Método de los Momentos

1. Método de los Momentos
Prof. A. Zozaya, Dr.
1Laboratorio de Electromagnetismo Aplicado (LABEMA)
Departmento de Electrónica y Comunicaciones
Universidad de Carabobo
Valencia, dic/2009
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 1 / 11

2. Contenido
Introducción
Operadores integrales
Función de Green
Ecuaciones integrales
Método de los Momentos –MoM–
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 2 / 11

3. Introducción
Introducción
Dados las funciones vectoriales u, con u 2 U,
y v, con v 2 V, siendo U y V sendos espacios
vectoriales de funciones, se define L : U ! V, tal
que:
Lu = v
donde u se desconoce y v es conocida.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 3 / 11

4. Introducción
Introducción
Dados las funciones vectoriales u, con u 2 U,
y v, con v 2 V, siendo U y V sendos espacios
vectoriales de funciones, se define L : U ! V, tal
que:
Lu = v
donde u se desconoce y v es conocida.
U es el subespacio dominio y V el subespacio rango.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 3 / 11

5. Introducción
Introducción
Dados las funciones vectoriales u, con u 2 U,
y v, con v 2 V, siendo U y V sendos espacios
vectoriales de funciones, se define L : U ! V, tal
que:
Lu = v
donde u se desconoce y v es conocida.
U es el subespacio dominio y V el subespacio rango.
Si ambos subespacios coinciden, L es denominado efectivamente un
operador, en caso contrario, L se denomina mapeo.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 3 / 11

6. Introducción
Introducción
Dados las funciones vectoriales u, con u 2 U,
y v, con v 2 V, siendo U y V sendos espacios
vectoriales de funciones, se define L : U ! V, tal
que:
Lu = v
donde u se desconoce y v es conocida.
U es el subespacio dominio y V el subespacio rango.
Si ambos subespacios coinciden, L es denominado efectivamente un
operador, en caso contrario, L se denomina mapeo.
En palabras llanas: L transforma u en v.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 3 / 11

7. Introducción
Introducción
Dados las funciones vectoriales u, con u 2 U,
y v, con v 2 V, siendo U y V sendos espacios
vectoriales de funciones, se define L : U ! V, tal
que:
Lu = v
donde u se desconoce y v es conocida.
U es el subespacio dominio y V el subespacio rango.
Si ambos subespacios coinciden, L es denominado efectivamente un
operador, en caso contrario, L se denomina mapeo.
En palabras llanas: L transforma u en v.
Otros ejemplos:
»
rˆ |!—
`(|! + ff) rˆ
–
| {z }
L
„
E
H
«
| {z }
u
=
„
`Mi
Ji
«
| {z }
v
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 3 / 11

8. Operadores integrales
Operadores integrales
Para nosotros especial atención merecen los op-
eradores integrales.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 4 / 11

9. Operadores integrales
Operadores integrales
Para nosotros especial atención merecen los op-
eradores integrales.
Un operador integral tiene en general la forma
siguiente:
v(r) = L [u(r0
)] =
Z
V 0
K(r; r0
)
| {z }
Kernel
u(r0
) d 0
Si el Kernel puede ser escrito en la forma: K(r; r0
) = K(r `r0
), entonces
el operador L se convierte en una integral de convolución:
Lu = K ˜ u
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 4 / 11

10. Operadores integrales
Operadores integrales
Para nosotros especial atención merecen los op-
eradores integrales.
Un operador integral tiene en general la forma
siguiente:
v(r) = L [u(r0
)] =
Z
V 0
K(r; r0
)
| {z }
Kernel
u(r0
) d 0
Si el Kernel puede ser escrito en la forma: K(r; r0
) = K(r `r0
), entonces
el operador L se convierte en una integral de convolución:
Lu = K ˜ u
En electromagnetismo el Kernel es una función de Green:
K(r; r0
) = G(r; r0
)
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 4 / 11

