Teoria para taller aplicaciones

1. Facultad de Ingenier´ıa
Departamento de Matem´aticas, F´ısica y Estad´ıstica
C´alculo integral
Aplicaciones
COSTO, INGRESO Y UTILIDAD MARGINALES
Al producir un art´ıculo denotamos la siguientes funciones cuando producimos x unidades
del mismo. C(x) es el costo total de producir x unidades de un art´ıculo, R(x) es la funci´on
de ingreso al vender x unidades y P(x) = R(x) − C(x) es la funci´on de utilidad. Entonces
la funci´on costo marginal es MC(x) = C (x)
la funci´on ingreso marginal es MR(x) = R (x)
la funci´on utilidad marginal es MP(x) = P (x).
CAMBIO NETO
Dada la raz´on de cambio Q (x) de una cantidad Q(x). Definimos el cambio neto de Q(x)
cuando x var´ıa desde x = a hasta x = b como NC=Q(b) − Q(a). Ya que Q(x) es una
antiderivada de Q (x), el teorema fundamental del c´alculo establece que el cambio neto est´a
dado por la integral definida
NC = Q(b) − Q(a) =
b
a
Q (x) dx
EXCESO DE UTILIDAD NETA
Supongase que dentro de t a˜nos dos planes de inversi´on generar´an la utilidad P1(t) y P2(t)
respectivamente, y que las tasas de rentabilidad P1(t) y P2(t) satisfacen P1(t) ≤ P2(t) durante
los primeros N a˜nos, para 0 ≤ t ≤ N. Entonces, la cantidad
E(t) = P2(t) − P1(t)
representa el exceso de utilidad del plan 2 sobre el plan 1 en el tiempo t. El exceso de
utilidad neta es NE = E(N) − E(0) para t, 0 ≤ t ≤ N. As´ı que NE est´a dada por la
integral definida
NE = E(N) − E(0) =
N
0
E (t) dt =
N
0
[P2(t) − P1(t)].

2. Aplicaciones C´alculo Integral P´agina 2 de 6
GANANCIAS NETAS PRODUCIDAS POR EQUIPOS INDUSTRIALES
Las ganancias netas generadas por una m´aquina industrial durante cierto periodo de tiempo
es la diferencia entre el ingreso total generado por la m´aquina y el costo total de operaci´on y
mantenimiento de la misma. La utilidad asociada a la m´aquina despu´es de t a˜nos de funcio-
namiento es P(t) = R(t) − C(t), donde R(t) son los ingresos y C(t) es el costo de operaci´on
y mantenimiento. La tasa de rentabilidad corresponde a las tasa de cambio instant´anea de
P(t), P (t) = R (t) − C (t).
CURVA DE DEMANDA DE LOS CONSUMIDORES Y DISPONIBILIDAD PARA
GASTAR
Al estudiar el comportamiento del consumidor los economistas suponen con frecuencia que
el precio que un consumidor o grupo de consumidores est´a dispuesto a pagar, al comprar
una unidad adicional de cierto art´ıculo, es una funci´on del n´umero de unidades del art´ıculo
que el consumidor o grupo ya ha comprado.
En econom´ıa la funci´on de demanda de los consumidores es una funci´on p = D(q) que
calcula el precio unitario p que los consumidores est´an dispuestos a pagar para obtener la
q-´esima unidad de un art´ıculo. Como se ilustra en la figura siguiente, la funci´on de demanda
de los consumidores p = D(q) generalmente es una funci´on decreciente de q. Es decir, el
precio que los consumidores est´an dispuestos a pagar para obtener una unidad adicional

3. Aplicaciones C´alculo Integral P´agina 3 de 6
disminuye cuando el n´umero de unidades aumenta.
En la gr´afica anterior se modela el comportamiento del precio p al adquirir q unidades adicio-
nales, es decir, D(0) indica el n´umero de unidades adquiridas inicialmente por el consumidor.
La funci´on de demanda de los consumidores p = D(q) tambi´en puede considerarse como
la raz´on de cambio instant´anea de la cantidad total A(q), respecto a q, que los consumidores
est´an dispuestos a gastar por q0 unidades; es decir,
dA
dq q=q0
= D(q0).
Al integrar se encuentra que la cantidad total que los consumidores est´an dispuestos a pagar
por q0 unidades del art´ıculo est´a dada por
A(q0) − A(0) =
q0
0
dA
dq
dq =
q0
0
D(q) dq.
En este contexto, los economistas denominan a A(q) como la disponibilidad total a gas-
tar y D(q) = A (q), la disponibilidad marginal a gastar. En t´erminos geom´etricos, la
disponibilidad total a gastar en q0 unidades es el ´area bajo la curva de demanda p = D(q)
entre q = 0 y q = q0 (ver figura anterior).
EXCEDENTE DE LOS CONSUMIDORES
Si se venden q0 unidades de un art´ıculo a un precio p0 la unidad y si p = D(q) es la funci´on
de demanda de los consumidores del art´ıculo, entonces cada ´area bajo la curva tiene su

4. Aplicaciones C´alculo Integral P´agina 4 de 6
respectivo nombre (ver figuras siguientes).
En particular,
Excedente del
consumidor
=




Cantidad total que
los consumidores
est´an dispuestos a
pagar por q0 unidades



 −


Gasto real del
consumidor
en q0 unidades


CS =
q0
0
D(q) dq − p0q0.

5. Aplicaciones C´alculo Integral P´agina 5 de 6
EXCEDENTE DE LOS PRODUCTORES
Si se venden q0 unidades de un art´ıculo a un valor de p0 la unidad y si p = S(q) es la funci´on
de oferta de los productores del art´ıculo, entonces
Excedente de los
productores
=


Gasto real del
consumidor
por q0 unidades

 −




Cantidad total que
los productores
reciben cuando
se ofrecen q0 unidades




PS = p0q0 −
q0
0
S(q) dq
FLUJO DE SANGRE EN UNA ARTERIA
Los bi´ologos descubrieron que la velocidad de la sangre a trav´es de una arteria es una funci´on
que depende de la distancia de la sangre al eje central de la arteria. De acuerdo con la ley de
Poiseulle, La velocidad (en cent´ımetros por segundo) de la sangre distante a r cent´ımetros
del eje central de la arteria es
S(r) = k(R2
− r2
)

6. Aplicaciones C´alculo Integral P´agina 6 de 6
donde R es el radio de la arteria y k es una constante.
VALOR MEDIO DE UNA FUNCI´ON
El valor medio VM de la funci´on cont´ınua f(x) en el intervalo a ≤ x ≤ b est´a dado por la
integral definida
VM =
1
b − a
b
a
f(x) dx.