El documento trata sobre la lógica matemática. Explica que la lógica matemática estudia los sistemas formales y su relación con conceptos matemáticos como conjuntos y números. Se divide en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. También explica conceptos como proposiciones simples y compuestas, conectivos lógicos, tautologías, leyes como la doble negación y métodos de demostración como el direct

1. I.E.T. ALBERTO SANTOFIMIO CAICEDO
TRABAJO SOBRE LA “LÓGICA MATEMÁTICA”
PRESENTADO POR: ALEJANDRA HENAO RÍOS
PRESENTADO A: JAVIER FRANCISCO GÓNGORA
GRADO: 10-01 J.T
ÁREA: LÓGICA MATEMÁTICA
IBAGUÉ-TOLIMA
2017

2. LÓGICA MATEMÁTICA
1). Concepto de Lógica Matemática.
R/:
También llamada lógica simbólica, lógica teorética, lógica formal,
o logística,1
es partetanto de la lógica y como de la matemática, y consisteen
el estudio matemático de la lógica, y en la aplicación de dicho estudio a otras
áreas de la matemática y de las ciencias. Estudia los sistemas formales en
relación con el modo en el que codifican o definen nociones intuitivas de
objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones,
y algoritmos, utilizando un lenguaje formal. Se suele dividir en cuatro
subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de
conjuntos y teoríade larecursión. La lógicamatemática no es la «lógicade las
matemáticas» sino la «matemática de la lógica». Incluyeaquellas partes de la
lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente. La lógica
matemática comprende dos áreas de investigación distintas: la primera es la
aplicación de las técnicas de la lógica formal a las matemáticas y el
razonamiento matemático y la segunda, en la otra dirección, la aplicación de
técnicas matemáticas a la representación y el análisis de la lógica formal.
2). Definición y clases de proposiciones.
R/:
Es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental,
la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un
argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para
demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no
LÓGICA MATEMÁTICA
LÓGICA MATEMÁTICA

3. correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar
conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana,
para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma
constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.
CLASES DE PROPOSICIONES
Existen dos clases de proposiciones:
 PROPOSICIONES SIMPLES: También denominadas proposiciones
atómicas. Son aquellas proposiciones queno sepueden dividir. Carecen
de conjunciones gramaticales típicas conectivas (“y”, “o”,
“sí…entonces”, “síy sólo sí”) o del adverbio de negación NO. Pueden ser
Predicativas o Relacionales.
Ej: -El 9 y el 27 son factores del 81.
-Los números pares son divisibles por dos.
-La tierra es plana.
-El número 1 es un número natural.
 PROPOSICONESCOMPUESTAS:Tambiéndenominadasmoleculares.Son
aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples
unidas por los operadores lógicos. Contienen alguna conjunción

4. gramatical típica o conectiva o el adverbio negativo “NO”. Estas se
clasifican en: Conjuntivas, Disyuntivas, Condicionales y Bicondicionales.
Ej: -La suma de los cuadrados deambos catetos es igual al cuadrado de
la hipotenusa, sise trata de un triángulo rectángulo.
-El 9 es divisor del 45, y el 3 es divisor del 9 y del 45.
-El número 6 es mayor que el 3 y menor que el 7.
3). Conectivos lógicos enproposiciones compuestas.
R/: Son, Negación (~), Disyunción (∨), Conjunción (∧), Condicionante
(→) y Bicondicionante (↔).
 NEGACIÓN: La negación de una proposición es una nueva proposición
que tiene un valor de verdad opuesto a la proposición original. Es decir,
si el valor de verdad de una proposición p es verdadero, entonces el
valor de verdad de ~p es falso.
p ~p
V F

