CONVOLUCION DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR
PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA, CIENCIA Y TECNOLOGÍA
INSTITUTO UNIVERITARIO POLITECNICO
«SANTIAGO MARIÑO»
EXTENSION SAN CRISTOBAL
CONVOLUCIÓN Y SU TRANSFORMADA
DE FOURIER»
Septiembre de 2018
Bachiller:
María Alejandra, Díaz Guerrero
C:I: 27,285,355

2. CONVOLUCIÓN Y SU TRANSFORMADA DE
FOURIER
Como hemos visto, la transformada de Laplace es
lineal, es decir, la transformada de una suma es la suma
de las transformadas, entonces cabe preguntarse si se
tiene algo similar para el producto, la respuesta es no.
En general la transformada no conmuta con la
multiplicación ordinaria, o sea, la transformada de un
producto no es el producto de las transformadas, pero
podemos definir un nuevo producto generalizado bajo el
cual esto es cierto.

3. La palabra ”transformada” indica que estamos trabajando con una
herramienta para transformar un tipo determinado de problema en
otro. De hecho, la transformada de Fourier será´ útil (como veremos)
para simplificar el estudio de la solución de cierto tipo de ecuaciones
diferenciales, convirtiendo el problema de la solución de una ED en
un problema de solución de ecuaciones algebraicas. La motivación
para dicho estudio está en el hecho de que la transformada de
Fourier posee buenas propiedades ´ algebraicas cuando se aplica a
las derivadas sucesivas de una señal, o al trasladar la señal, etc. En
este ˜ apartado estudiamos las propiedades más sencillas de la
transformada de Fourier. A continuación exponemos una lista de las
propiedades elementales de ´ F(x)(ξ) = ˆx(ξ) (Algunas de las
demostraciones son muy sencillas y las dejamos como ejercicio).

4. DEMOSTRACIONES
•LINEALIDAD
DUALIDAD:

5. CAMBIO DE ESCALA:

6. INVERSION DEL TIEMPO:
TRASLACION DEL TIEMPO:

7. CONVOLUCIÓN:

8. INTEGRACION DEL TIEMPO:

9. TRANSFORMADA DE LA CONVOLUCION:

10. EJEMPLOS:

13. EJERCICIOS RESUELTOS:

16. Las series de Fourier son útiles para el estudio de
señales periódicas pero, desafortunadamente, ´ este
tipo de señales no son tan frecuentes en la práctica
como las no-periódicas. Esta situación requiere ´ el
desarrollo de una teoría matemática más ambiciosa y
a ello vamos a dedicar algún tiempo. ´ Sea x (t) una
señal aperiódica definida en todo el intervalo real y
denotemos por x T (t) (T > 0) la señal ˜ 2T-periodica
que se obtiene a partir de x (t) haciendo x T (t) = x (t)
para t ∈ (−T, T] y extendiendo periódicamente con
periodo ´ 2T. Si suponemos que x (t) es
suficientemente suave (e.g., es C1 (R)), entonces
tendremos la identidad