Matemática Financiera

FUNDAMENTOS DE
MATEMÁTICA FINANCIERA

2
MATEMÁTICA FINANCIERA
 Valor del dinero en el tiempo
 Valor futuro y valor actual
 Tasas de interés compuesta y simple
 Anualidades
 Inflación y tasas de interés
Temario

3
Corresponde a la rentabilidad que un agente
económico exigirá por no hacer uso del dinero
en el periodo 0 y posponerlo a un periodo
futuro
Valor del dinero en el tiempo
 Sacrificar consumo hoy debe compensarse en el futuro.
 Un monto hoy puede al menos ser invertido en el banco
ganando una rentabilidad.
La tasa de interés (r) es la variable requerida para
determinar la equivalencia de un monto de dinero en dos
periodos distintos de tiempo
La sociedad es un participante más que también tiene
preferencia intertemporal entre consumo e inversión
presente y futura.

4
Periodo 0
(Año 0)
$1.000 $1.100
Si r = 10%
Periodo 1
(Año 1)
Valor del dinero en el tiempo ...continuación...
Ejemplo
Un individuo obtiene hoy un ingreso (Y0) de $1.000 por una sola
vez y decide no consumir nada hoy. Tiene la opción de poner el
dinero en el banco.
a) ¿Cuál será el valor de ese monto dentro de un año si la tasa
rentabilidad o de interés (r) que puede obtener en el banco es de
10% ?
1.000 * (0,1) = 100 (rentabilidad)
100 + 1000 = 1.100 (valor dentro de un año)

5
Valor del dinero en el tiempo ...continuación
Si :
 Sólo hay 2 periodos
 Ingreso sólo hoy (Y0=1.000)
 Puede consumir hoy o en un año
(C0, C1)
 Rentabilidad exigida por no
consumir hoy: r=10%
b) ¿ Cuál sería el monto final disponible para consumir dentro de un
año si consume $200 hoy ?
Si C0=200,
C1=(1000-200)*1,1= 880
Entonces
C1 = (Y0 – C0)*(1+r)
0
200
400
600
800
1.000
1.200
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1.000
Periodo 0
Periodo1
(200, 880)
(500, 550)
(800, 220)
1.100
Consumo total= 200 + 880 = 1.080

6
Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
( )( )( ) ( )3
1111* rVArrrVAVF +=+++=
0 3
VF
Año:
VA
1 2
Si son 3 periodos
Caso General: ( )n
rVAVF += 1*
VALOR
FUTURO
( )rVAVF += 1*
0 1
VFVA
Año:
Sólo 1 periodo
Donde:
r = tasa de interés

7
( ) ( ) ( ) ( )3
11*1*1 r
VF
rrr
VF
VA
+
=
+++
=
0 3
VF
Año:
VA
1 2
Caso 3 periodos
Caso General:
( )n
r
VF
VA
+
=
1
VALOR
ACTUAL
...continuación...
( )r
VF
VA
+
=
1
0 1
VFVA
Año:
Caso 1 periodo
Donde:
r = tasa de interés

8
Ejemplo VF :
a) Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%.
¿Cuál será su valor al final del tercer año?
Año 0: 1.000
Año 1: 1.000 * (1+0,12) = 1.120
Año 2: 1.120 * (1+0,12) = 1.254
Año 3: 1.254 * (1+0,12) = 1.405
VF= 1.000 * (1+0,12)3
= 1.000 * 1,4049 = 1.405
Alternativamente:
...continuación...

9
Ejemplo VA:
b) Si en cuatro años más necesito tener $ 3.300 y la tasa de
interés anual es de 15%.
¿Cuál es el monto que requiero depositar hoy para lograr la meta?
Año 4: 3.300
Año 3: 3.300 / (1+0,15) = 2.869,6
Año 2: 2.869,6 / (1+0,15) = 2.495,3
Año 1: 2.495,3 / (1+0,15) = 2.169,8
Año 0: 2.169,8 / (1+0,15) = 1.886,8
VA= 3.300 / (1+0,15)4
= 1.000 / 1,749 = 1.886,8
Alternativamente:
...continuación

10
Ejemplos VF y
VA:
Caso especial
c) Si los $1.000 de hoy equivalen a $1.643 al final del año 3.
¿Cuál será la tasa de interés anual relevante?
...continuación
VF= 1.000 * (1+r)3
= 1.643
(1+r)3
= 1,64
(1+r) = (1,64)1/3
1+r = 1,18
r = 0,18

11
Tasas de interés compuesta y simple
Tasa de interés compuesta
Corresponde al mismo concepto asociado a la conversión de un
valor actual (VA) en un valor final (VF) y viceversa.
El monto inicial se va capitalizando periodo a periodo, así por
ejemplo, luego del primer periodo se suma el capital más los
intereses ganados y este total es el que gana intereses para un
segundo periodo.
( )n
rVAVF += 1*
VF = Monto capitalizado (valor final)
VA = Inversión inicial (valor actual)
r = tasa de interés del periodo
n = número de períodos
(1+r) n : Factor de capitalización
{
( )n
r
VF
VA
+
=
1 { : Factor de descuento
1
(1+r) n

12
Tasa de interés
simpleConcepto poco utilizado en el cálculo financiero, es de fácil
obtención, pero con deficiencias por no capitalizar la inversión
periodo a periodo.
El capital invertido es llevado directamente al final sin que se
capitalice periodo a periodo con los intereses ganados
)*1(* nrVAVF +=
VF = Monto acumulado (valor final)
VA = Inversión inicial (valor actual)
r = tasa de interés del periodo
n = número de períodos
(1+r*n) : Factor acumulación
simple
{
( )nr
VF
VA
*1+
=
{ : Factor descuento simple
1
(1+r*n)
...continuación...

13
Ejemplo tasa interés compuesta versus tasa interés
simple
Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%.
¿Cuál será su valor al final del tercer año?
Con tasa interés compuesta:
C = 1.000 * (1+0,12)3
= 1.000 * 1,4049 = 1.405
Con tasa interés simple:
C = 1.000 * (1+0,12*3) = 1.000 * 1,36 = 1.360
1000 14051120 1254
1+r 1+r 1+r
1000 1360
1+r*3
...continuación...
Intereses ganados:
Año 1: $ 120
Año 2: $ 134
Año 3: $ 151
Intereses ganados:
Año 1: $ 120
Año 2: $ 120
Año 3: $ 120

14
Tasa de interés
equivalenteSi se tiene una tasa de interés anual ra , la tasa de
interés mensual equivalente rm, puede ser calculada
usando las siguientes expresiones:
12
rr a
m =
( ) 11 12
1
−+= am
rrCon interés compuesto:
Con interés simple:
Este ejemplo se hace extensivo a cualquier unidad de
tiempo.
...continuación

15
Anualidades
Considere un flujo (F1) (anualidad) por montos iguales
que se paga al final de todos los años por un período de
tiempo n a una tasa r
0 1 2 3 n-1 n
F1 F1 F1 F1 F1
Año:
Flujos
Actualizados:
F1
(1+r)
F1
(1+r)2
F1
(1+r)3
F1
(1+r)n-1
F1
(1+r)n

16
El Valor Actual de esa anualidad (F1) que implica la
suma de todos esos flujos actualizados al momento 0 se
define como:
n
n
rr
r
F
)1(*
1)1(
*1
+
−+
=
Anualidades ...continuación...
r
r
FVA
n−
+−
=
)1(1
*1
=
+
++
+
+
+
= n
r
F
r
F
r
FVA
)1(
1
*1...
)1(
1
*1
)1(
1
*1 2

17
Como contrapartida al valor actual de un flujo se tiene:
El Valor Final de una anualidad (F1) que implica la suma
de todos esos flujos llevados al periodo n y se define
como:
r
r
FVF
n
1)1(
*1
−+
=
=++
−
+++= 1...
1
)1(*1)1(*1 F
n
rF
n
rFVF

18
Ejemplo anualidad:
Suponga usted pagó cuotas mensuales de $250.000 por la
compra de un auto durante 2 años (24 meses) a una tasa de 1%
mensual.
¿ Cuál fue el valor del préstamo?
508.186.3
01,0
)01,01(1
*000.250
24
=
+−
=
−
VA

19
Ejemplo anualidad:
Suponga usted trabajará durante 30 años, su cotización en la
AFP será de $20.000 mensuales, si la AFP le ofrece una
rentabilidad mensual de 0,5%
¿ Cuál será el monto que tendrá su fondo al momento de
jubilar?
301.090.20
005,0
1)005,01(
*000.20
360
=
−+
=VF

20
Ejemplo anualidad:
Suponga usted comprará una casa que vale hoy $20.000.000 y
solicita al banco un crédito por el total del valor a 15 años plazo
(180 meses). La tasa de interés es de 0,5% mensual.
¿ Cuál deberá ser el valor del dividendo mensual ?
r
r
FVA
n−
+−
=
)1(1
*1
Si: Entonces: n
r
r
VAF −
+−
=
)1(1
*1
Así: 771.168
)005,1(1
005,0
*000.000.20 1801 =
−
= −
F

21
Anualidades
Perpetuidad
Considérese un flujo (F1) (anualidad) por montos iguales
que se paga a perpetuidad.
Perpetuidad corresponde a un periodo de tiempo lo
suficientemente grande para considerar los flujos finales
como poco relevantes dado que al descontarlos al año 0
son insignificantes.
El Valor actual de esa anualidad se define como:
r
F
VA 1
=
...continuación...

22
Ejemplo perpetuidad:
Suponga usted es de esos afortunados que decide jubilar a
los 50 años y recibirá una renta vitalicia de $50.000
mensuales hasta que muera. La tasa de interés relevante es
de 1% mensual y la empresa que le dará la renta supone una
“larga vida” para usted (suponen podría llegar a los 90, o tal
vez 95 o porqué no 100 años).
¿ Cuál es el valor actual del fondo que la empresa debe tener
para poder cubrir dicha obligación?
Anualidades ...continuación
000.000.5
01,0
000.50
==VA
En rigor, usando la fórmula de
valor actual de una anualidad (no
perpetua) se tendría:
Si vive 90 años: VA=$ 4.957.858
Si vive 95 años: VA=$ 4.976.803
Si vive 100 años: VA=$ 4.987.231
Todos muy cercanos a $5 millones

23
Inflación y tasas de interés
Aumento sostenido en el nivel general de precios.
Normalmente medido a través del cambio en el
IPC
Inflación:
En presencia de inflación (π) , la capacidad de compra o
poder adquisitivo de un monto de dinero es mayor hoy que en
un año más.
$100 $100
Si π = 25%
Periodo 0
(Año 0)
Periodo 1
(Año 1)

24
La ecuación que relaciona las tasas nominal y real,
es conocida en la literatura con el nombre de igualdad
de Fischer:
Donde i = tasa de interés nominal
r = tasa de interés real
π = Tasa de inflación
( ) ( ) ( )ri ++=+ 1*11 π
AB
La tasa de interés (conocida como tasa nominal) deberá
incorporar:
A. La rentabilidad exigida para hacer indiferente un monto
ahora o en el futuro (valor dinero en el tiempo) (tasa real)
B. Diferencial que cubra la inflación y mantenga el poder
adquisitivo (tasa inflación)
...continuación...

25
RESUMEN:
2 conceptos: * Costo de oportunidad (tasa interés real)
* Poder adquisitivo (inflación)
Paso 1: Valora costo de oportunidad, tasa de interés de
10%
Paso 2: Valora costo de oportunidad y además;
Mantiene poder adquisitivo, inflación de 25%
$1100 $1375
Año 1 Año 1
Si π = 25%
$1000 $1100
Año 0 Año 1
Si r = 10%
...continuación...

26
Si tengo $ 500 y un banco me ofrece una tasa de interés
nominal anual del 37,5% y me encuentro en una economía
donde la inflación es del 25% anual.
¿ Cuál es la tasa real correspondiente ?
¿ Cuánto es mi capital nominal al final del año ?
Ejemplo:
...continuación...

27
Si: ( 1 + i ) = ( 1 +π ) * ( 1 + r )
Donde π=0,25 y i =0,375
Entonces: (1+0,375) = (1+0,25)*(1+r)
(1+r) = 1,1
r = 10%
Si el capital inicial es C0 = $ 500
Entonces: C1 = C0*(1+i)
= 500*(1,375)
C1= $ 687,5
...continuación...

28
...continuación
La evaluación de proyectos utiliza tasas de
interés reales y por tanto flujos reales, de
esta forma se evita trabajar con inflaciones
que normalmente tendrían que ser estimadas
a futuro con el consiguiente problema de
incertidumbre.
Nota importante

29
Inflación
Ejemplo: Inflactar
Si costos de inversión de un proyecto formulado en el año 2001 son
$7.000 millones pero éste será ejecutado a partir de enero del 2003.
Se deberá actualizar (inflactar) dicho costo según variación en Indice
de Precios al Consumidor (IPC):
Si: IPC promedio 2001 = 108,67
IPC promedio 2002 = 111,38
1
1
−=
−t
t
IPC
IPC
CambioIPC
Así: )1(*1 cambioIPCCostoCosto tt += −
7.174,6=−+= )1
67,108
38,111
(1(*000.7tCosto

30
Inflación
Ejemplo: Deflactar
Si costos de inversión de un proyecto formulado en el año 2002 son
$15.000 millones pero se necesita saber cual habría sido su costo
real en el año 2001
Se deberá deflactar dicho costo según variación en Indice de Precios al
Consumidor (IPC):
Si: IPC promedio 2001 = 108,67
IPC promedio 2002 = 111,38
)1(
1
cambioIPC
Costo
Costo t
t
+
=−
)1(*1 cambioIPCCostoCosto tt += −Así:
1
1
−=
−t
t
IPC
IPC
CambioIPC
14.635=
−+
=−
)1
67,108
38,111
(1(
000.15
1tCosto

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