5. F V
 DISYUNCIÓN: La disyunción es la proposición compuesta queresulta de
conectar dos proposiciones, p y q, mediante el conectivo ∨.
Esta proposición compuesta de denota por p ∨ q y se lee p o q.
p q 𝒑 ∨ 𝒒
V V V
V F V
F V V
F F F
 CONJUNCIÓN: La conjunción es la proposición compuesta que resulta
de conectar dos proposiciones, p y q, mediante el conectivo ∧.
Esta proposición compuesta de denota por 𝑝 ∧ 𝑞 y se lee p y q.
p q 𝒑 ∧ 𝒒
V V V

6. V F F
F V F
F F F
 CONDICIONANTE: La condicional es la proposición compuesta que
resulta de conectar dos proposiciones, p y q, mediante el conectivo →.
Esta proposición compuesta de denota por 𝑝 → 𝑞 y se lee p implica q.
En esta proposición compuesta, la proposición simple p se
llama antecedente, mientras que la proposición simple q se
llama consecuente.
p q 𝒑 → 𝒒
V V V
V F F
F V V
F F V
 BICONDICIONANTE: La bicondicional es la proposición compuesta que
resulta de conectar dos proposiciones, p y q, mediante el conectivo ↔.

7. Esta proposición compuesta se denota por 𝑝 ↔ 𝑞 y se lee p si y solo si q.
p q 𝒑 ↔ 𝒒
V V V
V F F
F V F
F F V
4). Proposiciones condicionales.
R/:
El condicional, es un operador que opera sobre dos valores de verdad
devolviendo el valor de verdad falso solo cuando la primera proposición
es verdadera y la segunda falsa y verdadera en cualquier caso.
Se interpreta de la siguiente manera:
𝑝 → 𝑞
Su tabla de verdad es:
p q 𝑝 → 𝑞
0 1 1
0 1 1
0 1 0
0 1 1
PROPOSICIONES CONDICIONALES

8. 5). Proposición bicondicional.
R/:
Es un operador que funciona sobre 2 valores de verdad de 2
proposiciones devolviendo elvalor de verdad verdadero cuando ambas
proposiciones tienen el mismo valor de verdad y falso cuando sus
valores de verdad difieren.
Se interpreta de la siguiente manera:
𝑝 ↔ 𝑞
6). Tautología, equivalencia y contradicción.
R/:
Repetición innecesaria de un pensamiento usando las mismas o
similarespalabrasy que, por tanto, no avanzainformación;fórmulabien
formada que resulta verdadera para cualquier interpretación; es decir,
para cualquier asignación de valores de verdad que se haga a
sus fórmulas atómicas. La construcción de una tabla de verdad es
un método efectivo para determinar si una fórmula cualquiera es una
tautología o no.
Su tabla de verdad es:
p q 𝑝 ↔ 𝑞
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
TAUTOLOGÍA
PROPOSICIÓN BICONDICIONAL

9. EQUIVALENCIA
Relación de igualdad en cantidad, función, valor, potencia o eficacia
entre personas o cosas; En lógica, las
declaraciones p y q son lógicamente equivalentes si tienen el mismo
contenido lógico. Este es un concepto semántico, dos afirmaciones son
equivalentes si tienen el mismo valor de verdad en todos los modelos.
La equivalencia lógica de p y q algunas veces se expresa como 𝑝 ≡ 𝑞,
Epq, o 𝑝 ⇔ 𝑞. Sin embargo, estos símbolos también se usan para
la equivalencia material; su apropiada interpretación depende del
contexto.

10. CONTRADICCIÓN
Acción de contradecir o contradecirse; En lógica, una contradicción es
una incompatibilidad entre dos o más proposiciones. Por ejemplo, las
oraciones «llueve y no llueve» y «ni llueve ni truena, pero llueve y
truena» expresan contradicciones.
En lógica proposicional, una contradicción se define como
una fórmula que resulta falsa para cualquier interpretación, es decir
para cualquier asignación de valores de verdad que se haga a
sus fórmulas atómicas. Por ejemplo, la siguiente tabla demuestra una
contradicción:
7). Leyes notables en lógica.
R/:
 LEY DE DOBLE NEGACIÓN: afirma que "Si un enunciado es verdadero,
entonces no es el caso de que la declaración no es cierta." Esto se
expresadiciendo queunaproposiciónA es lógicamenteequivalente a no
(no-A), o por la fórmula A≡~ (~A) donde el signo ≡ expresa equivalencia

