
5
÷
4
11
=
44
15
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9. Competencias
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Abstracto
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Ecuaciones Lineales
Razonamiento Algebraico
Razonamiento Abstracto
Regla de tres
Repartos Proporcionales
Solución
Denición: Ecuación Algebraica
Una ecuación se denomina algebraica en la variable x si contiene expresiones
algebraicas en esta variable, tales como polinomios expresiones racionales,
radicales y otros. Ésta se denomina condicional si existen valores para x en el
conjunto de los números reales que hagan que esta no sea cierta.
Denición: Ecuación Lineal en x
Se denomina ecuación lineal en x a la ecuación que se puede escribir de la
forma:
ax + b = 0 donde a = 0, a, b ∈ R
Ejemplo: Ecuación Lineal en x
15x + 4 = 2 − 6x
Expresión Algebraica 1: 15x + 4
Expresión Algebraica 2: 6 − 6x
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10. Competencias
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co
Razonamiento
Abstracto
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Repartos
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Ecuaciones Lineales
Razonamiento Algebraico
Razonamiento Abstracto
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Repartos Proporcionales
Solución
Proceso de Solución
A continuación se describe el proceso de solución de una ecuación lineal:
3x − 5
4
=
7 − 2x
3
4 ∗
3x − 5
4
= 4 ∗
7 − 2x
3
3x − 5 =
28 − 8x
3
3 ∗ (3x − 5) = 3 ∗
28 − 8x
3
9x − 15 = 28 − 8x
9x − 15 + 15 = 28 − 8x + 15
9x = 43 − 8x
9x + 8x = 43 − 8x + 8x
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11. Competencias
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PreCálculo
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Ecuaciones
Lineales
Solución
Razonamiento
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co
Razonamiento
Abstracto
Regla de
tres
Repartos
Propor-
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Números Racionales
Ecuaciones Lineales
Razonamiento Algebraico
Razonamiento Abstracto
Regla de tres
Repartos Proporcionales
Solución
Proceso de Solución
A continusción se describe el proceso de solución de una ecuación lineal:
17x = 43
17x
17
=
43
17
x =
43
17
Se obtuvo el valor de x que satisface la igualdad de expresiones algebraicas
dadas, denominada Ecuación.
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12. Competencias
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Razonamiento
Abstracto
Regla de
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Repartos
Propor-
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Números Racionales
Ecuaciones Lineales
Razonamiento Algebraico
Razonamiento Abstracto
Regla de tres
Repartos Proporcionales
Uso en el módulo
El Razonamiento Algebraico en este módulo se enfocará hacía el despeje de
variables en fórmulas matemáticas de uso generalizado, para la práctica de
jerarquización de operaciones.
Denición
El razonamiento algebraico implica representar, generalizar y formalizar
patrones y regularidades en cualquier aspecto de las matemáticas. A medida
que se desarrolla este razonamiento, se va progresando en el uso del lenguaje y
el simbolismo necesario para apoyar y comunicar el pensamiento algebraico,
especialmente las ecuaciones, las variables y las funciones. Este tipo de
razonamiento está en el corazón de las matemáticas concebida como la ciencia
de los patrones y el orden, ya que es difícil encontrar un área de las
matemáticas en la que formalizar y generalizar no sea central.
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13. Competencias
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Razonamiento
Abstracto
Regla de
tres
Repartos
Propor-
cionales
Números Racionales
Ecuaciones Lineales
Razonamiento Algebraico
Razonamiento Abstracto
Regla de tres
Repartos Proporcionales
Ejemplo
Despeje de la siguiente fórmula la variable V0
V 2
f = V 2
0 + 2ax
Proceso
V 2
f = V 2
0 + 2ax
V 2
f − 2ax = V 2
0
V 2
f − 2ax = V0
V0 = V 2
f − 2ax
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14. Competencias
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Lineales
Solución
Razonamiento
Algebrai-
co
Razonamiento
Abstracto
Regla de
tres
Repartos
Propor-
cionales
Números Racionales
Ecuaciones Lineales
Razonamiento Algebraico
Razonamiento Abstracto
Regla de tres
Repartos Proporcionales
Denición: Razonamiento Abstracto.
Capacidad o aptitud para resolver problemas lógicos, deduciendo ciertas
consecuencias de la situación planteada.
Ejemplo: Razonamiento Abstracto
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Razonamiento
Abstracto
Regla de
tres
Repartos
Propor-
cionales
Números Racionales
Ecuaciones Lineales
Razonamiento Algebraico
Razonamiento Abstracto
Regla de tres
Repartos Proporcionales
Denición: Aplicaciones de la proporcionalidad
La regla de tres es una operación que tiene por objeto hallar el cuarto término
de una proporción, cuando se conocen 3.
Puede ser simple o compuesta.
Denición: Regla de tres simple
La regla de tres se denomina simple cuando en ella solamente intervienen 2
magnitudes.
Denición: Regla de tres compuesta
La regla de tres se denomina compuesta cuando en ella intervienen 3 o más
magnitudes.
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Lineales
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co
Razonamiento
Abstracto
Regla de
tres
Repartos
Propor-
cionales
Números Racionales
Ecuaciones Lineales
Razonamiento Algebraico
Razonamiento Abstracto
Regla de tres
Repartos Proporcionales
Regla de tres simple directa
Si 4 libros cuestan $8, ¾Cuánto costarán 15 libros?
Supuesto: 4 libros cuestan $8
Pregunta: ¾Cuánto costarán 15 libros?
1 libro costará
$8
4
= $2, 15 libros costarán 15 ∗ $2 = $30.
Regla de tres simple inversa
4 hombres hacen una obra en 12 días, ¾En cuántos días podrán hacer la
misma obra 7 hombres?
Supuesto: 4 hombres hacen una obra en 12 días
Pregunta: ¾En cuántos días podrán hacer la misma obra 7 hombres?
1 hombres hace
1
4
de la obra en 12 días, por tanto realizará
1
4
÷ 12 cada día
que corresponde a
1
48
.
7 hombres realizarán cada día 7 ∗ 1
48
= 7
48
, de donde se puede plantear:
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17. Competencias
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Razonamiento
Abstracto
Regla de
tres
Repartos
Propor-
cionales
Números Racionales
Ecuaciones Lineales
Razonamiento Algebraico
Razonamiento Abstracto
Regla de tres
Repartos Proporcionales
Solución
7
48
x = 1
x =
48
7
x = 6
6
48
Regla de tres compuesta
3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obra en 10
días. ¾Cuántos días necesitarán 5 hombres, trabajando 6 horas diarias, para
hacer 60 metros de la misma obra?
Supestos: 3 hombres 8 horas diarias, 80 metros 10 días.
Pregunta: 5 hombres 6 horas diarias, 60 metros x días.
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Razonamiento
Abstracto
Regla de
tres
Repartos
Propor-
cionales
Números Racionales
Ecuaciones Lineales
Razonamiento Algebraico
Razonamiento Abstracto
Regla de tres
Repartos Proporcionales
Soución
• 3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obra
en 10 días, 1 hombre tardará 3 veces más y 5 hombres, 5 veces menos:
10×3
5
días.
• Si trabajaran una hora diaria, tardarían 8 veces más y trabajando 6 horas
diarias, tardaría 6 veces menos:
10×3×8
5×6
días.
• Si en lugar de hacer 80 metros hicieran 1 metro, tardarían 80 veces
menos y para hacer 60 metros tardaría 60 veces más:
10×3×8×60
5×6×80
días.
Luego
x =
10 × 3 × 8 × 60
5 × 6 × 80
= 6
Por tanto, serán 6 días.
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19. Competencias
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Repartos Proporcionales
Dención: Reparto proporcional.
Dividir un número en partes proporcionales a otros varios.
Regla: Para repartir un número en partes proporcionales a otros varios se
multiplica el número que se quiere repartir por cada uno de los otros números
y se divide entre la suma de éstos.
Dención: Clases de Reparto proporcional.
• Reparto proporcional directo: Repartir un número en partes directamente
proporcionales a varios números.
Se multiplica el número que se quiere repartir por cada uno de los otros
números y se divide entre la suma de éstos.
• Reparto proporcional inverso: Repartir un número en partes inversamente
proporcionales a varios números.
Se invierten los números dados y se reparte el número que se quiere
dividir en partes directamente proprcionales a estos inversos.
• Reparto Compuesto: Es aquel en el que hay que repartir una cantidad en
partes proporcionales a varios números.
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