11. Función de Green
Función de Green
La función de Green se puede in-
terpretar como la respuesta impulsiva
del sistema descrito por el operador
inverso de L.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 5 / 11

12. Función de Green
Función de Green
La función de Green se puede in-
terpretar como la respuesta impulsiva
del sistema descrito por el operador
inverso de L.
En electromagnetismo tal sistema
consiste en el medio en el que se
manifiestan los efectos (los campos)
de las fuentes, generalmente desig-
nadas por u(r0
).
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 5 / 11

13. Función de Green
Función de Green
La función de Green se puede in-
terpretar como la respuesta impulsiva
del sistema descrito por el operador
inverso de L.
En electromagnetismo tal sistema
consiste en el medio en el que se
manifiestan los efectos (los campos)
de las fuentes, generalmente desig-
nadas por u(r0
).
Las fuentes se manifiestan a través de los campos v(r).
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 5 / 11

14. Función de Green
Función de Green
La función de Green se puede in-
terpretar como la respuesta impulsiva
del sistema descrito por el operador
inverso de L.
En electromagnetismo tal sistema
consiste en el medio en el que se
manifiestan los efectos (los campos)
de las fuentes, generalmente desig-
nadas por u(r0
).
Las fuentes se manifiestan a través de los campos v(r).
La apariencia matemática de la función de Green depende en general,
de los postulados que describen la relación entre las fuentes u(r0
) y los
campos v(r), y de la geometría tanto de la distribución de fuentes como
de los medios que participan y de la constitución de éstos.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 5 / 11

15. Ecuaciones integrales
Ecuaciones integrales
Las ecuaciones integrales se pueden clasificar de la siguiente manera
[Tri57]:
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 6 / 11

16. Ecuaciones integrales
Ecuaciones integrales
Las ecuaciones integrales se pueden clasificar de la siguiente manera
[Tri57]:
Fredholm del primer tipo:
Lu = v (1)
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 6 / 11

17. Ecuaciones integrales
Ecuaciones integrales
Las ecuaciones integrales se pueden clasificar de la siguiente manera
[Tri57]:
Fredholm del primer tipo:
Lu = v (1)
Fredholm del segundo tipo:
Lu + u = v
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 6 / 11

18. Ecuaciones integrales
Ecuaciones integrales
Las ecuaciones integrales se pueden clasificar de la siguiente manera
[Tri57]:
Fredholm del primer tipo:
Lu = v (1)
Fredholm del segundo tipo:
Lu + u = v
En electromagnetismo nos encontraremos con ambas: con la ecuación
integral del campo eléctrico –EFIE–, la cual es del primer tipo, y
la ecuación integral del campo magnético –MFIE–, la cual es del
segundo tipo.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 6 / 11

19. Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
La solución numérica de la Ecuación (1) –que
significa calcular o estimar la función u– se
puede obtener [Har68]:
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 7 / 11

20. Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
La solución numérica de la Ecuación (1) –que
significa calcular o estimar la función u– se
puede obtener [Har68]:
Dada una base vectorial de funciones com-
pleta ffng del espacio vectorial U, proyectamos
la función u sobre dicha base vectorial de fun-
ciones:
u =
P
n ¸nfn
donde los coeficientes f¸ng son, precisamente,
las coordenadas de u respecto de ffng.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 7 / 11

21. Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
La solución numérica de la Ecuación (1) –que
significa calcular o estimar la función u– se
puede obtener [Har68]:
Dada una base vectorial de funciones com-
pleta ffng del espacio vectorial U, proyectamos
la función u sobre dicha base vectorial de fun-
ciones:
u =
P
n ¸nfn
donde los coeficientes f¸ng son, precisamente,
las coordenadas de u respecto de ffng.
Como el conjunto ffng contiene, en general, infinitos elementos, aprox-
imamos la función u en la ecuación anterior tomando solo N elementos
de ffng –primera aproximación–:
u =
PN
n=1 ¸nfn
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 7 / 11

22. Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
Se dice que u ha sido expandida en una suma
ponderada de funciones bases fn.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 8 / 11

23. Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
Se dice que u ha sido expandida en una suma
ponderada de funciones bases fn.
Definimos un conjunto de funciones de peso
fwmg, con m = 1; 2; : : : ; N.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 8 / 11

24. Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
Se dice que u ha sido expandida en una suma
ponderada de funciones bases fn.
Definimos un conjunto de funciones de peso
fwmg, con m = 1; 2; : : : ; N.
Tales funciones podrían constituir, o no
[Sar85], una base vectorial de funciones del sube-
spacio V.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 8 / 11

25. Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
Se dice que u ha sido expandida en una suma
ponderada de funciones bases fn.
Definimos un conjunto de funciones de peso
fwmg, con m = 1; 2; : : : ; N.
Tales funciones podrían constituir, o no
[Sar85], una base vectorial de funciones del sube-
spacio V.
Realizando N productos internos: ha; bi =
R T
0
ab˜
dt (segunda aproximación):
hwm; Lui = hwm; vi m = 1; 2; : : : N
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 8 / 11

26. Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
Se dice que u ha sido expandida en una suma
ponderada de funciones bases fn.
Definimos un conjunto de funciones de peso
fwmg, con m = 1; 2; : : : ; N.
Tales funciones podrían constituir, o no
[Sar85], una base vectorial de funciones del sube-
spacio V.
Realizando N productos internos: ha; bi =
R T
0
ab˜
dt (segunda aproximación):
hwm; Lui = hwm; vi m = 1; 2; : : : N
Intercambiamos los operadores L $
P
:
hwm; L
PN
n=1 ¸nfni = hwm; vi m = 1; 2; : : : N
hwm;
PN
n=1 ¸nLfni = hwm; vi m = 1; 2; : : : N
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 8 / 11

27. Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
Intercambiamos los operadores h i $
P
:
NX
n=1
¸nhwm; Lfni = hwm; vi m = 1; 2; : : : N (2)
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 9 / 11

28. Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
Intercambiamos los operadores h i $
P
:
NX
n=1
¸nhwm; Lfni = hwm; vi m = 1; 2; : : : N (2)
Expandimos la Ecuación (2) en la forma:
¸1 hw1; Lf1i + ¸2 hw1; Lf2i + ´ ´ ´ + ¸N hw1; LfN i = hw1; vi
¸1 hw2; Lf1i + ¸2 hw2; Lf2i + ´ ´ ´ + ¸N hw2; LfN i = hw2; vi
... =
...
¸1 hwN ; Lf1i + ¸2 hwN ; Lf2i + ´ ´ ´ + ¸N hwN ; LfN i = hwN ; vi
(3)
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 9 / 11

29. Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
Escribimos la Ecuación (3) en forma matricial:
0
B
B
B
@
hw1; Lf1i hw1; Lf2i ´ ´ ´ hw1; LfN i
hw2; Lf1i hw2; Lf2i ´ ´ ´ hw2; LfN i
...
...
...
...
hwN ; Lf1i hwN ; Lf2i ´ ´ ´ hwN ; LfN i
1
C
C
C
A
0
B
B
B
@
¸1
¸2
...
¸N
1
C
C
C
A
=
0
B
B
B
@
hw1; vi
hw2; vi
...
hwN ; vi
1
C
C
C
A
(4)
En forma compacta:
[Z][¸] = [V ]
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 10 / 11

30. Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
Escribimos la Ecuación (3) en forma matricial:
0
B
B
B
@
hw1; Lf1i hw1; Lf2i ´ ´ ´ hw1; LfN i
hw2; Lf1i hw2; Lf2i ´ ´ ´ hw2; LfN i
...
...
...
...
hwN ; Lf1i hwN ; Lf2i ´ ´ ´ hwN ; LfN i
1
C
C
C
A
0
B
B
B
@
¸1
¸2
...
¸N
1
C
C
C
A
=
0
B
B
B
@
hw1; vi
hw2; vi
...
hwN ; vi
1
C
C
C
A
(4)
En forma compacta:
[Z][¸] = [V ]
donde Z es es la matriz del sistema (N ˆ N), corrientemente
denominada matriz de impedancias, con Zmn = hwm; Lfni,
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 10 / 11

31. Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
Escribimos la Ecuación (3) en forma matricial:
0
B
B
B
@
hw1; Lf1i hw1; Lf2i ´ ´ ´ hw1; LfN i
hw2; Lf1i hw2; Lf2i ´ ´ ´ hw2; LfN i
...
...
...
...
hwN ; Lf1i hwN ; Lf2i ´ ´ ´ hwN ; LfN i
1
C
C
C
A
0
B
B
B
@
¸1
¸2
...
¸N
1
C
C
C
A
=
0
B
B
B
@
hw1; vi
hw2; vi
...
hwN ; vi
1
C
C
C
A
(4)
En forma compacta:
[Z][¸] = [V ]
donde Z es es la matriz del sistema (N ˆ N), corrientemente
denominada matriz de impedancias, con Zmn = hwm; Lfni,
¸ es el vector de pesos incógnita (N ˆ 1), con ¸n = ¸n, y
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 10 / 11

32. Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
Escribimos la Ecuación (3) en forma matricial:
0
B
B
B
@
hw1; Lf1i hw1; Lf2i ´ ´ ´ hw1; LfN i
hw2; Lf1i hw2; Lf2i ´ ´ ´ hw2; LfN i
...
...
...
...
hwN ; Lf1i hwN ; Lf2i ´ ´ ´ hwN ; LfN i
1
C
C
C
A
0
B
B
B
@
¸1
¸2
...
¸N
1
C
C
C
A
=
0
B
B
B
@
hw1; vi
hw2; vi
...
hwN ; vi
1
C
C
C
A
(4)
En forma compacta:
[Z][¸] = [V ]
donde Z es es la matriz del sistema (N ˆ N), corrientemente
denominada matriz de impedancias, con Zmn = hwm; Lfni,
¸ es el vector de pesos incógnita (N ˆ 1), con ¸n = ¸n, y
V es el vector columna de valores conocidos (N ˆ 1), con
Vm = hwm; vi.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 10 / 11

33. Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
Escribimos la Ecuación (3) en forma matricial:
0
B
B
B
@
hw1; Lf1i hw1; Lf2i ´ ´ ´ hw1; LfN i
hw2; Lf1i hw2; Lf2i ´ ´ ´ hw2; LfN i
...
...
...
...
hwN ; Lf1i hwN ; Lf2i ´ ´ ´ hwN ; LfN i
1
C
C
C
A
0
B
B
B
@
¸1
¸2
...
¸N
1
C
C
C
A
=
0
B
B
B
@
hw1; vi
hw2; vi
...
hwN ; vi
1
C
C
C
A
(4)
En forma compacta:
[Z][¸] = [V ]
donde Z es es la matriz del sistema (N ˆ N), corrientemente
denominada matriz de impedancias, con Zmn = hwm; Lfni,
¸ es el vector de pesos incógnita (N ˆ 1), con ¸n = ¸n, y
V es el vector columna de valores conocidos (N ˆ 1), con
Vm = hwm; vi.
Y el vector de incógnitas se puede despejar como:
[¸] = [Z]`1
[V ]
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 10 / 11

34. Método de los Momentos –MoM–
Referencias I
R. F. Harrington.
Field Computation by Moment Methods.
MacMillan, U.S.A., New York, 1968.
T. K. Sarkar.
A note on the choice weighting functions in the method of moments.
Antennas and Propagation, IEEE Transactions on, 33(4):436–441,
April 1985.
F. G. Tricomi.
Integral Equations.
Interscience Publishers, Inc., 1957.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 11 / 11