11. lógica y el signo ~ expresa negación. Esto es la negación de la negación
de una proposición.
Ej: Se puede colocar a A con el valor verbal de “es de día”. Colocándola
en función de la fórmula de doble negación se tendría entonces la
siguiente lógica:
A = Es de día
~A = no es de día, es de noche
~ (~A) = resulta falsa la proposición “no es de día, es de noche” por lo
tanto es de día.
Entonces se tendría:
Es de día ≡ ~ (~no es de día, es de noche)
Es de día ≡ no es de noche (Lo cual se leería: la proposición “es de día”
resulta lógicamente equivalente a resulta falso que sea de noche, es de
día).
 LEYES DEIDEMPOTENCIA: la idempotenciaes la propiedad para realizar
una acción determinada varias veces y aun así conseguir el mismo
resultado queseobtendría sise realizaseuna sola vez. Un elemento que
cumple esta propiedad es un elemento idempotente, o
un idempotente. Deesta manera, si un elemento al multiplicarse por sí
mismo sucesivas veces da él mismo, este elemento es idempotente.
Ej: los dos únicos números reales que son idempotentes, para la
operación producto (·), son 0 y 1. (0·0=0,1·1=1).
 LEYES ASOCIATIVAS: establecen que cuando se suma o se multiplica
cualesquiera tres números reales o más, la agrupación o el orden de los
números no altera el resultado; (a + b) + c = a + (b + c).
Ej: (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10 (4 x 2) x 7= 56
(7 x 2) x 4 = 56
(4 x 7) x 2 = 56

12. 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10
(5 + 2) + 3 = 7 + 3 = 10
 LEYES CONMUTATIVAS: establecen queel orden en el cual se suma o se
multiplica dos números reales, no altera el resultado;
a + b = b + a.
Ej: 3 + 5 = 5 + 3 = 8
20 + (–3) = (–3) + 20 = 17
 LEYES DISTRIBUTIVAS: Expresa que se obtiene la misma respuesta
cuando multiplicas un conjunto de números por otro número que
cuando se hace cada multiplicación por separado.
Ej: (2 + 4) × 5 = 2×5 + 4×5.
30 = 30
Como se puede ver al realizar los cálculos 6 × 5 = 30 y 10 + 20 = 30.
Entonces, el "2+4" puede ser "distribuido" entre "por 5" así: 2 por 5 y
4 por 5.
 LEYES DE DE MORGAN: son un par de reglas de transformación queson
ambas reglasde inferencia válidas.Las normaspermiten la expresión de
las conjunciones y disyunciones puramente en términos de vía
negación. Las leyes de De Morgan son un ejemplo de concepto más
general de dualidad matemática.
Las reglas se pueden expresar en español como:
4 x 5 = 20
5 x 4 = 20

13. -La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones.
-La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones.
O informalmente como:
-"no (A y B)" es lo mismo que "(no A) o (no B)"
Y también,
-"no (A o B)" es lo mismo que "(no A) y (no B)"
Las reglas pueden ser expresadas en un lenguaje formal con dos
proposiciones P y Q, de esta forma:
¬( 𝑃 ∧ 𝑄) ⟺ (¬𝑃) ∨ (¬𝑄)
¬( 𝑃 ∨ 𝑄) ⟺ (¬𝑃) ∧ (¬𝑄)
Dónde,
 ¬ es el operador de negación (NO)
 ∧ es el operador de conjunción (Y)
 ∨ es el operador de disyunción (O)
 ⟺ es un símbolo metalógico que significa "puede ser reemplazado en
una prueba lógica".
8). Métodos de demostración.
R/: Existen 3 métodos de demostración que son:
 MÉTODO DIRECTO: Consiste en partir de las premisas (datos) del
teorema y aplicando las reglas de la lógica y la teoría desarrollada,
obtener o llegar a la tesis (conclusión) del teorema después de un
número finito de pasos.

