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Convolución y su transformada de fourier
- 1. Convolución y su transformada de Fourier San Cristóbal, agosto de 2017. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA CIENCIA Y TECNOLOGÍA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO” EXTENSIÓN SAN CRISTÓBAL Autor: Aldana Francisco C.I. 27.643.736 Ing. Mantenimiento Mecánico
- 2. CONVOLUCIÓN Y SU TRANSFORMADA DE FOURIER La función , donde es el conjunto de funciones continuas en el intervalo dada por se conoce como la convolución de y . La convolución tiene muchas de las propiedades de la multiplicación ordinaria, como veremos en el siguiente teorema. PROPIEDADES DE LA CONVOLUCIÓN Sean y funciones continuas en el intervalo , entonces 1. (ley conmutativa) 2. (ley distributiva) 3. (ley asociativa) 4. Demostración La demostración de estas propiedades es muy simple. Haremos la primera de ellas y dejamos las restantes al lector.
- 3. Observación: sin embargo, existen algunas propiedades de la multiplicación ordinaria que la convolución no tiene. Por ejemplo, no es cierto en general que ; para ver esto, note que Ejemplo Calcule la convolución de y . Solución Usando la definición e integración por partes, tenemos que
- 4. Ejemplo Calcule la convolución de las funciones y . Solución Usando la definición e integración por partes Observación: para calcular la integral del ejemplo anterior, hemos usado la identidad
- 5. Otras identidades que pueden ser útiles en el cálculo de integrales similares son El siguiente teorema establece un resultado de mucha importancia teórica y práctica, como veremos. TEOREMA Si y existen para , entonces Observación: La forma inversa del teorema de convolución es muy importante en la solución de ecuaciones diferenciales, pues nos puede evitar el cálculo de fraciones parciales complejas. Ejemplo Calcule
- 6. Solución Usando el teorema de convolución tenemos que Observación: como ya hemos calculado podemos corroborar el resultado obtenido anteriormente como obtuvimos en el ejemplo anterior. Los siguientes ejemplos muestran el uso de la forma inversa del teorema de convolución para el cálculo de transformadas inversas.
- 7. Ejemplo Calcule la siguiente transformada inversa Solución Usando el teorema de convolución Observación: en este ejemplo el uso de fraciones parciales resulta viable, pues
- 8. Los siguientes ejemplos muestran situaciones donde el uso de fraciones parciales puede ser realmente complejo, comparado con el uso del teorema de convolución. Ejemplo Calcule la siguiente transformada inversa Solución Usando el teorema de convolución, tenemos
- 9. Observación: en este ejemplo la expansión en fraciones parciales no es tan simple Ejemplo Calcule la siguiente transformada inversa Solución Usando convolución El siguiente corolario es útil en el cálculo de la transformada de una integral.
- 10. COROLARIO Tomando en el teorema de convolución tenemos que donde Demostración Ejemplo Calcule la siguiente transformada Solución Usando el corolario anterior y el teorema de multiplicación por , tenemos que
- 11. TRANSFORMADA DE FOURIER Sean las siguientes funciones: 𝑓1( 𝑡) 𝑦 𝑓2(𝑡) y sus transformadas de Fourier son: 𝐹1 = ∫ 𝑓1(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 ∞ −∞ 𝐹2 = ∫ 𝑓2 (𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 ∞ −∞ Sus transformadas inversas son: 𝑓1( 𝑡) = 1 2𝜋 ∫ 𝐹1(𝜔)𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔 ∞ −∞ 𝑓2( 𝑡) = 1 2𝜋 ∫ 𝐹2( 𝜔) 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔 ∞ −∞ Entonces: Teorema 1: 𝑓1 ∗ 𝑓2 = 𝐹−1 [𝐹1( 𝜔) 𝐹2 ( 𝜔)] Demostración: 𝑓1 ∗ 𝑓2 = ∫ 𝑓1( 𝑠) 𝑓2( 𝑡 − 𝑠) 𝑑𝑠 ∞ −∞ 𝑓1 ∗ 𝑓2 = 2𝜋 ∫ 𝑓1( 𝑠)[ 1 2𝜋 ∫ 𝐹2 (𝜔)𝑒 𝑗𝜔(𝑡−𝑠) ∞ −∞ ∞ −∞ 𝑑𝜔]𝑑𝑠 𝑓1 ∗ 𝑓2 = 2𝜋 ∫ 𝐹2( 𝜔)[ 1 2𝜋 ∫ 𝑓1(𝑠)𝑒−𝑗𝜔𝑠 𝑑𝑠]𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔 ∞ −∞ ∞ −∞ 𝑓1 ∗ 𝑓2 = 2𝜋 ∫ 1 2𝜋 𝐹2( 𝜔) 𝐹1(𝜔)𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔 ∞ −∞
- 12. 𝒇 𝟏 ∗ 𝒇 𝟐 = 𝟐𝝅𝑭−𝟏 [𝑭 𝟏( 𝝎) 𝑭 𝟐( 𝝎)] Teorema 2: 𝐹−1[ 𝐹1 ( 𝜔)∗ 𝐹2 ( 𝜔)] = 2𝜋𝑓1 𝑓2 Demostración: 𝐹−1[ 𝐹1( 𝜔) ∗ 𝐹2( 𝜔)] = 𝐹−1 [∫ 𝐹1 ( 𝑠) 𝐹2( 𝜔 − 𝑠) 𝑑𝑠] ∞ −∞ 𝐹−1[ 𝐹1 ( 𝜔) ∗ 𝐹2( 𝜔)] = 1 2𝜋 ∫ [ ∞ −∞ ∫ 𝐹1( 𝑠) 𝐹2 ( 𝜔 − 𝑠) 𝑑𝑠]𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔 ∞ −∞ Hacemos el siguiente cambio de variable: 𝜔 − 𝑠 = 𝑥, 𝜔 = 𝑥 + 𝑠, 𝑑𝜔 = 𝑑𝑥 𝐹−1[ 𝐹1( 𝜔) ∗ 𝐹2 ( 𝜔)] = 1 2𝜋 ∫ [ ∞ −∞ ∫ 𝐹1( 𝑠) 𝐹2 ( 𝑥) 𝑑𝑠]𝑒 𝑗(𝑥+𝑠)𝑡 𝑑𝑥 ∞ −∞ 𝐹−1[ 𝐹1( 𝜔) ∗ 𝐹2( 𝜔)] = 1 2𝜋 ∫ 𝐹1( 𝑠) ∞ −∞ ∫ 𝐹2 (𝑥) ∞ −∞ 𝑒 𝑗( 𝑥+𝑠) 𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑠 𝐹−1[ 𝐹1( 𝜔)∗ 𝐹2( 𝜔)] = 1 2𝜋 ∫ 𝐹1( 𝑠) 𝑒 𝑗𝑠𝑡 [∫ 𝐹2 (𝑥)𝑒 𝑗𝑥𝑡 𝑑𝑥]𝑑𝑠 ∞ −∞ ∞ −∞ Multiplicamos y dividimos por 2𝝅 𝐹−1[ 𝐹1 ( 𝜔) ∗ 𝐹2 ( 𝜔)] = 2𝜋[ 1 2𝜋 ∫ 𝐹1( 𝜔) 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔][ 1 2𝜋 ∫ 𝐹2(𝜔)𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔] ∞ −∞ ∞ −∞ 𝑭−𝟏[ 𝑭 𝟏( 𝝎) ∗ 𝑭 𝟐( 𝝎)] = 𝟐𝝅𝒇 𝟏( 𝒕) 𝒇 𝟐(𝒕) Teorema 3: La transformada de Fourier de la convolucion de dos funciones 𝑓1( 𝑡) 𝑦 𝑓2(𝑡) es la multiplicación de las transformadas de Fourier de ambas funciones. 𝐹(𝑓1( 𝑡) ∗ 𝑓2 ( 𝑡)) = 𝐹1( 𝜔) 𝐹2(𝜔) Demostración: 𝐹(𝑓1( 𝑡) ∗ 𝑓2( 𝑡)) = ∫ [∫ 𝑓1( 𝑠) 𝑓2( 𝑡 − 𝑠) 𝑑𝑠]𝑒−𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 ∞ −∞ ∞ −∞ 𝐹(𝑓1( 𝑡) ∗ 𝑓2( 𝑡)) = ∫ 𝑓1( 𝑠)[∫ 𝑓2 (𝑡 − 𝑠)𝑒−𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡]𝑑𝑠 ∞ −∞ ∞ −∞
- 13. Pero: ∫ 𝑓2(𝑡 − 𝑠)𝑒−𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 ∞ −∞ = 𝐹[ 𝑓2( 𝑡 − 𝑠)] = 𝐹2(𝜔)𝑒−𝑗𝜔𝑠 Finalmente reemplazamos en la expresión: 𝐹(𝑓1( 𝑡) ∗ 𝑓2( 𝑡)) = ∫ 𝑓1( 𝑠) ∞ −∞ 𝐹2( 𝜔) 𝑒−𝑗𝜔𝑠 𝑑𝑠 𝐹(𝑓1( 𝑡) ∗ 𝑓2( 𝑡)) = ∫ 𝑓1( 𝑠) ∞ −∞ 𝑒−𝑗𝜔𝑠 𝑑𝑠𝐹2(𝜔) 𝑭(𝒇 𝟏( 𝒕)∗ 𝒇 𝟐( 𝒕)) = 𝑭 𝟏( 𝝎) 𝑭 𝟐(𝝎)