14. El método de demostración directo tiene como fundamento lógico la
regla de inferencia clásica o esquema argumentativo válido llamado:
Modus Ponens [ 𝑃 ∧ ( 𝑃 → 𝑄)] → 𝑄
Que significa: si la hipótesis P es verdadera y la hipótesis P implica la
conclusión Q entonces la conclusión Q es verdadera.
 MÉTODO INDIRECTO: Consiste en negar la tesis del teorema y a partir
de esta proposición y con ayuda de las reglas de la lógica y la teoría
desarrollada encontrar una contradicción respecto a las premisas, una
proposición verdadera o respecto a la suposición. Aquíseinterrumpe el
desarrollopráctico de la demostración,puesto que una proposicióny su
negación no pueden ser verdaderas a un mismo tiempo. Y de aquí se
concluye que la tesis del teorema es verdadera.
Para demostrar un teorema se hace necesario identificar las premisas y
la tesis del teorema; luego si se quiere demostrar una proposición si es
posible, ya que no siempre se puede, expresar está en la forma de una
implicación, lo que permitirá de una manera más fácil obtener las
premisas y la tesis de la proposición a demostrar.
Existen métodos indirectos por contrapositiva y por reducción al
absurdo.

15.  Por Contrapositiva: Tiene como fundamento la equivalencia
lógica entre las proposiciones 𝑃 → 𝑄 y ~𝑄 → ~𝑃; se toma como
hipótesis la negación de la conclusión escrita como ~𝑄 para
obtener como conclusión la negación de la hipótesis escrita como
~𝑃, ello se puede generalizar para el caso que se tengan varias
premisas.
 Por Reducciónal Absurdo:Seatribuye alfilósofo griego Zenón de
la Elea. Para demostrar indirectamente una proposición de la
forma ( 𝑃1 ∧ 𝑃2 ∧ …∧ 𝑃𝑛) → 𝑄 consiste en 1). Asumir que la
condicional es falsa, luego las proposiciones P1, P2,…, Pn y ~𝑄,
son verdaderas. 2). Sedebe llegar a una contradicción, por lo que
la condicional tiene que ser verdadera.
Aristóteles fundamentó lógicamente la demostración por
reducción al absurdo en dos principios: Principio de no
contradicción ~(𝑝 ∧ ~𝑝), que significaqueuna proposiciónno es
verdadera y falsa simultáneamente y el principio del tercero
excluido (𝑝 ∨ ~𝑝), que significa que una proposición es
verdadera o falsa.
Si estos no son aceptados, el método de reducción al absurdo
carece de fundamento lógico.
 MÉTODO POR EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA: es un
principio universalmente válido en matemáticas y es
fundamentalmente uno de los axiomas de los números naturales
construidos por elmatemático italiano G. es utilizado para demostrar la
veracidad de proposiciones p(n) donde n es un número natural mayor
queun valor inicial 𝑛0, el principio de inducción matemática consisteen:
I)- Inicialmente se verifica que la proposición p(n) es verdadera para
n=𝑛0 es decir p (𝑛0) es verdadera.

16. II)- Se enuncia la hipótesis de inducción: p (k) es verdadera para el
número natural k.
III)- Usando la hipótesis de inducción enunciada en (II) y otras
proposiciones verdaderas demostradas anteriormente se demuestra
que p (k+1) es verdadera.
IV)- La conclusión consiste en que p(n) es verdadera para toda n≥ 𝑛0
 MÉTODO POR CONTRAEJEMPLO: Se aplica de manera muy particular
para demostrar la falsedad de proposiciones cuya hipótesis está
construidamediante un “cuantificadoruniversal”.Esto es, seaplicapara
demostrar la falsedad de una preposición que tenga una conclusión
referida para “todos los elementos de un cierto conjunto”.
Ej: